文倩 饒馨 李徐巖

【摘要】本文選取了6個(gè)π值的計(jì)算近似公式，在python環(huán)境下，根據(jù)公式編程運(yùn)行得到各個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果，并從橫向、縱向等多角度進(jìn)行比較.結(jié)果表明：拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式無(wú)論在速度還是精確度上都具有極其優(yōu)良的性質(zhì)，其用來(lái)計(jì)算π值時(shí)所需項(xiàng)數(shù)最少，速度最快，計(jì)算的精確度也最大.除此之外，公式中階數(shù)越高，分母越大，則其收斂速度越快.此結(jié)果對(duì)于測(cè)試或檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能具有極大的意義.

【關(guān)鍵詞】拉馬努金;丘德諾夫斯基;萊布尼茲;沃里斯;巴塞爾問(wèn)題

一、引言

π值的含義是圓周率，即圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，在大多數(shù)科學(xué)計(jì)算中，所用的值一般不超過(guò)10位小數(shù).然而從古至今，人們始終沒(méi)有中斷對(duì)更精確的π值的渴求.π的研究在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾說(shuō)：“歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo).”π的計(jì)算價(jià)值及研究意義主要體現(xiàn)在如下兩點(diǎn)：（1）它現(xiàn)在可以被人們用來(lái)測(cè)試或檢驗(yàn)超級(jí)計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能，特別是運(yùn)算速度與計(jì)算過(guò)程的穩(wěn)定性;（2）計(jì)算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想.本文主要對(duì)有關(guān)π值計(jì)算的精確度和復(fù)雜性進(jìn)行研究，擬解決π的高精度計(jì)算，從而用于檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)的可靠性和對(duì)于運(yùn)算、程序和算法的正確性.本文所基于的python語(yǔ)言具有簡(jiǎn)單易學(xué)、開源、高級(jí)語(yǔ)言、可移植性、解釋性、面向?qū)ο?、可擴(kuò)展性、豐富的庫(kù)以及代碼可讀性強(qiáng)等九大優(yōu)勢(shì)，給本文代碼的編程和運(yùn)行帶來(lái)了極大便利.

二、π的近似計(jì)算方法及結(jié)果

本文選取了6種π值的計(jì)算方法，在python環(huán)境下運(yùn)行分別得到如下結(jié)果：

從表格和圖中可以看出：

（1）對(duì)于每種計(jì)算方法，項(xiàng)數(shù)對(duì)精確度的影響呈遞增趨勢(shì).

（2）在結(jié)果都近似到16位小數(shù)的情況下，采用拉馬努金公式計(jì)算的結(jié)果精確到第16位小數(shù)時(shí)所需項(xiàng)數(shù)是5種方法中最少的，可見(jiàn)其收斂速度也是最快的.

（3）除了拉馬努金公式計(jì)算方法以外，在相同項(xiàng)數(shù)情況下，用π2[]8法計(jì)算所能得到的精確度是余下4種方法中最大的.

（三）時(shí)間對(duì)精確度的影響

從表格和圖中可以看出：

（1）對(duì)于每種計(jì)算方法，計(jì)算時(shí)間對(duì)精確度的影響呈遞增趨勢(shì)，這是因?yàn)楫?dāng)所給時(shí)間越長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算機(jī)能計(jì)算的項(xiàng)數(shù)也越多，再?gòu)那懊婵芍?，?xiàng)數(shù)越多時(shí)精確度越大.

（2）拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式在短時(shí)間內(nèi)得到的精確度更高，在相同的時(shí)間內(nèi)，這兩種方法比其余4種方法所得的精確度高很多.

（3）除了拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式2種方法以外，在相同時(shí)間內(nèi)，用π2[]8法計(jì)算得到的精確度在其余方法中是最高的.

（四）原因分析

【參考文獻(xiàn)】[1]韓思，朱長(zhǎng)貴.級(jí)數(shù)收斂的速度[J].渭南師專學(xué)報(bào)，1996（S1）：39-40.