• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      探索幾何類比,生成破題方法

      2021-03-19 15:18:23楊衛(wèi)兵
      數(shù)學教學通訊·初中版 2021年9期
      關(guān)鍵詞:類比幾何探究

      楊衛(wèi)兵

      [摘 ?要] 幾何類比探究題的解析思路較為特殊,需要通過知識遷移、模型方法類比來突破,同時該類問題可按照一定的解題流程進行剖析,逐步從圖形分析過渡到類比構(gòu)建思路. 文章將以一道幾何類比探究題為例,探究解析過程,總結(jié)破題策略,并開展教學反思,提出相應的教學建議,與讀者進行交流.

      [關(guān)鍵詞] 類比;幾何;探究;特殊模型;策略

      類比探究題常出現(xiàn)在中考幾何壓軸題的位置,試題形式通常為分環(huán)節(jié)設(shè)問,且一般設(shè)置三小問. 第一環(huán)節(jié)以發(fā)現(xiàn)問題、證明問題為主,第二環(huán)節(jié)圍繞“類比”進行知識探究,第三環(huán)節(jié)側(cè)重知識的應用與拓展. 其中類比探究是問題考查的核心,涉及模型類比、方法類比和知識類比,解析時要充分把握“問題發(fā)現(xiàn)與證明”環(huán)節(jié)的核心特征,注意總結(jié)歸納.

      幾何類比探究題所探究的內(nèi)容較為多樣,包括常見的數(shù)學模型、線段與角度的求解方法等,常涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法,解析過程要關(guān)注“變化”中的“不變”,充分利用特殊模型的結(jié)論來簡化過程.

      關(guān)于實例問題的思路分析

      【證明推斷】 如圖1所示,已知四邊形ABCD為正方形,點E和Q分別是BC和AB邊上的點,DQ⊥AE,垂足為O,點G和F分別位于CD和AB上,GF⊥AE.

      ①試求證DQ=AE;

      ②推導的值.

      【類比探究】 如圖2所示,在矩形ABCD中,設(shè)=k(k為常數(shù)). 現(xiàn)將矩形ABCD沿著GF折疊,使點A恰好落在BC邊上的點E處,可得四邊形FEPG,設(shè)EP與CD相交于點H,連接AE與GF,設(shè)交點為O. 試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系,并寫明理由;

      【拓展應用】

      在上述“類比探究”條件成立的情況下,連接CP,當k=時,有tan∠CGP=,GF=2,試求CP的長.

      解析:環(huán)節(jié)一為“證明推斷”,以正方形為背景,融合了雙垂直關(guān)系,需要關(guān)注線段關(guān)系的推導過程.

      ①證明:由正方形的性質(zhì)可得AB=DA,∠ABE=∠DAQ=90°,則有∠QAO+∠OAD=90°,由題可推知∠ADO+∠OAD=90°,于是可得∠QAO=∠ADO,所以△ABE≌△DAQ(ASA),由全等性質(zhì)可證DQ=AE.

      ②該問推導線段的比例關(guān)系,由DQ⊥AE和GF⊥AE可證DQ∥GF,結(jié)合FQ∥DG可證四邊形DQFG是平行四邊形,由其性質(zhì)可得FG=DQ. 又知AE=DQ,所以FG=AE,從而可得=1.

      環(huán)節(jié)二為“類比探究”,該環(huán)節(jié)對矩形進行了折疊,四邊形為普通的矩形,探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系,可以類比環(huán)節(jié)一中幾何模型的解析方法,逐步突破. 對于其中的線段關(guān)系,可以借助全等或相似性質(zhì)來構(gòu)建.

      過點G作AB的垂線,設(shè)垂足為M,如圖3所示. 通過角度推導可得∠BAE=∠MGF,從而可證△ABE∽△GMF,所以=. 因為∠AMG=∠D=∠DAM=90°,所以四邊形AMGD為矩形,則有GM=AD,所以===k,即=k.

      環(huán)節(jié)三為“拓展探究”,需要對上述環(huán)節(jié)進行總結(jié)歸納,顯然模型的核心解法是推演其中的三角形全等或相似關(guān)系,利用模型的性質(zhì)來推導線段之間的長度關(guān)系.

      可過點P作BC延長線上的垂線,設(shè)垂足為M,如圖4所示. 根據(jù)其中的平行關(guān)系可得∠CGP=∠BFE,所以tan∠CGP=tan∠BFE=. 可設(shè)BE=3a,BF=4a,則EF=AF=5a. 因為=,GF=2,可得AE=3. 在Rt△ABE中使用勾股定理可解得a=1,則BE=3,AB=9. 根據(jù)比例關(guān)系可得BC=6,進一步得到BE=CE=3,AD=PE=BC=6. 通過角度推導可證△FBE∽△EMP,由相似性質(zhì)可得==,代入線段長有==,可解得EM=,PM=,所以CM=EM-EC=,由勾股定理可得PC==.

      關(guān)于解題策略的深入分析

      上述是關(guān)于幾何模型及解法的類比探究題,以矩形為背景,類比了三角形相似模型的推斷方法以及線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化思路,問題的解題策略有著一定的參考價值. 下面以上述問題為例進行解題思路的概括.

      1. 解題過程中的“四招”突破

      類比探究題的解析過程可概括為找特征、探思路、提模型、照搬抄,具體內(nèi)容如下.

      (1)找特征,關(guān)注模型中的特殊角、特殊圖形、特殊點以及幾何折疊和旋轉(zhuǎn)等過程.

      如本題中AE分別與DQ,F(xiàn)G為垂直關(guān)系,四邊形ABCD為正方形,矩形折疊后點A和E關(guān)于直線FG對稱,則點O為線段AE的中點. 同時存在等角,故可利用其中的等角、等邊關(guān)系構(gòu)建相似或全等三角形.

      (2)探思路,借助類比探究環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系,從特殊到一般,總結(jié)問題的解析方法,探究問題的突破思路.

      如上述問題,“證明推斷”環(huán)節(jié)以正方形為背景,推斷證明線段關(guān)系可通過提取其中的全等模型,利用模型性質(zhì)來完成. 故“類比探究”環(huán)節(jié)雖然給出的是一般的矩形,但依然可以采用此思路,利用余角關(guān)系推導等角關(guān)系,提取其中的相似模型,利用相似性質(zhì)完成線段關(guān)系的推導.

      (3)提模型,提取圖像中的幾何模型,利用模型性質(zhì)進行幾何推導.

      幾何綜合題的圖像一般較為復雜,但圖像中往往隱含了一些特殊的幾何模型,充分利用模型的結(jié)論可簡化解析過程. 以上述問題為例,利用全等三角形的性質(zhì)求等線段的長,利用相似模型求線段之間的比例關(guān)系,利用直角模型的勾股定理求線段的長等.

      (4)照搬抄,即照搬前一環(huán)節(jié)解析問題的方法和思路來解決后一環(huán)節(jié)的問題,包括輔助線的作法、圖像中的模型、條件轉(zhuǎn)化推導的思路等.

      上述類比探究題的核心是幾何模型,包括其中的直角模型、全等模型和相似模型,第二環(huán)節(jié)作輔助線后直接構(gòu)建了三角形相似模型,后續(xù)利用模型的性質(zhì)即可完成線段關(guān)系的推導.

      2. 幾何探究題中常見的模型

      特殊模型是擊破類比探究題的利器,提取圖像中的模型有助于解題思路的構(gòu)建,因此在解題探究中要注重模型的總結(jié)積累. 下面以常用的旋轉(zhuǎn)模型為例進行深入講解.

      (1)“A”字形(手拉手)旋轉(zhuǎn)模型

      手拉手模型在幾何探究中十分常見,該模型結(jié)構(gòu)中存在有公共頂點的兩個三角形,且有等線段或等比例線段關(guān)系,連接對應頂點后可形成“手拉手”的模式,從動態(tài)角度可將兩個三角形視為是旋轉(zhuǎn)關(guān)系,構(gòu)建了旋轉(zhuǎn)模型,如圖5、圖6所示.

      (2)“K”字形旋轉(zhuǎn)模型

      “K”字形旋轉(zhuǎn)模型的核心是垂直,即該模型中存在三個直角,也稱“三垂直”模型. 該模型在角度和線段和之間存在著顯著的關(guān)聯(lián). 若以其中一個頂點進行翻折,則可生成相應的“K”字形旋轉(zhuǎn)模型,如圖7、圖8所示. 實際上該旋轉(zhuǎn)模型具備“K”字形模型的所有特征,故對應結(jié)論也成立.

      關(guān)于類比探究題的教學反思

      幾何類比探究題是初中數(shù)學的經(jīng)典問題,問題的知識跨度大,綜合性強,命題立意也較為高遠,所涉分問題的關(guān)聯(lián)遞進特征顯著. 上述對該類問題進行了實例探究與方法總結(jié),對于拓展學生的解題思維有著一定的幫助,下面結(jié)合教學實踐進行思考.

      1. 重視讀圖,總結(jié)思考

      求解幾何類比探究題的關(guān)鍵步驟是讀圖審題,通常需要在第一環(huán)節(jié)對問題中的圖像特征有著充分的了解,找到突破圖像解析的關(guān)鍵,并在此基礎(chǔ)上進行深入思考,總結(jié)解析的思路,對問題中的關(guān)鍵條件、圖形的每一個特征,都要有深刻的理解. 圖像解析的思路往往是后續(xù)類比的關(guān)鍵,因而解題探究時要注意總結(jié)解圖的方法思路,尤其要注意圖像中的模型特征. 教學中教師要引導學生掌握讀圖的基本思路、構(gòu)圖技巧以及圖像探究的方向,提升學生的審題能力.

      2. 注重類比,知識遷移

      “類比”是幾何類比探究題的核心,該類問題的構(gòu)思極為巧妙,主要考查學生的類比遷移能力,問題往往由簡單的模型、結(jié)論作為起點,逐步深入,形成復合模型,但解決問題的核心方法、思想、思路是相一致的,依然是對基本概念、結(jié)論、模型的衍生拓展,因此發(fā)現(xiàn)和類比使用其中的性質(zhì)是突破問題的關(guān)鍵. 在教學中,教師要強化學生的知識基礎(chǔ),引導學生關(guān)注知識關(guān)聯(lián)、掌握類比的方法技巧,培養(yǎng)學生的知識遷移能力,激發(fā)學生的創(chuàng)新思維.

      3. 歸納模型,形成策略

      幾何類比探究題的形式多變,類型多樣. 解題探究時將重點放在對題型的劃分、模型的歸納和方法的總結(jié)上,以引導學生形成解題策略為教學的核心任務. 以上述類比探究題為例,在完成實例探究后筆者和學生一起深入反思了考題,總結(jié)了問題突破的“四招”以及常用的幾何模型,后續(xù)學生解題時可充分利用該策略來構(gòu)建思路. 教學中教師可指導學生對類型題進行對比分析,提煉解析方法,形成具體、系統(tǒng)的解題策略,以提升學生的核心素養(yǎng)為最終目標.

      3561501908255

      猜你喜歡
      類比幾何探究
      一道探究題的解法及應用
      一道IMO預選題的探究
      探究式學習在國外
      快樂語文(2018年13期)2018-06-11 01:18:16
      一道IMO預選題的探究及思考
      緊扣數(shù)學本質(zhì) 豐富學習方式
      現(xiàn)代油畫構(gòu)成研究
      青春歲月(2016年22期)2016-12-23 22:12:52
      初中數(shù)學教學中幾何畫板的教學探微
      亞太教育(2016年35期)2016-12-21 19:37:54
      三角函數(shù)問題中的數(shù)學思想
      亞太教育(2016年33期)2016-12-19 03:06:21
      提高農(nóng)村學生學習幾何的能力探索
      初中思想品德教學中如何運用類比教學法
      云林县| 嘉禾县| 五大连池市| 平泉县| 汉阴县| 沧州市| 保靖县| 都匀市| 望都县| 蓝山县| 永新县| 龙江县| 宜黄县| 雷州市| 体育| 金乡县| 永寿县| 仙居县| 山东| 广东省| 鹤峰县| 临泉县| 外汇| 岚皋县| 托克逊县| 台中市| 望城县| 峨眉山市| 栾城县| 周至县| 永仁县| 黄冈市| 松潘县| 长葛市| 象州县| 庆云县| 京山县| 遂溪县| 通渭县| 故城县| 乐平市|