朱 奇 姚開(kāi)明 戚向明

（浙江綠城建筑設(shè)計(jì)有限公司，杭州310007）

0 引 言

張弦梁結(jié)構(gòu)是一種半剛性結(jié)構(gòu)，其通過(guò)在下弦桿施加初張力讓上弦桿產(chǎn)生反拱，從而減小荷載作用下結(jié)構(gòu)的撓度；同時(shí)上下弦桿之間的撐桿相當(dāng)于上弦桿的彈性支撐，使得上弦桿的彎矩較小。此外上弦與下弦桿的軸力是一對(duì)平衡的力，不會(huì)對(duì)支座產(chǎn)生額外的水平推力，整個(gè)結(jié)構(gòu)形成了一個(gè)自平衡體系［1］。張弦梁面外的穩(wěn)定性通過(guò)屋面檁條和縱向支撐構(gòu)件來(lái)保證［2］。

圖1 張弦梁結(jié)構(gòu)Fig.1 Beam string structure

1 工程概況

某學(xué)校體育館上方屋蓋采用張弦梁結(jié)構(gòu)，主體鋼結(jié)構(gòu)共包括7 榀張弦梁，跨度32.8 m，柱距8.4 m，為提高屋面整體穩(wěn)定性，上弦平面設(shè)置水平系桿。張弦梁為雙鋼管梁?jiǎn)嗡黧w系，上弦為φ245 mm×18 mm 的弧形雙鋼管梁，下弦設(shè)置一根LS-ZnAl-1670-7.0-55 的平行鋼絲束，撐桿尺寸102×6，除拉索外，其他鋼構(gòu)件均采用Q355B 級(jí)鋼。張弦梁結(jié)構(gòu)平面和立面如圖2 所示，計(jì)算模型如圖3所示。

圖2 張弦梁結(jié)構(gòu)布置圖（單位：mm）Fig.2 Layout of beam string structure（Unit：mm）

圖3 計(jì)算模型Fig.3 Calculation model

2 理論分析

2.1 張弦梁曲線確定

確定合理的張弦梁曲線是結(jié)構(gòu)建模計(jì)算的第一步，國(guó)內(nèi)許多工程均采用迭代法進(jìn)行預(yù)應(yīng)力張弦梁結(jié)構(gòu)的形態(tài)分析及張拉力的確定［3-5］。本文通過(guò)理論推導(dǎo)得到張弦梁的曲線形狀和初張力。

屋面結(jié)構(gòu)在自重和屋面恒載作用下結(jié)構(gòu)會(huì)下?lián)希ㄟ^(guò)在下弦中施加預(yù)應(yīng)力，使得上弦桿產(chǎn)生反拱，合理的張弦梁曲線可以使得二者變形正好抵消讓結(jié)構(gòu)張拉完成后，恒載作用下基本沒(méi)有變形。

截取半邊張弦梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如圖4 所示。張弦梁跨中矢高為h3+ h5，張弦梁的跨度L為2（L1+L2+L3），下弦桿的初張力為T。

圖4 半跨張弦梁分析示意圖Fig.4 Schematic diagram of half-span beam string structure

上下弦桿采用折線，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置左右弦桿內(nèi)力的合力均會(huì)產(chǎn)生向上的分力，該分力提供上弦桿的支承力。為使得上弦桿在撐桿位置豎向位移為0，該支承力需等于等效多跨連續(xù)梁（受均布荷載，上下弦桿承擔(dān)的均布荷載為q2、q1）在此處的支座反力。選取撐桿1位置進(jìn)行分析。

圖5 撐桿1位置受力分析Fig.5 Force analysis at position of bracing 1

對(duì)于一般情況，張弦梁的跨度遠(yuǎn)大于張弦梁跨中的矢高，則h1＜＜L1，因而可以近似的認(rèn)為：

式中，λ1為等效多跨連續(xù)梁相應(yīng)支座的反力系數(shù)。

根據(jù)式（1）、式（2）可得：

同理對(duì)于撐桿2、撐桿3位置進(jìn)行分析可得：

式中，λ2、λ3含義與λ1類似。

結(jié)合式（3）、式（4）、式（5）可得：

根據(jù)式（6）、式（7）即可得到下弦桿的曲線形狀，同理對(duì)上弦桿進(jìn)行類似分析得到上弦桿的曲線形狀。對(duì)于其他跨數(shù)分布的張弦梁亦可類似分析得到合理的張弦梁曲線形狀。

2.2 初張力確定

對(duì)撐桿1位置上弦桿進(jìn)行類似分析可得：

由于上下弦桿的軸力是一對(duì)平衡，則有N=T，結(jié)合式（3）可得：

令Q=q2+q1（等效連續(xù)梁的均布荷載），可得：

根據(jù)式（10）可以得到下弦桿的初張力。表1給出了幾種常見(jiàn)腹桿分布情況下的h1、h2、λ1的數(shù)值，根據(jù)表1 即可得出相應(yīng)的張弦梁曲線和預(yù)張力。

表1 常見(jiàn)腹桿分布的h1、h2、λ1Table 1 h1，h2，λ1 Values for common distributions of web members

2.3 誤差分析

進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析結(jié)果，采用SAP2000 進(jìn)行模型分析。模型中上弦桿、腹桿采用Q345的鋼管。對(duì)下弦桿采用降溫法進(jìn)行張拉，張拉完成后腹桿1 位置豎向位移為0，腹桿2、腹桿3 位置豎向位移Δ2、Δ3，軟件計(jì)算得到初張力為T1，根據(jù)式（10）理論計(jì)算得到初張力為T0，結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 SAP2000計(jì)算結(jié)果與理論解對(duì)比Table 2 Comparison between SAP2000 results and theoretical solutions

根據(jù)表3 可知，不同跨度的張弦梁SAP2000的計(jì)算結(jié)果與根據(jù)式（10）求出的初張力結(jié)果相比誤差在5%以內(nèi)，且腹桿處的位移很小，說(shuō)明上述理論推導(dǎo)求解得出的結(jié)果是符合真實(shí)情況的，能夠滿足一般工程的需要。

3 計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)上述理論分析得到的張弦梁的曲線建立整體分析模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算設(shè)計(jì)。根據(jù)上述公式（10）計(jì)算得到該張弦梁的預(yù)張力為385 kN，經(jīng)SAP2000 計(jì)算得到的預(yù)張力為392.7 kN，二者相差1.85%。

3.1 屈曲分析

由于本屋蓋較輕，在風(fēng)吸荷載作用下，張弦梁的下弦拉桿可能會(huì)受壓而退出工作，經(jīng)計(jì)算得到結(jié)構(gòu)在滿跨均布風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下的彈性屈曲因子為1.93，屈曲模態(tài)為下弦桿的壓曲，如圖6所示。結(jié)構(gòu)在半跨均布風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下的彈性屈曲因子為3.54，屈曲模態(tài)為下弦桿的壓曲，如圖7 所示，該結(jié)構(gòu)對(duì)于半跨風(fēng)吸荷載作用不敏感。

圖6 滿跨均布風(fēng)吸荷載作用下的彈性屈曲Fig.6 Elastic buckling under full-span uniform wind suction load

圖7 半跨均布風(fēng)吸荷載作用下的彈性屈曲Fig.7 Elastic buckling under half-span uniform wind suction load

上弦桿在平面內(nèi)由腹桿提供支撐，平面外由橫向系桿提供支撐，屋面為不上人屋面活荷載較小。因此上弦桿在活荷載作用下彈性屈曲因子較大，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到上弦桿在滿跨均布活載作用下的彈性屈曲因子為61.8，屈曲模態(tài)為上弦桿的壓曲，屈曲模態(tài)如圖8 所示。上弦桿在半跨均布活載作用下的彈性屈曲因子為69.3，屈曲模態(tài)為上弦桿的側(cè)向壓曲，屈曲模態(tài)如圖9所示。

圖8 滿布活荷載作用下的彈性屈曲Fig.8 Elastic buckling under full-span uniform live load

3.2 極限承載力分析

圖9 半跨活荷載作用下的彈性屈曲Fig.9 Elastic buckling under half-span uniform live load

本工程張弦梁兩端采用球形鋼支座與主體結(jié)構(gòu)相連，一端為固定支座，一端為滑動(dòng)支座。為了防止張弦梁跌落需要對(duì)滑動(dòng)端的位移進(jìn)行限制。分析表明結(jié)構(gòu)在初始狀態(tài)進(jìn)行初張拉后，張弦梁上弦桿中彎矩較?。ㄈ鐖D10 所示，最大彎矩43 kN·m），張弦梁滑動(dòng)端的水平位移僅為-2 mm。結(jié)構(gòu)在恒載+1.5倍滿布風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下滑動(dòng)端水平位移為-17 mm。結(jié)構(gòu)在1.3 倍恒載+1.5倍滿布活載作用下，支座的水平位移為13 mm。綜合考慮滑動(dòng)端水平位移限值為±50 mm。

圖10 初張拉后上弦桿彎矩圖Fig.10 Bending moment of top chord after initial stretching

為了研究整個(gè)結(jié)構(gòu)的極限承載力，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行荷載-位移全過(guò)程跟蹤分析。對(duì)于支座的模擬采用SAP2000 中的hook 連接單元，該單元的非線性力-變形關(guān)系如下：

式中：k為彈簧常數(shù)；open為初始縫寬。

張弦梁結(jié)構(gòu)在風(fēng)吸荷載作用下，各弦桿的軸力-荷載曲線如圖11所示，張弦梁滑動(dòng)端的荷載-位移曲線如圖12 所示，支座水平反力如圖13 所示，上弦桿中彎矩如圖14所示。

結(jié)合圖11、圖12 可知，在0-A 階段，滑動(dòng)端支座的水平位移逐漸增大，兩根上弦桿合力逐漸減小，下弦桿拉力減小，三者成線性關(guān)系。在1.6 倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下，下弦桿拉力減為0 而退出工作，此時(shí)豎向的恒載正好與風(fēng)吸荷載抵消。在1.0倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下，張弦梁的跨中豎向向上位移為0.070 m（1/460）。

在A-B 階段，滑動(dòng)端的位移逐漸增加至其限制位移50mm，此過(guò)程上弦桿的合軸力變化不大，主要靠上弦桿受彎來(lái)承受增加的風(fēng)荷載，如圖14所示。

圖11 風(fēng)吸荷載作用下荷載-軸力曲線Fig.11 Load-axial force curve under wind suction load

圖12 風(fēng)吸荷載作用下滑動(dòng)端荷載—位移曲線Fig.12 Load-displacement curve for sliding end under wind suction load

在B-C 階段，滑動(dòng)端的位移達(dá)到其限值，使得上弦桿的軸向位移受限制，因而上弦桿的軸拉力迅速增大，此時(shí)上弦桿靠軸拉力的水平分力來(lái)抵抗增加的風(fēng)荷載，此過(guò)程彎矩變化不大。從B點(diǎn)開(kāi)始，支座的水平變形受限，支座出現(xiàn)水平拉力，此時(shí)對(duì)應(yīng)1.8倍風(fēng)荷載標(biāo)準(zhǔn)值。此外支座設(shè)計(jì)水平力限值為200 kN，由圖13可知，對(duì)應(yīng)2.3倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值，因此可認(rèn)為，該結(jié)構(gòu)最大能承受2.3倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值，此時(shí)張弦梁跨中的豎向位移為0.306 m（1/100）。

圖13 風(fēng)吸荷載作用下荷載-支座反力曲線Fig.13 Load-support reaction curve under wind suction load

圖14 風(fēng)吸荷載作用下上弦桿荷載-彎矩曲線Fig.14 Load-bending moment curve for top chord under wind suction load

張弦梁結(jié)構(gòu)在1.3 倍恒載+n 活荷載作用下，各弦桿的軸力—荷載曲線如圖15 所示，張弦梁滑動(dòng)端的荷載—位移曲線如圖16所示。

圖15 活荷載作用下荷載-軸力曲線Fig.15 Load-axial force curve under live load

圖16 活荷載作用下滑動(dòng)端荷載-位移曲線Fig.16 Load-displacement curve for sliding end under live load

根據(jù)圖15 可知隨著活荷載增大上弦桿合力逐漸增大，下弦桿拉力逐漸增大，三者接近線性關(guān)系。根據(jù)圖16，滑動(dòng)端支座的水平位移隨著活荷載增加而增大，二者為非線性關(guān)系。作用12 倍活載標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)張弦梁跨中豎向位移為22 mm（1/1490），滑動(dòng)端水平位移為45 mm，亦未達(dá)到支座位移限值50 mm，此時(shí)張弦梁上弦桿未進(jìn)入塑性，張弦梁之間的水平系桿部分進(jìn)入塑性，塑性鉸分布如圖17所示。

圖17 1.3恒+12活荷載作用下塑性鉸分布圖Fig.17 Distribution of plastic hinges under 1.3 dead load+12 live load combination

3.3 節(jié)點(diǎn)分析

上弦桿與下弦桿相交處，由于受力復(fù)雜，需要進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分析，采用有限元軟件建立分析模型。模型采用4 結(jié)點(diǎn)殼單元，材料選用理想彈塑性模型，彈性模量取為2.06×105MPa，屈服強(qiáng)度取為335 MPa，一般部位單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格的尺寸為0.02/m，構(gòu)件的約束條件如圖18 所示。兩上弦桿遠(yuǎn)端約束，下弦桿銷軸孔處施加1.3恒載+1.5活載工況下下弦桿的拉力，支座端位置施加向上的支座反力。

圖18 節(jié)點(diǎn)有限元分析模型Fig.18 Finite element analysis model of joint

對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行屈曲分析得到其一階彈性屈曲因子為16.7，屈曲模態(tài)如圖19 所示，為平面內(nèi)屈曲。

圖19 節(jié)點(diǎn)一階屈曲模態(tài)Fig.19 1st buckling mode of joint

對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行極限承載力分析，在設(shè)計(jì)荷載作用下，節(jié)點(diǎn)的Mises應(yīng)力分布如圖20所示。

根據(jù)圖20 可知，在設(shè)計(jì)荷載作用下，節(jié)點(diǎn)區(qū)最大應(yīng)力為150 MPa，節(jié)點(diǎn)區(qū)處于彈性狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)區(qū)應(yīng)力最大處為下弦桿銷軸孔位置。節(jié)點(diǎn)滿足設(shè)計(jì)荷載作用下的承載能力要求。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)理論推導(dǎo)，得到張弦梁結(jié)構(gòu)的曲線形狀及下弦桿的初張力大小，這種曲線形狀可以使得張弦梁在初張拉后，恒載作用下的豎向位移接近零。

對(duì)張弦梁屋蓋進(jìn)行了屈曲分析及極限承載力分析表明：結(jié)構(gòu)在恒載+滿布1.6 倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下，下弦桿壓曲；結(jié)構(gòu)在恒載+滿布2.3 倍風(fēng)吸荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下支座水平力達(dá)到設(shè)計(jì)限值；結(jié)構(gòu)在1.3 恒載+12 活載作用下，張弦梁之間的水平系桿部分進(jìn)入塑性。

節(jié)點(diǎn)分析表明，在設(shè)計(jì)荷載作用下，節(jié)點(diǎn)區(qū)最大應(yīng)力為150 MPa，節(jié)點(diǎn)區(qū)處于彈性狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)區(qū)應(yīng)力最大處為下弦桿銷軸孔位置。