胡柳青

[摘 ?要] 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是學(xué)生要學(xué)習(xí)的東西由自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來. 教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種“再創(chuàng)造”的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生. 文章以“反比例函數(shù)k的幾何意義”為例，結(jié)合一題一課復(fù)習(xí)詳盡地展現(xiàn)了這一范式操作的可行性和科學(xué)性，闡述實(shí)際操作中如何謀篇布局，提質(zhì)促效.

[關(guān)鍵詞] 再創(chuàng)造;一題一課;數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

問題提出

弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是學(xué)生要學(xué)習(xí)的東西由自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來. 教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助進(jìn)行“再創(chuàng)造”的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生. 因此，進(jìn)行有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”無可非議是每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者必須領(lǐng)會(huì)和遵循的教學(xué)思想.

省特級(jí)教師、正高級(jí)教師盛志軍于2017年成立桐廬縣、富陽(yáng)區(qū)杭州市農(nóng)村名師工作室. 工作室以弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論為指導(dǎo)，開展《再創(chuàng)造：基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課堂范式研究》的課題研究（浙江省教研規(guī)劃課題G2019028）. “再創(chuàng)造”教學(xué)范式顯著特征就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生再創(chuàng)造者的地位，經(jīng)歷知識(shí)的再創(chuàng)造過程，注重與生活的聯(lián)系和應(yīng)用. 根據(jù)弗氏相關(guān)理論，我們把“再創(chuàng)造”教學(xué)的基本理念描述如下（如圖1）：

（1）確定處于學(xué)術(shù)狀態(tài)的“現(xiàn)成數(shù)學(xué)”中的核心內(nèi)容作為教學(xué)材料;

（2）把核心問題回溯到學(xué)生的現(xiàn)成數(shù)學(xué)狀態(tài)中去，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題;

（3）引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知聯(lián)結(jié)（尋求興趣點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和疑難點(diǎn)等），通過“水平數(shù)學(xué)化”分析問題，初步解決核心問題;

（4）鞏固核心內(nèi)容，并以此為起點(diǎn)，“垂直數(shù)學(xué)化”，拓展探索，發(fā)現(xiàn)新的問題，水平探索……螺旋上升，循環(huán)往復(fù).

三年來，工作室開展了豐富多彩的實(shí)踐活動(dòng)，就如何實(shí)施“再創(chuàng)造”教學(xué)進(jìn)行有益探索并構(gòu)建基本范式（如圖2）. 《反比例函數(shù)k的幾何意義》為工作室成員盧老師的一堂示范課，現(xiàn)摘錄如下，以饗同仁.

課例展示

1. 復(fù)習(xí)課題

反比例函數(shù)k的幾何意義.

2. 復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷從函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x、y軸作垂線所得三角形（矩形）面積的探索過程，進(jìn)一步理解函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

（2）通過探究函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，感受數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.

（3）能夠靈活運(yùn)用函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解決一些比較綜合的問題，理解函數(shù)系數(shù)k的本質(zhì).

3. 學(xué)情分析

浙教版教材中，學(xué)生在八上學(xué)習(xí)函數(shù)、一次函數(shù)，在八下學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，在九上學(xué)習(xí)二次函數(shù)，在九下學(xué)習(xí)三角函數(shù)等. 反比例函數(shù)學(xué)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念，熟悉研究過程與思考方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 在學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于函數(shù)解析式等理解相對(duì)透徹，對(duì)幾何意義的理解尚顯不足. 反比例函數(shù)的問題解決，通常會(huì)與圖形面積交匯一起，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而理解函數(shù)系數(shù)k、函數(shù)解析式和函數(shù)圖形的內(nèi)在聯(lián)系，建立“數(shù)”“式”“形”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 為此，本節(jié)課將在原有模型基礎(chǔ)上構(gòu)建新模型，通過水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化，激發(fā)學(xué)生更深層次的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)反比例函數(shù)k的幾何意義的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí). 本節(jié)課確定如下幾點(diǎn).

中心：反比例函數(shù)k的幾何意義;

重心：反比例函數(shù)k的幾何意義的綜合問題探究;

核心：反比例函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

4.思考方向

函數(shù)背景考點(diǎn)多. 反比例函數(shù)知識(shí)繁雜，需要熟練掌握概念、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用等. 知識(shí)間不是獨(dú)立存在的，往往相互聯(lián)系，綜合程度比較高. 反比例函數(shù)已然成為中考的?？純?nèi)容，形式越來越新穎，探索性越來越強(qiáng). 本節(jié)課以反比例函數(shù)系數(shù)k為突破口，探究其與矩形、三角形面積的內(nèi)在聯(lián)系，將知識(shí)進(jìn)行整理、融合、提升，對(duì)學(xué)生分析和解決問題的能力提出更高要求.

圖像變化種類多. 利用k的幾何意義解決反比例函數(shù)與面積的綜合問題，通常會(huì)在基礎(chǔ)圖形（見圖3）上變化延伸，從而產(chǎn)生更多圖形. 如何在眾多變形中找出內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而有效解決，就需要他們熟練掌握基礎(chǔ)圖形，概括歸納尋求共性，進(jìn)而找出通解通法.

思維提升阻礙多. 反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，是學(xué)習(xí)二次函數(shù)、三角函數(shù)乃至對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，系數(shù)k與生俱來的代數(shù)意義和幾何意義，完美體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”. 已知系數(shù)k，就應(yīng)該聯(lián)想到相關(guān)圖形面積，考慮系數(shù)k的幾何意義;反之，如果知道相關(guān)面積信息，就應(yīng)該考慮系數(shù)k的代數(shù)意義. 學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生們往往會(huì)割裂其聯(lián)系，顧此失彼. 這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生打破原有的知識(shí)壁壘，從復(fù)雜圖形中抽絲剝繭地找出基礎(chǔ)模型，尋找解決問題的鑰匙，實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí).

基于以上分析，本節(jié)課將通過模型來研究題型，依托一題多解和多題一解，對(duì)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行再次理解和歸納，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能和思想方法上的“再創(chuàng)造”.

5. 設(shè)計(jì)思路

環(huán)節(jié)一 ?本源回溯

（1）我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等知識(shí)，請(qǐng)思考：

問題1：平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)A（1，6），你能得到過點(diǎn)A的函數(shù)嗎？如果有點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（2，3），你能得到過點(diǎn)A，B的函數(shù)嗎？如果有點(diǎn)A（1，6）、點(diǎn)B（2，3）、點(diǎn)C（-1，-6），你能得到過點(diǎn)A，B，C的函數(shù)嗎？

問題2：①如圖4，如果有點(diǎn)A（1，6）、點(diǎn)B（2，3）、點(diǎn)C（-1，-6）和點(diǎn)D（-2，-3），你能得到過點(diǎn)A，B，C，D的函數(shù)嗎？你能找出圖像上的其他點(diǎn)嗎？

②如圖5，在函數(shù)圖像上，過點(diǎn)B向x，y軸作垂線，垂足為E，F(xiàn)，則OEBF面積為多少？若P（x，y）是圖像上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x，y軸作垂線，垂足為M，N，則OMPN面積為多少？

③如圖6，過點(diǎn)A，B，C，D作x軸（或y軸）垂線，該點(diǎn)、垂足與點(diǎn)O構(gòu)成四個(gè)三角形，求三角形面積. 如果P是函數(shù)圖像上任意點(diǎn)，作x軸（或y軸）垂線，求垂足、點(diǎn)P、點(diǎn)O所構(gòu)三角形面積.

設(shè)計(jì)說明：本源回溯是整個(gè)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，務(wù)須符合認(rèn)知需求，強(qiáng)調(diào)知識(shí)銜接. 教師從經(jīng)過一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)點(diǎn)的解析式入手，從本源上引導(dǎo)學(xué)生回溯系數(shù)k與幾何面積的聯(lián)系，關(guān)注k的代數(shù)意義與幾何意義. 只有本源回溯精準(zhǔn)，才能從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，開展適合學(xué)生認(rèn)知的學(xué)習(xí)，以此來加強(qiáng)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的實(shí)效性，為“再創(chuàng)造”提供可行條件.

環(huán)節(jié)二 ?新知再造

設(shè)計(jì)說明：新知再造要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在整體結(jié)構(gòu)中理解數(shù)學(xué)本質(zhì). 學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等均有不同，有獨(dú)特“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”. 教師課堂教學(xué)“再創(chuàng)造”，要根植學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“思維水平”，創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，分別經(jīng)歷知識(shí)的水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化，完成“再創(chuàng)造”，達(dá)成知識(shí)建構(gòu). 拓展一，先求出點(diǎn)A，B，延長(zhǎng)BO交另一支于點(diǎn)C，如圖14，利用對(duì)稱性得BO=CO，△AOB與△AOC面積相等，求得△AOB面積. 拓展二，由一支曲線上兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩支曲線的特殊點(diǎn)，如圖16，連接OA，OB，得S△APB=S△AOB，利用模型求得S△APB=S△AOB=S△AOC-S△BOC=2. 拓展三，將特殊點(diǎn)又轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn)（如圖18），將同一象限的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為不同象限的兩點(diǎn)（如圖20、22），仍可用類似方法求解：?jiǎn)栴}1，如圖19，過A，B作x軸垂線AM，BN，轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形面積的和（差）：S△AOB=S△AOM+S四邊形AMNB-S△OBN，與例題不同的地方是：由于點(diǎn)在不同函數(shù)上，故兩個(gè)三角形面積不相等;問題2則與拓展一完全相同，可利用中心對(duì)稱性，如圖21，延長(zhǎng)BO交雙曲線另一支于點(diǎn)C，得S△ABO=S△ACO;問題3則與前兩問題的解法相似，如圖23，轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形面積的和（差）. 教師逐步引導(dǎo)下，找出問題共性，一題多解，多題一解，體會(huì)利用基礎(chǔ)模型解決復(fù)雜問題的便利，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的“再創(chuàng)造”.

設(shè)計(jì)說明：后續(xù)聯(lián)結(jié)是整節(jié)課的知識(shí)回顧，也可以是下節(jié)課的本源回溯，但不能和預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)混淆. 后續(xù)聯(lián)結(jié)是鞏固所學(xué)知識(shí)、形成技能方法、培養(yǎng)良好思維、發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑. 問題選擇時(shí)也要適當(dāng)提升難度，培養(yǎng)發(fā)散思維，提升創(chuàng)新思維，在持續(xù)發(fā)展中不斷“再創(chuàng)造”. 上述題目均選自2020年中考真題，著重考查學(xué)生是否掌握了反比例系數(shù)k的幾何意義，起到課后檢測(cè)的作用.

反思跟進(jìn)

“再創(chuàng)造”范式下的一題一課復(fù)習(xí)，是一個(gè)讓學(xué)生在更高視野下的構(gòu)建知識(shí)的過程，也是一個(gè)讓學(xué)生在更深思維下的感受生長(zhǎng)的過程，還是一個(gè)讓學(xué)生在更精文化下的發(fā)展自我的過程. 本節(jié)課從一個(gè)主問題開始，以點(diǎn)帶面、由淺入深地復(fù)習(xí)整章知識(shí)，通過反比例函數(shù)k的幾何意義串聯(lián)形成一條主線，不同的知識(shí)又由這條主線關(guān)聯(lián)在一起，從而使得復(fù)習(xí)教學(xué)走向簡(jiǎn)約而高效.

1. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課，要選準(zhǔn)一個(gè)好題

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該有一定的廣度和深度. 廣度是橫向上的容量與范圍，深度則是縱向上的數(shù)學(xué)思考. 一題一課，知識(shí)的掌握、方法的提升、思想的領(lǐng)悟都凝聚于題，一題的選擇就尤其關(guān)鍵. 首先，知識(shí)內(nèi)容應(yīng)該是主干知識(shí)、重要思想，而不能旁枝逸出，輕重不分;其次，知識(shí)含量應(yīng)該充足，或者可供拓展，能進(jìn)行豐富和必要的發(fā)散提升;最后，知識(shí)種類應(yīng)該豐富，是多種類、多樣化的，既要有知識(shí)、技能，又要有思想、方法和活動(dòng)體驗(yàn). 教學(xué)時(shí)還要對(duì)所選例題進(jìn)行充分的、必要的、精細(xì)的打磨，要將所選問題與教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，弱化無關(guān)知識(shí)，強(qiáng)化核心思想，從而保證最終解決的問題具有很高的價(jià)值.

2. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課，要突出一個(gè)主體

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課就是要強(qiáng)調(diào)“學(xué)生之本位”，還“課堂之本色”. 教學(xué)中，要始終以學(xué)生為主體，嘗試引導(dǎo)學(xué)生參與變式、擬題活動(dòng)，提出一些富有探究?jī)r(jià)值的問題，在問題中提升，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更為全面、更加透徹，讓不同層次學(xué)生有不同程度的理解深度，讓個(gè)性相異學(xué)生表達(dá)自主獨(dú)特的思考路徑，還要讓學(xué)生的疑惑引發(fā)教師的思考，將被動(dòng)灌輸轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)探究，從而將復(fù)習(xí)教學(xué)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)有趣、學(xué)知育人的有效課堂.

3. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課，要經(jīng)歷一次生長(zhǎng)

教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生經(jīng)歷成長(zhǎng)、見證成長(zhǎng)、完成成長(zhǎng). “再創(chuàng)造”范例下的一題一課復(fù)習(xí)秉承的是一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長(zhǎng)的理念，講究的是一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長(zhǎng)的策略. 具體地講，“再創(chuàng)造”范例下的一題一課，正是通過創(chuàng)設(shè)問題情境、獨(dú)立自主探究、生生合作交流、師生成果展示等過程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、類比、猜想、思考、驗(yàn)證、推理、轉(zhuǎn)化等過程，讓他們感受到數(shù)學(xué)可以如此有趣、輕松地學(xué)，而且能夠理解與掌握研究數(shù)學(xué)、解決問題的常用思路和一般方法. 唯有如此，才能讓核心知識(shí)、重要思想的真正價(jià)值落到實(shí)處，也只有這樣，才能確保教學(xué)方向的準(zhǔn)確無誤，學(xué)習(xí)成效的顯著提升，才能真正激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，啟迪數(shù)學(xué)智慧，開拓思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

以往，在浩瀚的圖書館中尋找多日的資料，今天，借助百度、知乎可以信手拈來;以往，“知識(shí)就是力量”，未來，“思維才是力量”;以往，在職場(chǎng)中穩(wěn)操勝券的是“有知識(shí)的人”，未來，在職場(chǎng)中獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷的將是“會(huì)學(xué)習(xí)的人”……“再創(chuàng)造”就是讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)造知識(shí)的全過程. 只有教師“再創(chuàng)造”地教才能為學(xué)生“再創(chuàng)造”地學(xué)提供肥沃土壤，才能使學(xué)生的“再創(chuàng)造”能力不斷地得到發(fā)展.