鎖相放大器測(cè)量弱聲壓信號(hào)

段皞一

摘要：鎖相放大器也稱相位檢測(cè)器，是一種從干擾極大的環(huán)境中分離出特定載波頻率信號(hào)的放大器，具有十分廣泛的應(yīng)用價(jià)值。該課題基于鎖相放大器發(fā)展迅速的背景，結(jié)合鎖相放大器的工作原理，運(yùn)用單片機(jī)自主搭建具備基礎(chǔ)功能的鎖相放大器，探討如何運(yùn)用鎖相放大器測(cè)量弱聲壓信號(hào)，并進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析。該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的鎖相放大器主要由信號(hào)發(fā)射、運(yùn)算放大、乘法器、低通濾波、移相器、示波器幾個(gè)模塊組成。與公司生產(chǎn)的鎖相放大器相比，該實(shí)驗(yàn)自主設(shè)計(jì)的鎖相放大器結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，省去了鎖相環(huán)、濾波整形等非必需的模塊，具有成本低廉的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：鎖相放大器;模塊化;信號(hào)通道;乘法器;移相器;濾波器

中圖分類號(hào)：TP311? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）34-0116-03

1 基本原理

1.1信號(hào)測(cè)量原理

鎖相放大器是根據(jù)正弦函數(shù)的正交性原理工作的。其核心部分就是讓一個(gè)頻率為[ω]的正弦函數(shù)與另一個(gè)頻率為[ω]的正弦函數(shù)相乘，然后對(duì)乘積進(jìn)行積分（積分時(shí)間遠(yuǎn)大于兩個(gè)函數(shù)的周期），其結(jié)果為零。實(shí)驗(yàn)的要點(diǎn)就是如何產(chǎn)生出頻率相同的參考信號(hào)與待測(cè)信號(hào)，并且將兩個(gè)信號(hào)通過(guò)乘法器相乘，最終通過(guò)低通濾波器，得出最終的直流信號(hào)，推算出待測(cè)信號(hào)與參考信號(hào)的相位差，從而完成待測(cè)信號(hào)，即弱聲壓信號(hào)的測(cè)量。

在檢測(cè)微弱信號(hào)的同時(shí)，常常會(huì)檢測(cè)到較強(qiáng)的干擾信號(hào)。干擾信號(hào)通常是無(wú)規(guī)律的，不能表示為與時(shí)間相關(guān)的確定函數(shù);待測(cè)信號(hào)則是周期性信號(hào)，與時(shí)間變量存在確定的函數(shù)關(guān)系。利用這一性質(zhì)的差異，可以從干擾信號(hào)中檢測(cè)微弱的信號(hào)。

1.2 實(shí)驗(yàn)原理

自相關(guān)檢測(cè)和互相關(guān)檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)原理分別如圖1和圖2所示。

當(dāng)待測(cè)信號(hào)非常微弱難以被儀器檢測(cè)時(shí)，可以使輸入信號(hào)先通過(guò)放大器。放大器增益可調(diào)，以適應(yīng)被測(cè)信號(hào)的大小。此外，可以在乘法器前串聯(lián)帶通濾波器，將中心頻率調(diào)到與被測(cè)信號(hào)相同的頻率，對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行初步抑制。

1.3 公式推導(dǎo)

一般的周期性函數(shù)可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)，也可以進(jìn)行類似的計(jì)算。以待測(cè)信號(hào)為時(shí)間的正弦函數(shù)為例，進(jìn)行公式推導(dǎo)。

1.3.1 自相關(guān)檢測(cè)的公式推導(dǎo)

設(shè)待測(cè)信號(hào)隨時(shí)間變化的關(guān)系為

s（t）=Asin（ωt+ψ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

干擾信號(hào)的隨時(shí)間的變化關(guān)系為n（t），則輸入信號(hào)為

x（t）=s（t）+n（t）= Asin（ωt+ψ）+n（t）? ? ? ? ? ? ? ? （2）

經(jīng)過(guò)延時(shí)器的輸入信號(hào)會(huì)延遲時(shí)間τ，延時(shí)器的輸出為

x（t-τ）= Asin（ωt-ωτ+ψ）+n（t-τ）? ? ? ? ? ? ?（3）

輸入信號(hào)和延時(shí)器的輸出信號(hào)依次做相乘運(yùn)算和積分運(yùn)算，積分的時(shí)間從t0到T，其中T趨于無(wú)窮，計(jì)算結(jié)果為Rxx（τ）

Rxx（τ）=[limT→∞1Tt0T+t0x（t）x（t?τ）dt]

= Rss（τ）+ Rsn（τ）+ Rns（τ）+ Rnn（τ）? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

其中

Rss（τ）=[ limT→∞1Tt0T+t0A2sin （ωt+ψ）sin（ωt?ωτ+ψ）dt]

Rsn（τ）=[ limT→∞1Tt0T+t0Asinωt+ψn（t?τ）dt]

Rns（τ）=[ limT→∞1Tt0T+t0Asin（ωt?ωτ+ψ）n（t）dt]

Rnn（τ）=[ limT→∞1Tt0T+t0ntn（t?τ）dt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)T趨于無(wú)窮，由于s（t）和n（t）不相關(guān)且平均值為0，Rsn（τ）和Rns（τ）趨于0。當(dāng)τ越大時(shí)，n（t）和n（t-τ）的相關(guān)性越低，Rnn（τ）趨于0。因此，當(dāng)T趨于無(wú)窮且τ較大時(shí)，可得：

Rxx（τ）= Rss（τ）=[limT→∞1Tt0T+t0A2sin （ωt+ψ）sin（ωt?ωτ+ψ）dt]

=[limT→∞?A22Tt0T+t0[cos2ωt?ωτ+2ψ?cosωτ]dt]

=[limT→∞A22Tt0T+t0cosωτdt]

=[A22 cosωτ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

從最后結(jié)果可以看出，當(dāng)cos[ωτ≠0]時(shí)，輸出信號(hào)為直流信號(hào)?？梢愿淖僛τ]的大小，觀察輸出結(jié)果大小的變化規(guī)律，推出待測(cè)信號(hào)的參數(shù)A和[ω]的值。

1.3.2 互相關(guān)檢測(cè)的公式推導(dǎo)

設(shè)待測(cè)信號(hào)隨時(shí)間變化的關(guān)系為

s（t）=Asin（ωt+ψ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

干擾信號(hào)的隨時(shí)間的變化關(guān)系為n（t），則輸入信號(hào)為

x（t）=s（t）+n（t）= Asin（ωt+ψ）+n（t）? ? ? ? ? ?（8）

參考信號(hào)與待測(cè)信號(hào)具有相同周期，色參考信號(hào)隨時(shí)間變化關(guān)系為

y（t） =Bsin（ωt+ψ0）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

輸入信號(hào)和參考信號(hào)依次做相乘運(yùn)算和積分運(yùn)算，積分的時(shí)間從t0到T，其中T趨于無(wú)窮，計(jì)算結(jié)果為R（t）

R（t）=[limT→∞1Tt0T+t0xtytdt]

=[limT→∞1Tt0T+t0ABsinωt+ψsinωt+ψ0+Bn（t）sinωt+ψ0dt]

=[limT→∞?AB2Tt0T+t0[cos2ωt+ψ+ψ0?cosψ?ψ0]dt]

=[limT→∞AB2Tt0T+t0cosψ?ψ0]dt]

=[AB2cosψ?ψ0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）]

從最后結(jié)果可以看出，輸出信號(hào)為直流信號(hào)。由于參考信號(hào)參數(shù)已知，可以求出待測(cè)信號(hào)的振幅A和初相[ψ]的大小。

2 儀器系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的鎖相放大器系統(tǒng)原理示意圖如圖3所示。

其中，參考信號(hào)是由Arduino板通過(guò)代碼生成1000Hz的方波信號(hào);待測(cè)信號(hào)一開始是基于Arduino自行搭建的，后來(lái)由于不能調(diào)整頻率，且穩(wěn)定性較弱，改用Arduino配合AD9850模塊產(chǎn)生的正弦波，頻率也是1000Hz;運(yùn)算放大器使用的是AD620模塊;乘法器是AD835模塊;低通濾波器是UAF42模塊;移相部分一開始使用基于MAX232芯片自行搭建的模塊，后來(lái)因?yàn)榭烧{(diào)電阻的阻值調(diào)節(jié)具有較大誤差，導(dǎo)致相位調(diào)節(jié)的結(jié)果準(zhǔn)確度不夠高，所以選擇在參考信號(hào)的產(chǎn)生端使用編程手段對(duì)相位進(jìn)行改變;示波器使用的是實(shí)驗(yàn)室的RIGOL DS2072A示波器，以及自行搭建的基于Arduino的簡(jiǎn)易顯示器。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)步驟

查閱鎖相放大器相關(guān)文獻(xiàn)資料，掌握鎖相放大器的原理，并且將鎖相放大器劃分為參考信號(hào)通道、待測(cè)信號(hào)通道、運(yùn)算放大器、移相器、乘法器、低通濾波器、電壓源等幾個(gè)模塊。之后小組成員每個(gè)人主要負(fù)責(zé)其中的一個(gè)模塊。

考慮到各個(gè)模塊相互之間的兼容性，我們每個(gè)模塊都選了幾個(gè)備選項(xiàng)，通過(guò)調(diào)試與不斷的試錯(cuò)，最終確定了我們最終的模塊型號(hào)，它們都是使用Arduino自帶的5V電壓源進(jìn)行供電，相互之間較為適配。

每個(gè)模塊都調(diào)試好了以后，我們開始搭建最終的模塊。其中出現(xiàn)了許多意料之外的問(wèn)題，比如，辛辛苦苦焊接了將近一個(gè)月的移相器模塊，雖然能夠進(jìn)行移相的操作，但是同時(shí)讓波形產(chǎn)生了抖動(dòng)，電壓的峰值也發(fā)生了改變（變化了10%左右），究其原因可能是由于模塊中使用的電阻與大小與理論狀態(tài)有所偏差，以及焊接過(guò)程中在接頭處產(chǎn)生了不可避免的誤差。發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題以后，我們使用參考信號(hào)的產(chǎn)生端使用編程手段對(duì)相位進(jìn)行改變。還有，一開始搭建的正弦波信號(hào)一直不穩(wěn)定，最后也做了調(diào)整。

最終，對(duì)整個(gè)鎖相放大器模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)的采集，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

3.2 弱聲壓信號(hào)測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)的參考方波信號(hào)頻率為1000Hz，峰峰值為8.6V。下面以相位差為90°為例，推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的計(jì)算過(guò)程。

首先，給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)依據(jù)的相關(guān)公式：

被測(cè)信號(hào)：[asin （ωt+α）] V

參照信號(hào)：[bsin （ωt+β）] V

乘法運(yùn)算：[ab?cosβ?α2?ab?cos2ωt+α+β2] V

低通濾波器：[ab?cosβ?α2] V

實(shí)驗(yàn)中的信號(hào)頻率采用1000Hz

[ω=2πf=2π?1000=6283rad/s]

方波信號(hào)：[8.6sin （6283t+α）] V

正弦信號(hào)：[1.298sin （6283t+β）] V

方波信號(hào)與正弦信號(hào)相乘：

理論值：（相位差為90°）

[1.298×8.6（cosβ?α2?cos2×6823?t+α+β2）] V

實(shí)際值如圖：

濾波信號(hào)：由于相位差為90°，所以理論值應(yīng)當(dāng)為0V，即

[1.298×8.6?cosβ?α2=1.298×8.6?cos90°2=0]

而實(shí)際值為32mV.

[cosβ?α2=32×10?31.298×8.6 ]

[cosβ?α=0.00966]

[β?α=89.67°]

誤差為[σ=90?89.6790×100%=0.4%.]

運(yùn)用鎖相放大器對(duì)弱聲壓信號(hào)的測(cè)量，測(cè)量了10組數(shù)據(jù)，誤差在0.4%到5.7%之間，結(jié)果如表1所示。

3.3 分析

3.3.1 誤差來(lái)源

待測(cè)信號(hào)本身頻率不精確等于1000Hz;放大器、移相器模塊有信號(hào)的損失;乘法器計(jì)算的波形有誤差、濾波過(guò)程有誤差。

3.3.2 誤差分析

首先，實(shí)驗(yàn)中的信號(hào)通道模塊都是我們自主設(shè)計(jì)的，方波信號(hào)是由Arduino的代碼產(chǎn)生的，相對(duì)具有較高的穩(wěn)定性，在示波器上保持1000Hz的頻率和8.600V的峰峰值。而由于Arduino自身不帶有正弦信號(hào)產(chǎn)生的功能，所以實(shí)驗(yàn)中，我們使用Arduino Uno單片機(jī)和AD985應(yīng)用模塊配合產(chǎn)生正弦波信號(hào)，該信號(hào)峰峰值穩(wěn)定在1.298V，但是頻率不是精確的1000Hz，而是988Hz，相當(dāng)于乘法器過(guò)后的濾波是針對(duì)正弦波的分量進(jìn)行的，并不是正弦信號(hào)本身，這給信號(hào)的測(cè)量帶來(lái)了系統(tǒng)上的誤差。

乘法器的計(jì)算也有一定的誤差，以下是實(shí)驗(yàn)中90°相位差的參考信號(hào)和待測(cè)信號(hào)經(jīng)過(guò)乘法器后產(chǎn)生的理論和實(shí)際的波形圖的對(duì)比。

4 總結(jié)

實(shí)驗(yàn)采用988.1Hz，峰峰值為8.600V的方波作為參考信號(hào)，1000Hz、峰峰值為1.298V的正弦波作為待測(cè)信號(hào)，通過(guò)Verilog調(diào)整相位差，進(jìn)行了10組測(cè)量實(shí)驗(yàn)，相位差的誤差在0.4%到5.7%之間，基于單片機(jī)搭建的鎖相放大器實(shí)現(xiàn)了測(cè)量弱聲壓信號(hào)的功能，取得了較為滿意的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

本實(shí)驗(yàn)注重于原理與公式的理解，以及各自模塊的選擇和最終模塊的組裝。起初，我們對(duì)于誤差這一塊并不抱有太大的希望，因?yàn)樵斐烧`差的地方實(shí)在是太多了，而且相對(duì)于公司生產(chǎn)的鎖相放大器商品，本課題基于單片機(jī)搭建的鎖相放大器在架構(gòu)上本身就少了相敏檢波器、鎖相環(huán)、濾波整形器等減小實(shí)驗(yàn)誤差的模塊。最終的實(shí)驗(yàn)誤差并不是太大，可能是由于各個(gè)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差的因素之間相互抵消了一部分的結(jié)果。

之后，本課題設(shè)計(jì)的鎖相放大器可以提升地方有以下幾點(diǎn)：

首先，能夠測(cè)量多種頻率的信號(hào)。要實(shí)現(xiàn)該功能只需要每次更改參考信號(hào)和待測(cè)信號(hào)的Arduino代碼即可。其次，能夠?qū)ο辔贿M(jìn)行檢測(cè)，從而減小實(shí)驗(yàn)誤差，這就要求搭建一個(gè)更加精確可用的相敏檢波器模塊。另外，可以探討如何解決自主焊接的移相器模塊誤差較大的問(wèn)題;如何改變接線，讓自主設(shè)計(jì)的正弦信號(hào)不再呈現(xiàn)鋸齒狀;如何改良自主搭建的顯示器模塊，使其能夠更加清晰、穩(wěn)定地顯示波形圖，并且顯示更多的參數(shù)。最后，我們可以搭建類似3D打印機(jī)的電控三維掃描支架，與探測(cè)協(xié)同工作。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉芳芳.基于AD630的鎖相放大器的設(shè)計(jì)與分析[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2016.

[2] 聶婭琴.基于鎖相放大器的微弱信號(hào)檢測(cè)研究[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2014.

[3] 李鳳鳴.基于DSP的數(shù)字鎖相放大器的設(shè)計(jì)[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2011.

[4] 陳德煌.模擬乘法器AD834的原理與應(yīng)用[J].國(guó)外電子元器件，2000，8（6）：16-17，19.

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