巧解三視圖中的正方體個(gè)數(shù)問(wèn)題

董翠花

由大小相同的小正方體堆積成的幾何體，我們不難畫出它的三視圖;反過(guò)來(lái)，給定小正方體堆積成的幾何體的視圖，如何確定小正方體的個(gè)數(shù)，是同學(xué)們普遍感到困難的地方，那么如何解決此類問(wèn)題呢？

這種類型的問(wèn)題通常分兩類：一是已知三個(gè)視圖，確定小正方體的個(gè)數(shù);二是已知兩個(gè)視圖，確定小正方體個(gè)數(shù)的最值問(wèn)題。而已知兩個(gè)視圖又分兩種情況：含有俯視圖和不含俯視圖。下面，我們對(duì)解決這類問(wèn)題的方法進(jìn)行總結(jié)。

一、已知三個(gè)視圖，確定正方體的個(gè)數(shù)

例1由一些相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖如圖1所示，則搭成該幾何體的小正方體有（）。

A.3個(gè)

B.4個(gè)

C.5個(gè)

D.6個(gè)

【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個(gè)數(shù)及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的個(gè)數(shù)，從而算出總個(gè)數(shù)。

解：由俯視圖可以看出這個(gè)幾何體是2行2列，如圖2;

由主視圖可以看出從左往右第二列最高是1層，所以俯視圖中有兩個(gè)位置的層數(shù)可以確定，如圖3;

從左視圖可以看出從后往前第一行最高是1層，第二行最高是2層，再結(jié)合主視圖第一列最高是2層，所以俯視圖中另外兩個(gè)位置的層數(shù)就確定了，如圖4。

最后將各個(gè)數(shù)字相加，即1+1+1+2=5（個(gè)）。故選C。

二、已知兩個(gè)視圖，確定小正方體的個(gè)數(shù)

的最值

1.含有俯視圖。

例2一個(gè)幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖5所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是個(gè)。

【分析】在“俯視打地基”的前提下，結(jié)合

左視圖可知俯視圖最上面一行三個(gè)小正方體的上方（第2層）至少還有1個(gè)正方體，據(jù)此可得答案。解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個(gè)數(shù)最少的分布情況如圖6所示，所以組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為5個(gè)。

例3如圖7是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個(gè)數(shù)最多是個(gè)。

解：由俯視圖與主視圖知，該幾何體所需

小正方體個(gè)數(shù)最多的分布情況如圖8所示，所以組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最多為6個(gè)。

2.不含俯視圖。

例4由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖9所示，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

【分析】根據(jù)主視圖和左視圖確定俯視圖是2行2列，畫出“2行2列”俯視圖的全圖，再根據(jù)例1的方法確定各個(gè)位置的高度，標(biāo)出對(duì)應(yīng)位置的層數(shù)。因?yàn)橐笞钌賯€(gè)數(shù)，再把“違章”拆除，進(jìn)而確定小正方體的最少個(gè)數(shù)。

解：據(jù)主視圖和左視圖確定俯視圖是2行2列，先畫出“2行2列”俯視圖的全圖，如圖10;

再根據(jù)例1的方法確定各個(gè)位置的高度，標(biāo)出對(duì)應(yīng)位置的層數(shù)，如圖11;

因?yàn)橐_定最少個(gè)數(shù)，所以再把“違章”拆除，如圖12，最終確定小正方體的最少個(gè)數(shù)是1+2=3（個(gè)）。故選D。

由視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)，主要抓住俯視圖。借助“俯視打地基”，結(jié)合主視圖和左視圖，弄清俯視圖中各個(gè)位置的層數(shù)，標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)字，這樣此類問(wèn)題就容易解決了。

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）