涂立云

(江蘇省灌南縣第二中學 222500)

在某天的輔導課上，忽然間有一位學生拿著一張試卷向我走來并問到：“老師，我向您請教一個題目”.我一看標注才知道是江蘇省海安高級中學高三某次模擬考試的填空題第14題.題目如下：

這是一道填空題的壓軸題，難度可想而知.初看此題，是兩個高次函數(shù)的零點問題，又是出自海安中學的高三考試壓軸試題，頓感心中一片茫然，無從下手.此時一時想不到解決此題的好方法，但是又不能直接跟學生說自己不會做，該怎么辦呢？心里焦慮萬分，不知如何是好.當看到教室里坐著40多個學生，于是想到：如果集中大家的智慧，一起來討論研究這個題目，也許能有意想不到的收獲.于是我將題目用投影投到了黑板上，然后對講臺下的學生們說道：“同學們，這是某同學問老師的一道海安中學的試題，難度較大，老師一時還沒有想到解題方法，現(xiàn)在我們大家一起來尋找解決此題的方法.首先請大家分析下題目的條件，你們能想到一些什么呢？”

經(jīng)過5分鐘的小組討論交流，有同學站起來發(fā)言了.

生1：要求b-a的最小值，只要求出F(x)的所有零點中最小的零點和最大的零點就行了.

生2：F(x)的所有零點，即F(x)=f(x+3)g(x-3)=0的根，只需求出f(x+3)=0和g(x-3)=0的根即可.

生3：要求f(x+3)=0和g(x-3)=0的根，只需求出f(x)=0和g(x)=0的根，再分別向左和向右平移3個單位即可.

師：大家同意生1、生2和生3的分析嗎？那么如何求f(x)=0和g(x)=0的根呢？本題難就難在求高次方程的根的問題.

師：生4的想法符合歸納推理的思想.請同學按照他的思路試試看.

師：同學們，我們在學習用導數(shù)求曲線的切線方程時，是如何求三次方程的根的呢？比如：x3+3x2-2=0.

師：大家觀察圖形，你能得出什么結(jié)論呢？

生9：我猜測：當x的最高次數(shù)為偶數(shù)時，圖形先遞增，后遞減，與x軸有兩個不同的交點，分別在區(qū)間(-1,0)內(nèi)和(1,2)內(nèi)；當x的最高次數(shù)為奇數(shù)時，圖形單調(diào)遞增，與x軸有一個交點，在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

生10：可以利用導數(shù)來證明f(x)為單調(diào)增函數(shù)，利用函數(shù)的零點存在性定理來證明f(x)的零點在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

師：好，現(xiàn)在我們的處理方法有了，請大家先動手試試看，再上黑板板演.

生11：f′(x)=1-x+x2-x3+x4-…+x2010(*)，再證明這個式子恒大于0，就可以了.

師：如何證明這個式子恒大于0呢？

師：生12的想法很好，但是當x=0時，它不是等比數(shù)列；當x=-1時，不能用上述求和公式.

生13：當x=0時，f′(x)=1>0；當x=-1時，f′(x)=2011>0；當x<-1時，(**)式的分子、分母同時小于0，則f′(x)>0；當x>-1且x≠0時，(**)式的分子、分母同時大于0，則f′(x)>0.綜上，f′(x)>0恒成立，因此f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).

師：生13的討論過程很全面.下面來證明f(x)的零點在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

師：太棒了，現(xiàn)在我們已經(jīng)把f(x)的零點范圍確定了，那么是否可以用同樣的方法來確定g(x)的零點范圍呢？

生15：g′(x)=-1+x-x2+x3-…-x2010=-f′(x)<0，所以g(x)為R上的單調(diào)減函數(shù).

生17：所以f(x+3)=0的根在(-4,-3)內(nèi)、g(x-3)=0的根在(4,5)內(nèi)，則當a=-4,b=5時，b-a的最小值為9，即為所求.

數(shù)學教學是以解題為中心展開的，解題教學也是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié).其功能是：培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的能力，在此過程中提高學生思維水平，培養(yǎng)獨立分析問題、解決問題的能力.學生在自主探究思路的過程中，不僅僅是完成一道題目，更是寶貴的生命歷程，心智的參與過程可使學生深切感知思想方法的來龍去脈.探究過程中思維的調(diào)控、優(yōu)化，不僅是能力的提高，更是對學習信心的激勵.教師在學生處于欲進不得欲罷不能之時，引導其改變途徑，走出困境，容易使學生得到成功的快樂體驗.此時學生收獲的不僅是解題能力的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學學習興趣的激發(fā)，數(shù)學學習就會由苦變樂.