“算”中需“四重”、“四思”

沈小燕

摘 要：運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)基本能力，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求的核心素養(yǎng)之一。運(yùn)算能力在很大程度上影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。盡管教師在提高學(xué)生的運(yùn)算能力上花了不少的心思，但是現(xiàn)狀總是不盡如人意，學(xué)生因計(jì)算錯(cuò)誤或未采取有效的簡便計(jì)算所造成的失分都令教師非常痛心。那么如何在摒棄題海戰(zhàn)術(shù)的條件下促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)，如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力？本文就筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合教學(xué)中的幾個(gè)片段提出幾點(diǎn)提高學(xué)生運(yùn)算能力的策略。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算能力 運(yùn)算速度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“運(yùn)算能力主要指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。一個(gè)初中生數(shù)學(xué)能力的高低，在運(yùn)算能力上就有著充分的體現(xiàn)。運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)課程中“代數(shù)與數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合與實(shí)踐”也都與運(yùn)算有著緊密的聯(lián)系。因此，提高初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，也成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革亟待解決的難題。

1 中學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的重要性

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中最基本的能力之一，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，形成其他數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。在初中數(shù)學(xué)中，大部分內(nèi)容都與運(yùn)算有著密切聯(lián)系，學(xué)生運(yùn)算能力的高低，直接決定了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的質(zhì)量。在各次考試中，考察運(yùn)算能力的題目占據(jù)很大的比重，因?yàn)檫\(yùn)算能力它是重要的基礎(chǔ)。運(yùn)算能力有時(shí)候是獨(dú)立考察的，比如嘉興中考第17題，直接考察實(shí)數(shù)的運(yùn)算。但是大多數(shù)時(shí)候是滲透進(jìn)各類題型中，成為解題不可或缺的環(huán)節(jié)。一個(gè)小的運(yùn)算失誤很可能會(huì)導(dǎo)致滿盤皆輸。但是，我們?cè)诰拍昙?jí)中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，總會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分的學(xué)生運(yùn)算能力欠佳，后進(jìn)生掌握不了運(yùn)算法則，中等生計(jì)算出錯(cuò)率高，優(yōu)生缺乏整體思想和簡便運(yùn)算的能力。而最近幾年的中考，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力的要求卻在不斷提高。運(yùn)算能力如此重要，它大大地影響著學(xué)生的解題速度從而影響學(xué)生的成績。所以，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，運(yùn)算能力是基礎(chǔ)，培養(yǎng)和提升中學(xué)生的運(yùn)算能力至關(guān)重要。

2 中學(xué)生運(yùn)算能力出現(xiàn)問題的原因

筆者發(fā)現(xiàn)造成學(xué)生運(yùn)算能力不佳的原因有以下幾點(diǎn)：

第一，忽略運(yùn)算法則的生成過程，過早的機(jī)械化解題的步驟而忽略學(xué)生的內(nèi)化過程。運(yùn)算能力不是獨(dú)立存在的，它的生成是有內(nèi)在邏輯的。

第二，在學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí)的時(shí)候沒有很準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)情，忽略學(xué)生已有的知識(shí)，達(dá)不到學(xué)習(xí)的有效遷移。

第三，九年級(jí)的綜合題目經(jīng)常考察的整體思想、設(shè)而不求等運(yùn)算技巧，教師平時(shí)教學(xué)中缺乏方法和思想的滲透，等到碰到題目的時(shí)候教師才刻意而為之，學(xué)生難以在短時(shí)間內(nèi)掌握這些運(yùn)算的技巧和方法。

正因?yàn)槿绱?，在教學(xué)中我們時(shí)常用大量的題目訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力，但總在部分學(xué)生身上看到“忘性大”和“粗心”。學(xué)生即便通過大量練習(xí)掌握了運(yùn)算方法，也難靈活變通。這就違背了有效學(xué)習(xí)的初衷。如何用盡可能有效的辦法提高學(xué)生的運(yùn)算能力，筆者經(jīng)過日常的教學(xué)實(shí)踐積累，總結(jié)了以下幾點(diǎn)策略。

3 中學(xué)生運(yùn)算能力提高策略

3.1 重視法則生成 ，講透算理——算中有思

學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算法則的思維過程，主要分成四個(gè)步驟：具體例子、歸納法則、運(yùn)用法則和推廣法則。若學(xué)生不能很好的運(yùn)用法則，那么一定是給出具體的例子和歸納法則沒有做到位。在教學(xué)中，若過早對(duì)法則進(jìn)行程序化機(jī)械步驟化的歸納或是簡單推導(dǎo)就歸納出運(yùn)算法則，缺少學(xué)生的自我操作、舉例等過程，這就會(huì)使得學(xué)生缺乏法則生成的內(nèi)化和理解。雖然在經(jīng)過大量的練習(xí)，學(xué)生也能很好的運(yùn)用法則，但是卻不能靈活選擇算法進(jìn)行簡便靈活的應(yīng)用。

章建躍教授曾說過：“沒有過程的教學(xué)是沒有思想的”。運(yùn)算法則生成并非簡單一個(gè)步驟，在具體的問題情境下，運(yùn)算條件分析、運(yùn)算方法的選擇，都是學(xué)生要經(jīng)歷的思維過程。在這過程中，要求學(xué)生思考并理清運(yùn)算中的算理，只有透徹算理，才能發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

筆者在初入數(shù)學(xué)教學(xué)課堂的時(shí)候就曾經(jīng)犯過這樣的錯(cuò)誤。

案例1： 浙教版八年級(jí)上冊(cè)第三章第四節(jié)《一元一次不等式組》中的片段

（1）課上給出四個(gè)例子：

教師在黑板上演示過程，總結(jié)解一元一次不等式組的口訣：大大取大，小小取小。

（2）利用口訣解不等式組：

這個(gè)教學(xué)片段，教師將一元一次不等式組的解法運(yùn)算簡單地看做一種技能，讓學(xué)生在缺乏對(duì)一元一次不等式組的解的概念的時(shí)候，就讓學(xué)生利用總結(jié)得到的口訣解不等式組，過早的程序化了運(yùn)算，這是非常不利于學(xué)生掌握接受的。筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)給學(xué)生充分的時(shí)間親自動(dòng)手借助數(shù)軸去找出公共的部分，在這個(gè)過程中充分感受這種數(shù)形結(jié)合的方法，在此之后教師再做總結(jié)，會(huì)使得學(xué)生更好的理解和接受，進(jìn)而在熟悉算理和口訣的前提下，感悟“運(yùn)算中有思考”，潛移默化地提高自身的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.2 重視錯(cuò)題探究，吃透錯(cuò)題——算中能思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，錯(cuò)誤往往是教師在教學(xué)中和學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，反映在各方面，出現(xiàn)違反教學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)方法的現(xiàn)象”。而認(rèn)知心理學(xué)也認(rèn)為：“錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物，學(xué)生的知識(shí)背景、思維方式、情感體驗(yàn)、表達(dá)方式往往和成年人不同，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤是十分正常的”。所有學(xué)生都容易犯運(yùn)算錯(cuò)誤，這是難以避免的。而我們教師希望學(xué)生犯同一個(gè)錯(cuò)誤的次數(shù)僅一次就好。但事實(shí)卻是我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生長期犯同一個(gè)錯(cuò)誤。運(yùn)算能力的提高，需要一定的練習(xí)，但更重要的是：學(xué)生要通過習(xí)題，自我反思、總結(jié)、糾錯(cuò)，知道問題出在哪里？想出改錯(cuò)的方法，也就是吃透錯(cuò)題，真正提高運(yùn)算能力。

案例2 浙教版七年級(jí)下冊(cè)第三章第四節(jié)《乘法公式（1）》

學(xué)生犯的運(yùn)算錯(cuò)誤中，完全平方公式應(yīng)該是頑疾。相信只要是數(shù)學(xué)老師都有體會(huì)，學(xué)生會(huì)將（a+b）2等于a2+b2，或者是將（a-b）2寫作a2-b2，遺落中間項(xiàng)。這個(gè)錯(cuò)誤從七年級(jí)一直到九年級(jí)，嚴(yán)重影響到學(xué)生后續(xù)對(duì)因式分解、一元二次方程、二次函數(shù)、分式方程求解等知識(shí)的掌握和應(yīng)用。

筆者發(fā)現(xiàn)，如果九年級(jí)的學(xué)生還犯這個(gè)錯(cuò)誤，教師只是做簡單的更正，沒有予以重視，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生不清楚錯(cuò)誤緣由，那么學(xué)生還會(huì)繼續(xù)重復(fù)這個(gè)錯(cuò)誤。鑒于此，教師有必要對(duì)學(xué)生及時(shí)輔導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生先用舉特殊值的方法否定這種算法，如（1+2）2 =32=9≠12+22，再讓學(xué)生用具體的數(shù)據(jù)回憶冪的定義，如：23如何計(jì)算？那么學(xué)生自然能夠得出（a+b）2 =（a+b）·（a+b），再接下來的推導(dǎo)中學(xué)生就得到了正確的公式。那么經(jīng)歷了這個(gè)過程，學(xué)生能夠很好的認(rèn)識(shí)的這個(gè)錯(cuò)誤，在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)有意識(shí)的規(guī)避這個(gè)錯(cuò)誤。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生習(xí)得技能與知識(shí)，要建立在學(xué)生自我探索和思考的基礎(chǔ)上。所以學(xué)生對(duì)待錯(cuò)誤也是一樣，教師不能流于表面的糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去研究這個(gè)錯(cuò)誤，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中有所思考，做到算中能思，從而達(dá)到改正錯(cuò)誤提高計(jì)算率的目的。

3.3 重視知識(shí)遷移，看透聯(lián)系——算中會(huì)思

初中的運(yùn)算并不一塊獨(dú)立的知識(shí)，更不僅僅是一道實(shí)數(shù)的計(jì)算題，在做題過程中，不難發(fā)現(xiàn)，題目中存在很多知識(shí)間的聯(lián)系。但是，很多學(xué)生往往因?yàn)橛^察能力不夠、分析能力不夠，不能看透知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確思考，教師若能給學(xué)生搭建起橋梁，就能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)遷移，讓學(xué)生在計(jì)算中學(xué)會(huì)思考，達(dá)到提高運(yùn)算速度的功效。

案例3以三角形相似和勾股定理運(yùn)算為例。

學(xué)完相似三角形后，學(xué)生就能明白相似的一些三角形，它的三邊比例關(guān)系是不變的。借助這一點(diǎn)，可以幫助學(xué)生簡化勾股定理的運(yùn)算。我們知道中考題中，常出現(xiàn)的直角三角形的三邊比有，等。

例如：如圖這樣的直角三角形，已知直角三角形的兩直角邊分別為和14，求斜邊。

求斜邊的時(shí)候，學(xué)生若老老實(shí)實(shí)的用勾股定理計(jì)算，計(jì)算量是比較大的，也非常費(fèi)時(shí)。但是若教師平時(shí)有意識(shí)地向?qū)W生灌輸常見的比例關(guān)系，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，而，那么根據(jù)三邊的關(guān)系，第三邊就該是。這樣的例子還有很多。當(dāng)學(xué)生熟悉了這種技巧，就無形中加快的解題的速度。

讓學(xué)生通過觀察、思考、探究、歸納，主動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，勤思考，會(huì)思考，學(xué)會(huì)看透題目中知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提高運(yùn)算速度，提升運(yùn)算能力。

3.4 重視整體思想，滲透方法——算中巧思

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，也是解題的法寶。整體思想是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法之一。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。整體思想是初中解題中常常會(huì)涉及到的數(shù)學(xué)思想方法。筆者從往年的各地市的中考題中發(fā)現(xiàn)，在一些壓軸題中命題人非常喜歡設(shè)計(jì)整體代入的計(jì)算陷阱。認(rèn)真研究不難發(fā)現(xiàn)，這么命題是可以將不同層次的學(xué)生區(qū)分開來的，由此達(dá)到壓軸題的功效。因此，在解題時(shí)，學(xué)會(huì)靈巧地思考，直觀重要。

案例4 溫州2018年中考題第10題：

我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（? ?）

A.20 B. 24

B. D.

這個(gè)題雖然有很多解法，但學(xué)生用的最多的還是以下這種解法：

設(shè)小正方形的邊長為x，那么矩形的兩邊分別表示為3+x和4+x，由題容易知道圖中矩形的對(duì)角線長為7。

由勾股定理，得（3+x）2+（4+x）2=72。

化簡后得到x2+7x=12。

所以矩形的面積。

在筆者給班級(jí)里成績不錯(cuò)的學(xué)生做這個(gè)題的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)做對(duì)的還是挺多，但是做題的速度卻大有不同。因?yàn)楹芏鄬W(xué)生在由勾股得到這個(gè)結(jié)果的時(shí)候，是畫時(shí)間解這個(gè)一元二次方程的，而這個(gè)方程的解是比較復(fù)雜的。然后在將解代入求矩形的面積的時(shí)候就花了大量的時(shí)間。殊不知，可以設(shè)而不求。這種“設(shè)而不求”其實(shí)就是一種代數(shù)中的整體代入的方法。設(shè)而不求在這個(gè)題目里面可以為學(xué)生節(jié)省下來非常多的時(shí)間，大大減小解題運(yùn)算量。

其實(shí)，設(shè)未知數(shù)然后求出來是學(xué)生的思維定勢，筆者認(rèn)為若因?yàn)榫拍昙?jí)學(xué)生遇到了這樣的一些題目，教師這時(shí)候才刻意和學(xué)生灌輸整體思想是來不及的。整體思想方法應(yīng)在從七年級(jí)開始就不斷的滲透在日常的教學(xué)中，幫助學(xué)生搭建知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維框架，學(xué)會(huì)思考，并學(xué)會(huì)“巧思”，才能切實(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力?？傊?，要提高學(xué)生運(yùn)算能力是一個(gè)長期的過程。學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅僅是實(shí)現(xiàn)技能熟練，也伴隨學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提高。筆者認(rèn)為需要從養(yǎng)成習(xí)慣入手，讓學(xué)生在運(yùn)算中有思考、能思考、會(huì)思考、巧思考。通過技能固化，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，應(yīng)用自如，從而潛移默化式提高初中生的運(yùn)算能力。

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海寧市許村中學(xué) （浙江省海寧市 314409）