漫談函數(shù)的發(fā)展

張海燕 摘編

函數(shù)概念是中學數(shù)學的核心概念。同學們對這一概念的學習和理解將貫穿整個中學數(shù)學學習的始終。

函數(shù)是從常量數(shù)學邁進變量數(shù)學的標志。16世紀以前，數(shù)學研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數(shù)學或者初等數(shù)學。變量和函數(shù)概念的產(chǎn)生，標志著數(shù)學從常量時代進入到變量時代。函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念之一，有著無比重要的地位，在高等數(shù)學和近代數(shù)學中處于中心地位。

函數(shù)一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。伯努利把函數(shù)看作一個變量和一個常數(shù)組成的表達式。歐拉把函數(shù)看作含有變量和常數(shù)的任何方程和公式。

1821年，柯西給出定義：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則將最初的變數(shù)叫作自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。

1834年，俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x-起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出。這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應關(guān)系，是函數(shù)概念的一個重大發(fā)展。因為對應是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分。

1837年，德國數(shù)學家狄利克雷給出函數(shù)的定義：如果對于x的每一個值y，總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)。這個概念就是我們初中階段學習的函數(shù)概念，是經(jīng)典的函數(shù)定義，也叫作函數(shù)的“變量說”。

到20世紀初，康托爾的集合論被大家所接受后，函數(shù)概念中變量只能為數(shù)的限制取消了，突出了函數(shù)的本質(zhì)特征。對應關(guān)系用集合論的語言敘述，這種定義方式叫作函數(shù)的“對應說”。1939年，布爾巴基學派又給出了函數(shù)的“關(guān)系說”。

總之，函數(shù)概念的靈魂是運動，是變量，是變量關(guān)系。（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級中學）