馬洪超

【摘要】我們知道，錯(cuò)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié).學(xué)生通過錯(cuò)題教學(xué)，能夠加深對(duì)知識(shí)的理解，提高分析和解決問題的能力，從而提升學(xué)科的核心素養(yǎng).學(xué)生在解答問題時(shí)，解題正確，固然可喜，而解題出現(xiàn)錯(cuò)誤，也不需要可悲.因?yàn)榻處熆蓪⑵渥鳛樽詈玫膶W(xué)習(xí)素材，和學(xué)生一起找到錯(cuò)誤的原因，從而使學(xué)生的認(rèn)知得到升華.正如心理學(xué)家蓋耶所言：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”下面筆者通過分享自己的教學(xué)實(shí)踐對(duì)此進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】基本不等式;最值;定值;錯(cuò)題教學(xué)

人教A版數(shù)學(xué)必修5（以下簡稱教材）第三章第4節(jié)“基本不等式ab≤a+b[]2”中指出ab≤a+b2（a>0，b>0）是一個(gè)基本不等式，其在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，其是解決最大（?。﹩栴}的有力工具.因此，本節(jié)課的重點(diǎn)（亦是難點(diǎn)）之一，就是讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)利用基本不等式求最值.我們通過解決教材第111頁例1的兩個(gè)問題，能夠由基本不等式進(jìn)一步總結(jié)出以下推論：

設(shè)x，y∈N+，x+y=S，xy=P，

（1）如果P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，S有最小值2P.

（2）如果S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，P有最大值S24.

我們知道，利用基本不等式求最值，除了x，y必須是正數(shù)外，還要注意兩個(gè)方面：一個(gè)是要使積或者和是定值，另一個(gè)是要使等號(hào)成立的條件能夠得到滿足.這里，教師要意識(shí)到，這些在教師看來很“顯然”的注意事項(xiàng)，學(xué)生卻未必這樣認(rèn)為，就像會(huì)游泳的人對(duì)不會(huì)游泳的人說，應(yīng)該怎樣手腳配合、怎樣換氣一樣，他們很可能對(duì)此一知半解，似懂非懂.為此，筆者設(shè)置了如下一道例題：

這種解法是錯(cuò)誤的，雖然在意料之中，但筆者認(rèn)為應(yīng)該抓住這個(gè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中吸取經(jīng)驗(yàn).于是，筆者迅速把兩種解法抄在黑板上，問：“同學(xué)們，這兩種解法給出的結(jié)果不一致，顯然至少有一個(gè)是錯(cuò)誤的，對(duì)嗎？”多數(shù)學(xué)生經(jīng)過短暫的思考，達(dá)成一致，認(rèn)為解法2有問題.這還不夠，筆者繼續(xù)發(fā)問：“誰能說說解法2到底錯(cuò)在哪里了？”此時(shí)，學(xué)生開始熱烈討論，積極發(fā)言.甚至，學(xué)生甲由于找不到解法2的問題在哪，又在懷疑解法1有問題，但二者不一致的結(jié)果使其陷入了困惑之中.

學(xué)生乙對(duì)于解法2錯(cuò)誤的原因是這樣解釋的：“如果將4xx-3看作是一個(gè)函數(shù)，即設(shè)g（x）=4xx-3（x>3），那么g（x）=4+12x-3在（3，+∞）上是遞減的，顯然沒有最小值.因此雖然有f（x）≥2g（x），但f（x）的最小值不能用g（x）的最小值來求.”

筆者馬上發(fā)問：“既然這樣，我們?nèi)绻褩l件改成3

學(xué)生乙陷入沉思，學(xué)生丙馬上指出27不對(duì)并說：“因?yàn)楫?dāng)x=7時(shí)，f（7）=8，此時(shí)f（7）>2g（7）=27，不等式?jīng)]能取到等號(hào)，也就取不到這個(gè)最小值了.”

筆者對(duì)學(xué)生丙的說法給予了肯定，接著將解法2進(jìn)行了如下編號(hào)：

接下來，筆者請(qǐng)學(xué)生逐步檢查，找出到底哪個(gè)環(huán)節(jié)的推理是錯(cuò)誤的.有的學(xué)生認(rèn)為是②，有的學(xué)生認(rèn)為是④，但很快被大家一一否定，從而把目光聚焦在了從④到⑤的推導(dǎo)上.由④能否得到⑤呢？筆者指出之前學(xué)生乙的“函數(shù)思想”很好，不妨讓這個(gè)問題更加直觀——畫圖像！筆者打開多媒體，利用幾何畫板，很快就得到了y=f（x）和y=2g（x）的圖像如下：

此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，原來，y=f（x）的圖像的確恒在y=2g（x）的上方，當(dāng)x=4時(shí)，解法2的步驟②中的基本不等式取到等號(hào)，這個(gè)結(jié)論本身是沒有錯(cuò)的，從圖像上看，它描述的是y=f（x）與y=2g（x）的圖像的切點(diǎn)，但是，這并不是y=f（x）的最低點(diǎn)，所以不能用這樣的方法求f（x）的最小值！筆者引導(dǎo)學(xué)生再進(jìn)一步思考，同樣是使用了基本不等式，為什么解法1就是正確的呢？顯然，區(qū)別在于解法1的不等式右邊是一個(gè)定值（常數(shù)）：x+4x-3≥2（x-3）·4x-3+3=7.

設(shè)h（x）=7，作出圖像：實(shí)際上，當(dāng)湊出了定值，不等式一邊為常數(shù)，其圖像是一條水平的直線，這條直線與y=f（x）的圖像的切點(diǎn)也必然同時(shí)是該圖像的最低點(diǎn)！所以，這就解釋了我們?yōu)槭裁匆谇笞钪档臅r(shí)候想辦法“湊定值”.

學(xué)生豁然開朗，愉悅之情溢于言表，那是解除了困惑的釋然，是探尋到真理的成就感.喬治·波利亞說：“如果沒有了反思，他們就錯(cuò)過了解題的一次重要而有效益的方面.通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的思路，學(xué)生可以鞏固他們的知識(shí)和發(fā)展他們的解題能力.”實(shí)際上，不單是針對(duì)正確的解法，對(duì)于自己或他人錯(cuò)誤的解法的糾正與反思，往往更能夠深化理解，發(fā)展思維.

我們常說：知其然，還要知其所以然.在這里，我們不妨再加上一句：知其不然，也要知其所以不然.

【參考文獻(xiàn)】[1]馬旭光.“說錯(cuò)題”教學(xué)：課堂因錯(cuò)誤而精彩[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2016（32）：62-63.

[2]魏民.“基本不等式的證明”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（16）：8-9.

[3]俞杏明.也談基本不等式求最值的一個(gè)教學(xué)困惑的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（7）：25-26.

[4]李建華.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版·數(shù)學(xué)5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.