含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程的求解方法

徐地虎

(江蘇省錫山高級中學(xué)，江蘇 無錫 214174)

固定電源給電容器充電過程以及能量轉(zhuǎn)化得到了很好的研究，[1-3]但對于含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程,以及處理相關(guān)電路的方法暫時(shí)沒有很好的總結(jié)，在此通過求解含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程，并得到相關(guān)物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系，最后總結(jié)處理這類電路的基本方法.

1 變化電動(dòng)勢電路中電容器的充電

圖1 變化電動(dòng)勢電路中電容器的充電示意圖

例1.如圖1所示，兩無限長光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L，質(zhì)量為m的金屬棒MN垂直跨在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電容器的電容為C，除電阻R外，導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì).現(xiàn)給金屬棒MN一個(gè)初速度v0，使金屬棒MN向右運(yùn)動(dòng)，求極板電量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時(shí)間變化，動(dòng)量p與電荷量Q之間的關(guān)系以及電路穩(wěn)定后的狀態(tài).

分析：初始時(shí)金屬棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，回路中有充電電流對電容器充電，兩極板電量增加，極板間電壓增大，同時(shí)金屬棒受到安培力而減速，電動(dòng)勢減小，當(dāng)金屬棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí)，電路中的電流為0，電路穩(wěn)定.

解析：以向右方向?yàn)檎较颍O(shè)t時(shí)刻金屬棒的速度為v，加速度為a，電路中電流為I，電容器兩端的電荷量為Q，則電容器兩端電壓為

(1)

金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

E=BLv.

(2)

整個(gè)電路中有

IR=E-U.

(3)

利用電流的定義式

(4)

對金屬棒受力分析有

(5)

由(4)、(5)式可得

(6)

對(6)式兩邊積分，t=0時(shí)，Q=0，v=v0可得

BLQ=m(v0-v).

(7)

由(7)式可知

p=mv0-BLQ.

(8)

將(1)、(2)、(4)、(7)式代入(3)式，整理可得

(9)

解方程(9)式，代入初始條件t=0，Q=0，有

(10)

將(10)式代入(4)式有

(11)

將(9)式代入(7)式有

(12)

(13)

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，即t→，可得

(14)

If=0，

(15)

(16)

af=0.

(17)

通過求解得到了充電過程中Q，I，v，a隨時(shí)間t變化以及p隨Q變化關(guān)系如圖2所示.

圖2 充電過程中Q，I，v,a隨時(shí)間t變化及p隨Q變化圖

在電容器的充電過程中，極板電荷量逐漸增加，充電電流逐漸減小，棒的速度逐漸減小，加速度也逐漸減小，動(dòng)量逐漸減小且電荷量成線性關(guān)系.最終穩(wěn)定時(shí)，極板電荷量不變，棒做勻速直線運(yùn)動(dòng).

2 變化電動(dòng)勢電路中電容器的放電

圖3 變化電動(dòng)勢電路中電容器的放電示意圖

例2.如圖3所示，兩無限長光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L，質(zhì)量為m的金屬棒MN垂直跨在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電容器的電容為C，除電阻R外，導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì).初始時(shí)電容器極板帶電荷量為Q0，金屬棒MN初速度為0，求極板電荷量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時(shí)間變化，動(dòng)量p與電荷量Q之間的關(guān)系以及電路穩(wěn)定后的狀態(tài).

分析：初始時(shí)電容器放電，金屬棒受安培力向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)金屬棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生反向電動(dòng)勢，回路中電流減小，金屬棒速度增大，加速度減小，當(dāng)金屬棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí)，電路中的電流為0，電路穩(wěn)定.

解析：以向右方向?yàn)檎较颍O(shè)t時(shí)刻金屬棒的速度為v，加速度為a，動(dòng)量為p，電流中電流為I，電容器兩端的電荷量為Q，則電容器兩端電壓為

(18)

金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

E=BLv.

(19)

整個(gè)電路中有

IR=U-E.

(20)

電流方向如圖3所示，利用電流的定義式

(21)

對金屬棒受力分析有

(22)

由(21)、(22)式可得

(23)

對(6)式兩邊積分，t=0時(shí)，Q=Q0，v=0可得

p=mv=BL(Q0-Q).

(24)

將(18)、(19)、(21)、(24)代入(20)式，整理可得

(25)

解方程式(25)，代入初始條件t=0，Q=Q0，v0=0有

(26)

將(26)代入(21)式有

(27)

電流為負(fù)，表示的是電流方向從上自下經(jīng)過導(dǎo)體棒.

將(26)式代入(24)式有

(28)

(29)

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，即t→∞，可得

(30)

If=0,

(31)

(32)

af=0.

(33)

通過求解得到了放電過程中Q，I，v，a隨時(shí)間t變化以及p隨Q變化關(guān)系如圖4所示.

在電容器的放電過程中，極板電荷量逐漸減少，充電電流逐漸減小，棒的速度逐漸增大，加速度也逐漸減小，動(dòng)量逐漸增大且與電荷量成線性關(guān)系.最終穩(wěn)定時(shí)，極板電荷量不變，棒做勻速直線運(yùn)動(dòng).

圖4 放電過程中Q,I,v，a隨時(shí)間t變化及p隨Q變化圖

3 含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程的求解方法

以上通過解析法求解含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程，得到了物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系，并總結(jié)了求解此類問題的基本思路和方法.通過解析得到該類電路中各物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系、有助于對師生深入理解電路中電容器的充放電過程和物體的運(yùn)動(dòng)過程，同時(shí)為教師在設(shè)置相關(guān)試題參數(shù)時(shí)提供了參考.