黃麗華，劉鵬洋，曲激婷

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，大連 116024)

1 引 言

復(fù)合材料薄壁加筋層合板結(jié)構(gòu)具有比強度高、比剛度大和可設(shè)計性強等顯著優(yōu)點，在航空航天和工業(yè)建筑等工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。該類薄壁加筋構(gòu)件最常見的失效模式為屈曲，開展此類結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性計算方法研究具有實際意義和應(yīng)用價值。

針對正交各向異性薄壁加筋板的穩(wěn)定性計算問題，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究。劉騰喜等[1]用混合硬化正交各向異性塑性理論和屈曲的能量法則，推導(dǎo)了正交各向異性薄板在面內(nèi)壓縮下的彈塑性穩(wěn)定方程。劉從玉[2]在筋條與壁板之間引入界面單元及罰剛度，研究了加筋板前后屈曲行為及筋條與壁板之間的脫粘現(xiàn)象。曲文斌等[3]利用有限元軟件模擬了各種邊界條件和荷載作用下正交各向異性板的屈曲失穩(wěn)形式。楊端生等[4]根據(jù)各向異性矩形薄板剪切屈曲橫向位移函數(shù)的微分方程建立了一般性的解析解。劉毅等[5]將加筋板簡化為受彈簧約束的層合板，利用伽遼金法得到屈曲與后屈曲解析解。王春玲[6]討論了正交各向異性板在面內(nèi)邊界力作用下的屈曲和后屈曲行為。Mittelstedt[7,8]推導(dǎo)并求解了對稱軸壓荷載作用下加筋板的彈性屈曲荷載理論解;此外，采用半解析法推導(dǎo)了單筋加筋板在壓剪復(fù)合荷載作用下的屈曲荷載理論解。Byklum等[9]引入幾何非線性，分析了雙向加筋板在雙向軸壓載荷下發(fā)生局部屈曲的前后屈曲行為。 Brubak等[10]用半解析法對帶有任意方向筋條的加筋板在壓剪載荷下的前后屈曲行為進行了分析。Kharazi等[11]采用里茲法，基于一階剪切變形理論并結(jié)合多項式級數(shù)得到位移場，對板的穩(wěn)定性問題進行分析。楊俊清等[12]將正交各向異性矩形層壓板的剪切屈曲荷載計算公式應(yīng)用于預(yù)測試驗屈曲荷載。徐元銘等[13]基于假設(shè)提出了一種對于四邊簡支矩形次加筋板的屈曲荷載近似計算方法。劉文慶等[14]提出了復(fù)合材料層合板等效材料力學(xué)參數(shù)公式。汪厚冰等[15]對帽型加筋板的剪切屈曲荷載進行理論分析及數(shù)值模擬，推導(dǎo)了蒙皮應(yīng)變分布，并基于半經(jīng)驗和理論公式計算出剪切屈曲荷載。

為簡化正交各向異性薄壁加筋板的穩(wěn)定性計算，本文基于里茲法，推導(dǎo)板和筋條的總勢能，基于最小勢能原理，建立不同壓剪比復(fù)合荷載作用下正交各向異性加筋板的彈性穩(wěn)定性控制方程，進而針對單筋和三筋加筋板開展屈曲荷載及模態(tài)分析。

2 理論推導(dǎo)

任意正交各向異性加筋板及筋條坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 加筋板及筋條

設(shè)u，v和w分別為薄壁層合板中面x，y和z三個方向的位移，根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板內(nèi)任一點位移場表達為

u(x,y,z,t)=u0(x,y,t)-z?w0/?x

v(x,y,z,t)=v0(x,y,t)-z?w0/?y

w(x,y,z,t)=w0(x,y,t)

(1)

由格林應(yīng)變張量得彈性體的應(yīng)變與位移關(guān)系

(2)

根據(jù)小變形假設(shè)，忽略式(2)的u和v二次項，計橫向法線的偏轉(zhuǎn)角度，將位移場表達式(1)代入式(2)，可得到von Karman應(yīng)變位移假設(shè)，

(3)

正交各向異性板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

σx=Ex(εx+εyνy x)/(1-νx yνy x)

σy=Ey(εy+εxνx y)/(1-νx yνy x),τx y=Gx yγx y

(4)

式中Ex和Ey為x和y方向彈性模量，νx y和νy x為主副泊松比，Gx y為剪切模量。將式(3)的非線性應(yīng)變位移關(guān)系線性化，與式(4)一同代入應(yīng)變能的計算公式，得正交各向異性板應(yīng)變能表達式為

(5)

式中各系數(shù)的表達式如下，h為板厚。

筋條坐標(biāo)系ysOzs如圖 1所示。設(shè)沿x方向上固定第i個筋條，將筋條簡化為附著在板上的梁，根據(jù)梁和板在連接處位移協(xié)調(diào)，梁內(nèi)任意點位移場與連接在板上的點的位移關(guān)系表達式為

zs[?w(x,yi,t)/?x]

zs[?w(x,yi,t)/?y]

(6)

式中偏心距ex i=(hs+h)/2，hs和bs為筋條高度及寬度。

根據(jù)加筋條內(nèi)部位移場表達式(6)，結(jié)合應(yīng)變位移關(guān)系式(3)，得到由板中面位移表示的加筋梁應(yīng)變位移關(guān)系式為

(7)

由此正交各向異性筋條的勢能表達式為

(8)

薄板面內(nèi)載荷在位移上所做的功為

(9)

式中Nx x和Ny y分別為x和y方向的面內(nèi)力,Nx y為剪切力。由此，正交各向異性加筋板的總勢能為

(10)

四邊簡支約束時，滿足邊界條件的位移函數(shù)為

(11)

式中Ai j，Bi j和Ci j為待定系數(shù)，a和b分別為板在x和y方向的幾何尺寸。將式(11)代入總勢能方程(10)，由最小勢能原理,得到齊次線性方程組的矩陣表達式為

(12)

由此可得正交各向異性加筋板在壓剪荷載下屈曲分析的控制方程。其中第一個方陣為正交各向異性板的線性剛度陣，矩陣中各項表達式如下。

第二個方陣為正交各向異性筋條的線性剛度陣，矩陣中各項具體表達式如下。

式(12)等號右側(cè)的方陣為沿x方向軸壓荷載、面內(nèi)剪切力及沿y方向的軸壓荷載作用下的剛度矩陣，具體表達式如下。

由此可得關(guān)于Ai j,Bi j和Ci j的齊次方程。使用Matlab編程，采用梯形trapz函數(shù)進行數(shù)值積分，計算特征值及特征向量，即得到正交各向異性加筋板的特征值屈曲荷載及對應(yīng)的屈曲模態(tài)。

3 實例分析

3.1 模型參數(shù)

如圖2所示，取邊長a×b=1 m×1 m，厚度h=0.01 m的正交各向異性加筋板，筋條厚度bs=0.029 m，筋條高度hs=0.04 m，板和筋條由同種正交各向異性材料構(gòu)成，材料性能分別為Ex=133 GPa，Ey=10.4 GPa，Gx y=4.14 GPa，νx y=0.29。

加筋板在平行于筋條方向上受到對邊施加的軸壓荷載，沿四邊方向受到剪切荷載，如圖3所示。取壓剪比為1∶1，5∶1和1∶5，分別計算四邊簡支的正交各向異性加筋板在復(fù)合荷載作用下的屈曲荷載及屈曲模態(tài)。工況1，筋條位于yi=0.5 m 處；工況2，筋條分別位于yi=0.25 m，0.5 m，0.75 m 處。

3.2 計算結(jié)果分析

將上述參數(shù)輸入到Matlab程序中，同時使用Abaqus有限元軟件，建立有限元模型如圖4所示。

圖2 幾何示意圖

圖3 邊界條件及荷載

在有限元分析中，固定四個側(cè)邊所有節(jié)點的w方向位移，以及垂直于筋條方向側(cè)邊的y方向位移，實現(xiàn)四邊簡支的邊界條件。沿x方向施加軸向載荷，四邊施加剪切載荷。

工況1： 單筋板在三種壓剪比下，前五階屈曲荷載及屈曲模態(tài)計算結(jié)果列入表1和表2。

工況2： 三筋板在三種壓剪比下，前五階特征值屈曲荷載及模態(tài)計算結(jié)果列入表3和表4。

由表1和表3可知，單筋加筋板在三種壓剪比下，一階屈曲荷載值較小，故相對誤差略大，最大誤差為6.41%，三種荷載下前五階屈曲荷載值的平均相對誤差分別為3.39%，2.12%和1.47%。三筋加筋板在三種壓剪比下，一階特征值屈曲荷載相對誤差較大，最大為10.55%，三種荷載下前五階屈曲荷載值的平均相對誤差分別為4.30%，5.40% 和 4.27%。整體而言，當(dāng)壓剪比為1∶1時，各階屈曲荷載值均最小，故在實際應(yīng)用中應(yīng)盡量避免加筋板構(gòu)件受到壓剪比相近的復(fù)合荷載。隨著筋條數(shù)目增加，屈曲荷載平均增加28%左右，三筋加筋板前五階特征值屈曲荷載的相對誤差均比單筋加筋板的相對誤差大2.3%左右。

圖4 有限元模型

表1 屈曲荷載計算結(jié)果對比

由表2和表4可知，三種壓剪比下前5階模態(tài)呈反對稱形式，三筋加筋板與單筋加筋板前3階模態(tài)差異較小，可見筋條數(shù)目對于屈曲模態(tài)影響較小。壓剪比為1∶1的屈曲模態(tài)與壓剪比為5∶1的屈曲模態(tài)相似，說明軸壓荷載主導(dǎo)了屈曲模態(tài)?；诒疚乃惴ǖ玫降膬煞N工況的三種復(fù)合荷載下的前五階特征值屈曲模態(tài)與Abaqus軟件計算結(jié)果基本一致。個別模態(tài)存在細(xì)微差別，主要原因在于，本文計算單筋、三筋加筋板所取位移函數(shù)的階數(shù)上限分別為11階和13階，上限值越大，計算得到的屈曲荷載及模態(tài)越精確，但相應(yīng)的計算量也越大；此外，本文僅考慮面內(nèi)荷載對薄板做功，而忽略外荷載對筋條做功，導(dǎo)致結(jié)果誤差，筋條越多誤差越大。

表2 屈曲模態(tài)計算結(jié)果對比

表3 屈曲荷載計算結(jié)果對比

表4 屈曲模態(tài)計算結(jié)果對比

4 結(jié) 論

本文基于里茲法推導(dǎo)了正交各向異性加筋板屈曲分析的控制方程，采用Matlab計算加筋板的屈曲荷載和屈曲模態(tài)。通過計算單筋和三筋加筋板在三種不同比例的壓剪復(fù)合荷載下前五階屈曲荷載及模態(tài)可知，當(dāng)壓剪比為1∶1時，各階屈曲荷載均最小，故在實際應(yīng)用中應(yīng)盡量避免加筋板受到壓剪比相近的復(fù)合荷載；筋條數(shù)目由1根增加到 3根后，屈曲荷載平均增加28%左右，計算相對誤差平均增大2.3%，計算精度可通過增加位移函數(shù)階數(shù)提升?；诒疚耐茖?dǎo)的正交各向異性加筋板彈性屈曲解，能夠得到較精確的特征值屈曲荷載及對應(yīng)模態(tài)。