郭培華

[摘 ?要] 教育的進(jìn)步促進(jìn)了社會(huì)的發(fā)展. 在新課改過(guò)程中，研究者發(fā)現(xiàn)探究法具有操作靈活、成效顯著等優(yōu)勢(shì). 同時(shí)，它對(duì)學(xué)生高階思維的形成與發(fā)展具有重要作用. 鑒于此，文章就探究法在概念教學(xué)、公式定理類教學(xué)及解題教學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)討論.

[關(guān)鍵詞] 探究法;概念;教學(xué)

隨著新課改的深入，探究法展現(xiàn)出了不菲的價(jià)值. 它能轉(zhuǎn)變教育者根深蒂固的傳統(tǒng)觀念，嘗試用新的技術(shù)或方法鼓勵(lì)學(xué)生自主探索知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在實(shí)踐中獲得新識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)[1]. 探究法具有較強(qiáng)的靈活性與操作方便等優(yōu)勢(shì)，它能點(diǎn)對(duì)點(diǎn)地挖掘?qū)W生思維的寬度與深度，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出新的生命力.

探究法在概念教學(xué)中的應(yīng)用

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn). 作為教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，筆者在概念教學(xué)中嘗試過(guò)多種教學(xué)方法. 實(shí)踐證明，將探究法運(yùn)用到概念教學(xué)中，能讓學(xué)生形象地感知概念的形成過(guò)程. 學(xué)生對(duì)親身體驗(yàn)后構(gòu)建而成的概念的理解，比傳統(tǒng)的教師直接講解更為深刻. 而用探究法進(jìn)行概念教學(xué)是幫助學(xué)生構(gòu)建概念的基本手段.

案例1：“函數(shù)的周期性”的概念教學(xué).

問(wèn)題1：觀察圖1，畫(huà)出角α的正弦線;

問(wèn)題2：若角α的終邊進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（繞原點(diǎn)O），則角α的正弦線會(huì)發(fā)生怎樣的變化？變化具有什么規(guī)律？

這兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，主要是為了鞏固學(xué)生原有的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感受正弦線周而復(fù)始的變化規(guī)律，以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. 在學(xué)生給予正確的解答后，教師可提出下一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考與探究.

問(wèn)題3：觀察圖2，整合自己的語(yǔ)言，描述一下正弦函數(shù)的圖像出現(xiàn)圖中這種周而復(fù)始變化規(guī)律的現(xiàn)象.

問(wèn)題4：有沒(méi)有哪個(gè)公式能反映出圖2所呈現(xiàn)的變化規(guī)律？

問(wèn)題5：如果函數(shù)f（x）具有圖2所呈現(xiàn)的變化規(guī)律，我們可用怎樣的代數(shù)式來(lái)描述？

設(shè)計(jì)問(wèn)題3的目的在于鼓勵(lì)學(xué)生從不同的視角去觀察與探究問(wèn)題，本題是為了讓學(xué)生轉(zhuǎn)變觀察的角度，用自己的言語(yǔ)描述圖中這種規(guī)律的現(xiàn)象. 在學(xué)生思維得以拓展以后，問(wèn)題4則順勢(shì)而出. 學(xué)生通過(guò)對(duì)誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）的回憶，明晰這個(gè)周而復(fù)始規(guī)律的代數(shù)刻畫(huà)形式，從數(shù)形結(jié)合方面提出用“周期性”的概念來(lái)刻畫(huà)這種規(guī)律的變化. 問(wèn)題5需要學(xué)生用逆向思維與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述相應(yīng)的規(guī)律，“周期與周期函數(shù)”的概念則由此自然而然地形成.

以學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式及圖像的特點(diǎn)進(jìn)行探究，對(duì)周期性產(chǎn)生了深入的了解，并以周而復(fù)始的變化規(guī)律為導(dǎo)火索，讓學(xué)生從探究中經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維歷程，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，以及形成良好的思維能力.

探究法在公式、定理等教學(xué)中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的教學(xué)方式是讓學(xué)生機(jī)械性地記憶公式、定理等. 這些固定的公式、定理等都是前人經(jīng)過(guò)不斷實(shí)踐與探索逐漸發(fā)現(xiàn)的. 若讓學(xué)生死記硬背，難以達(dá)到融會(huì)貫通、靈活使用的效果. 因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解這些公式、定理的來(lái)龍去脈. 只有經(jīng)過(guò)自主探索與構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程，才能讓知識(shí)真正地內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能讓學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

案例2：“等比數(shù)列求和公式”的教學(xué).

本章節(jié)內(nèi)容作為數(shù)列求和問(wèn)題中的重要內(nèi)容之一，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的作用. 不少教師考慮用等差數(shù)列求和的方法（倒序相加法）來(lái)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的銜接，筆者也做了一定的嘗試，在等比數(shù)列求和的問(wèn)題中運(yùn)用倒序相加法來(lái)進(jìn)行教學(xué).

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，倒序相加法的實(shí)質(zhì)是在兩式相加后產(chǎn)生相同項(xiàng)，而這在等比數(shù)列求和的問(wèn)題中并不能產(chǎn)生相同項(xiàng). 那么，怎樣能產(chǎn)生相同項(xiàng)呢？研究發(fā)現(xiàn)，用公比乘數(shù)列的各項(xiàng)，得數(shù)恰巧是它們各自后面的一項(xiàng). 如此，相同項(xiàng)便找到了.

等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，S=a+a+a…+a. 用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將此式化為S=（q≠1）（過(guò)程略）.

教學(xué)中，不少教師將此結(jié)論的形成分解成若干個(gè)小步驟，通過(guò)階梯式的鋪設(shè)、設(shè)問(wèn)與誘導(dǎo)等，讓學(xué)生的思維沿著教師的思路而前進(jìn)，直至結(jié)論的形成. 其實(shí)，高中生的思維遠(yuǎn)遠(yuǎn)比我們想象的強(qiáng)大，教師若給予學(xué)生更多的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從自己的視角探索這部分內(nèi)容，則會(huì)讓課堂發(fā)生別樣的光彩.

如在教學(xué)中，學(xué)生提出了以下幾種思考方式：

生1：在式子S=a+a+a…+a的兩邊都乘q，可得qS=aq+aq+aq…+anq. 后式減前式可得S=（q≠1），而當(dāng)q=1時(shí)，S=na.

生2：由等比數(shù)列的通項(xiàng)可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，將這n-1個(gè)等式兩邊分別相加，可得S-a=Sq;S是我們待求的項(xiàng)，因此可將Sq轉(zhuǎn)化為（S-a）q，由移項(xiàng)可得S=a+（S-a）q，所以S=（q≠1），S=na（q=1）.

學(xué)生在自主探究中，運(yùn)用疊加法與等式S-S=a（n≥2）完成了對(duì)等比數(shù)列求和公式S的推導(dǎo)過(guò)程. 類似于此的方法，還有錯(cuò)位加減法等.這些都會(huì)在練習(xí)中大量出現(xiàn)與使用.

學(xué)生在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，經(jīng)歷了問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決過(guò)程，再通過(guò)反思與對(duì)比獲得相應(yīng)的結(jié)論. 此探究過(guò)程是一次有意義的嘗試，拓展學(xué)生思維的同時(shí)，對(duì)學(xué)生觀察、推理與歸納能力的培養(yǎng)有一定的促進(jìn)作用.

探究法在解題教學(xué)中的運(yùn)用

解題能力反映了學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握與運(yùn)用程度. 實(shí)踐證明，探究法運(yùn)用于解題教學(xué)中能有效地挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)與知識(shí)的內(nèi)涵. 探究試題不同的解決辦法，或變式的討論等，能將知識(shí)之間的聯(lián)系暴露出來(lái)，幫助學(xué)生更好地構(gòu)建新的知識(shí)體系，為知識(shí)的融會(huì)貫通與靈活運(yùn)用奠定基礎(chǔ)[2]. 因此，解題教學(xué)的探究能讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的成就感，促使思維的發(fā)展.

案例3：“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”的教學(xué).

原題：已知橢圓C：+=1，一條直線l的方程為y=ax+b.

問(wèn)題1：若想讓橢圓C與直線l相交，試寫(xiě)出a，b的值.

此問(wèn)具有多種答案，對(duì)學(xué)生而言本題難度并不大，想要探尋此題的答案，可從a，b之間的內(nèi)部聯(lián)系著手思考. 此設(shè)計(jì)起點(diǎn)不高，坡度也比較小，恰到好處地激發(fā)了學(xué)生的好奇心，推動(dòng)了他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，這為接下來(lái)的問(wèn)題打下了良好的基礎(chǔ).

問(wèn)題2：若橢圓C與直線l相交，a與b應(yīng)呈怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題1只需要寫(xiě)出符合題意的一組數(shù)值即可，而問(wèn)題2則在此基礎(chǔ)上提出了深層次的要求，至于a與b這兩個(gè)值之間是否存在一定的規(guī)律，是值得學(xué)生探究的問(wèn)題. 在學(xué)生對(duì)問(wèn)題1有初步思考的情況下，面對(duì)此問(wèn)會(huì)自然地運(yùn)用從特殊到一般的思想，通過(guò)探究便不難獲得問(wèn)題的答案.

問(wèn)題3：如果a+b=1，則橢圓C與直線l之間是怎樣的位置關(guān)系？

此問(wèn)其實(shí)與前兩問(wèn)呈一種前后呼應(yīng)的關(guān)系. 學(xué)生可以從幾何的角度，即從直線l過(guò)點(diǎn)（1，1）來(lái)探究;也可以從代數(shù)的角度，即從問(wèn)題2所獲得的結(jié)論來(lái)探究. 這幾個(gè)問(wèn)題一環(huán)套一環(huán)地設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在探究過(guò)程中充分感悟從特殊到一般的思想. 此過(guò)程完美地體現(xiàn)了探究教學(xué)法的作用與學(xué)生思維發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程.

問(wèn)題4：為本題添加一個(gè)條件，求出直線l的方程.

此問(wèn)與以上幾問(wèn)相比，開(kāi)放的角度更大，需要學(xué)生用更大的參與度去思考與探究. 不同水平層次的學(xué)生在此問(wèn)中呈現(xiàn)出了不一樣的答案. 學(xué)生經(jīng)過(guò)探究后添加的條件涉及弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離與中點(diǎn)坐標(biāo)公式等. 總之，每個(gè)學(xué)生都充分發(fā)揮了自己的能力，想出各種方法為本題添加條件，鍛煉思維的同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的命題能力.

問(wèn)題5：若將橢圓C的方程改為雙曲線方程-=1，請(qǐng)?jiān)趩?wèn)題4中所補(bǔ)充的條件里，選擇一個(gè)條件求出直線l的方程.

此問(wèn)以變式的形式展現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)的遷移能力. 縱然題目會(huì)出現(xiàn)萬(wàn)般變化，但探究方法與數(shù)學(xué)思想?yún)s不會(huì)改變[3]. 因此，掌握具有普遍意義的方法是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的基本保障.

總之，不論是概念、定理、公式的教學(xué)，還是解題的教學(xué)，均可運(yùn)用探究法找準(zhǔn)問(wèn)題的突破口，挖掘?qū)W生思維的寬度與深度，促使學(xué)生在知識(shí)的構(gòu)建中形成高階思維. 探究教學(xué)法的實(shí)施是優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本手段，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本方法.

參考文獻(xiàn)：

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