金 珍，陳 靜，李小玲

(1.南昌工程學院 理學院，江西 南昌 330099；2.廣州航海學院 基礎人文社科部，廣東 廣州 510725 3.江西農業(yè)大學 計算機與信息工程學院，江西 南昌 330045)

由于偏好關系結構的靈活性和人們易相對比較的特點，偏好關系已經在決策和群決策中得到廣泛的應用。經典的互補偏好關系[1-2]和互反偏好關系[3-4]中，方案兩兩比較的偏好信息均以實數(shù)形式表示，忽略決策者的不確定性和猶豫性?？紤]到人們思維的局限性和問題的復雜性，決策者(或專家)很難用精確數(shù)來給出方案的評價信息。在這些復雜的決策問題中，決策者常常遇到一些難以準確描述的事物，這種不確定性表現(xiàn)為模糊性，從而產生了基于偏好關系的模糊群決策問題的研究。

因此，區(qū)間模糊偏好關系[5-7]、直覺模糊偏好關系[8-12]、區(qū)間值直覺模糊偏好關系[13-14]和三角模糊偏好關系(TFPR)[15-23]相繼出現(xiàn)。特別地，TFPR中的元素是以三角模糊數(shù)(TFN)表示，TFPR又分為三角模糊互補偏好關系和三角模糊互反偏好關系。

2002年，徐澤水[15]給出了三角模糊互補偏好關系的概念，并在此基礎上定義了用于TFN相互比較的可能度公式，隨后借助可能度概念提出了一種新的三角模糊互補偏好關系排序方法。但其按行求和歸一化進行權值排序的合理性有待于進一步證明。姜艷萍和樊治平[16]提出了一種計算TFN期望值的方法，利用該方法計算每個備選方案的期望值從而得到方案的排序值，基于此對備選方案進行排序。該方法雖然簡單有效，但直接運用期望值對TFN去模糊化會造成一定程度的信息丟失。徐澤水[17]提出一種模糊有序加權平均算子，專家以三角模糊互補偏好關系的形式給出方案的評價信息，該文獻利用提出的模糊有序加權平均算子對決策信息進行集結，采用TFN期望值求解方案對應的排序向量，最后對備選方案進行排序。文獻[24]通過定義兩個專家之間的相似度以及專家與其他專家之間的接近度，研究具有三角模糊互補偏好關系的群決策問題的視覺信息反饋機制。文獻[25]考慮專家的信任水平，通過定義三角模糊數(shù)的左、右?guī)缀纹骄鶖?shù)提出三角模糊互反偏好關系的左、右?guī)缀喂沧R度定義，從而提出一種新的群體決策方法。

本文根據(jù)各專家給出的三角模糊互補偏好關系確定專家權重，進一步最大化群體共識度構建規(guī)劃模型，確定群體三角模糊互補偏好關系，得到三角模糊優(yōu)先權重，從而研究一種基于三角模糊互補偏好關系的群決策方法。

1 預備知識

定義1=(-，+)上的模糊數(shù)如果其隸屬函數(shù)→[0，1]表示為[26]

(1)

0≤lij≤mij≤uij≤1，lij+uji=mij+mji=uij+lji=1，lii=mii=uii=0.5，

(2)

(3)

當p=1時，式(3)退化為文獻[27]中的漢明距離：

當p=2時，式(3)稱為歐幾里得距離：

2 基于三角模糊互補偏好關系的一種群決策方法

在群決策問題中，專家權重的確定是非常必要也是至關重要的。本節(jié)將根據(jù)各專家的三角模糊互補偏好關系基于標準正態(tài)分布函數(shù)確定專家權重，進一步最大化共識度指標構建規(guī)劃模型確定綜合三角模糊互補偏好關系，從而根據(jù)三角模糊權重對方案進行排序。

2.1 專家權重的確定

(4)

(5)

2.2 三角模糊優(yōu)先權重的確定

為了使群體共識度盡可能高，建立如下優(yōu)化模型確定群體三角模糊互補偏好關系：

(6)

為簡便起見，以p=1為例。記

則式(6)可以變形為

(7)

(8)

進一步，利用文獻[29]中的公式

(9)

2.3 一種用于解決基于三角模糊互補偏好關系的群決策方法

用于求解基于三角模糊互補偏好關系的群決策方法可概述如下：

步驟3利用式(5)計算專家權重；

步驟6根據(jù)式(9)計算vi(i=1，2，…，n)的值，按照vi的遞減順序對方案xi進行排序。

3 案例分析和比較分析

本節(jié)通過文獻[24]的例子來驗證文中提出方法的有效性，并與文獻[24]提出的方法進行比較分析。

3.1 案例分析

假設備選方案集X={x1，x2，x3，x4}，專家集E={e1，e2，e3，e4}。設專家ek(k=1，2，3，4)給出的三角模糊互補偏好關系分別如下：

首先，通過式(4)，得到平均三角模糊互補偏好關系：

其次，取p=1，利用式(5)計算得到專家權重，分別為ω1=0.3249，ω2=0.0829，ω3=0.3249，ω4=0.2673.

接著，根據(jù)式(7)得到群體三角模糊互補偏好關系：

然后，利用式(8)得到方案xi(i=1，2，3，4)的三角模糊權重向量分別為

最后，根據(jù)式(9)計算vi(i=1，2，3，4)的值v1=1.0629，v2=0.9740，v3=0.9488，v4=1.0605。從而，方案xi(i=1，2，3，4)的排序結果為x1?x4?x2?x3。

3.2 比較分析

文獻[24]定義兩個專家之間的相似度以及某個專家與專家組其他專家之間的接近度，結合相似度和接近度提出群體共識度的概念，從而設計一種基于三角模糊互補偏好關系的群決策問題的視覺信息反饋機制。該反饋機制可識別對達成共識度有較大影響的專家、備選方案和相應的偏好值，并對被識別者提出個性化建議。

當0≤λ<0.175時，x4?x1?x2?x3；當λ=0.175時，x4～x1?x2?x3(“～”表示無法比較)；當0.175≤λ<0.875時，x1?x4?x2?x3；當λ=0.875時，x1?x4～x2～x3；當0.875<λ≤1時，x1?x2?x4?x3。

可以看出，本文提出的方法當p=1時得到的結論與文獻[24]中0.175≤λ<0.875時的情況一致。在確定專家權重和構建的規(guī)劃模型(6)中取不同的p值時，得到的排序結果見表1。

表1 參數(shù)p取不同值時對應的排序結果

4 結束語

三角模糊偏好關系在群決策的應用受到了國內外學者的廣泛關注。本文充分利用各專家提供的三角模糊互補偏好關系中隱含的決策信息，較客觀地通過偏好關系本身確定專家權重，并通過最大化群體共識度求得群體三角模糊互補偏好關系，從而導出方案的三角模糊優(yōu)先權重向量，提出一種群決策方法。通過構建規(guī)劃模型將個體三角模糊互補偏好關系集結得到群體三角模糊互補偏好關系，在一定程度上提高了群決策的客觀性和合理性。