一類具有負(fù)交叉擴散的SIS 傳染病模型的Turing 穩(wěn)定性

陳清婉，柳文清

（閩南科技學(xué)院 通識教育學(xué)院，福建 泉州362300）

當(dāng)前新冠肺炎病毒在全球大面積傳播，深入研究傳染病的傳播機制，具有非常重要的現(xiàn)實意義。許多學(xué)者利用動力學(xué)原理建立了多種傳染病數(shù)學(xué)模型，并取得了很好的研究成果[1-5]。近來，一類總?cè)丝跐M足Logistic 增長以及受心理作用影響的SIS 傳染病模型受到關(guān)注[6-9]，文[6]建立了一類SIR 傳染病模型如下

其中：S,I,R 分別是t 時刻易感者，染病者和恢復(fù)者的數(shù)量，N=S+I+R 為總?cè)丝跀?shù)，b 表示自然增長率，d 表示自然死亡率，r=b-d 為內(nèi)稟增長率，K 表示環(huán)境容納量；μ 表示恢復(fù)率和治愈率的和；v 為獲得的終身免疫率；β 表示潛伏者和染病者的有效接觸率；參數(shù)α(0 ＜α ＜1)表示心理作用系數(shù)，即傳染病發(fā)生時人們采取了相應(yīng)的預(yù)防措施，從而影響疾病的發(fā)生。

文[7]則研究了一類SIS 傳染病模型

其中：(x,t)∈Ω×(0,T)；d11,d22＞0 表示自擴散系數(shù)，它是由空間分布不均勻引起的擴散，d12＞0,d21＞0表示交叉擴散系數(shù)。傳染病模型帶正的交叉擴散系數(shù)，表示人群總是從另一人群的高密度區(qū)域向低密度區(qū)域移動，表現(xiàn)為染病者遠(yuǎn)離易感者的現(xiàn)象；而傳染病模型帶負(fù)的交叉擴散系數(shù)，表示人群從低密度區(qū)域向高密度區(qū)域移動，表現(xiàn)為染病者向易感者移動的現(xiàn)象。更多的交錯擴散模型的研究可參看文獻[10-15]。

容易得到，模型(3)與模型(2)有相同的常數(shù)平衡點，將模型(2)中的兩個方程相加可得

本文將討論由負(fù)交叉擴散系數(shù)引起的Turing失穩(wěn)。在閾值R0≤1 條件下，負(fù)交叉擴散系數(shù)較小時，無病平衡點局部漸近穩(wěn)定，負(fù)交叉擴散系數(shù)較大時，無病平衡點不穩(wěn)定；閾值R0≥1 條件下，負(fù)交叉擴散系數(shù)較小時，染病平衡點局部漸近穩(wěn)定，負(fù)交叉擴散系數(shù)較大時，染病平衡點不穩(wěn)定。

1 負(fù)交叉擴散引起的Turing 失穩(wěn)

記Ω 上的算子Δ 在齊次Neuuman 邊界條件下的特征值序列為0=μ0≤μ1≤…≤μk≤…，將模型(3)中方程改寫為如下形式

此時特征方程有一正特征根，染病平衡點E*=(S*,I*)不穩(wěn)定。

2 數(shù)值模擬

圖1 d21=0.1時平衡點E0=(1,0)局部漸近穩(wěn)定

圖2 取d21 ≤0.6 時，衡點E*局部漸近穩(wěn)定

3 小結(jié)

由上述定理結(jié)論可知，對于交叉擴散傳染病模型，閾值不再是疾病流行與否的唯一衡量指標(biāo)，負(fù)交叉擴散的傳染病模型,染病者向易感者移動的速度會影響著傳染病的傳播。當(dāng)負(fù)交叉擴散系數(shù)d21較小時，平衡點局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)負(fù)交叉擴散系數(shù)d21較大時，平衡點失穩(wěn)。