疊合矩形的多解探究

裘依玲

摘 ?要：折疊在初中階段的幾何學(xué)習(xí)中有較廣泛的應(yīng)用，2017年金華數(shù)學(xué)中考第23題就以折疊為背景，疊合矩形的定義展開(kāi)，探究了特殊四邊形折疊成疊合矩形所存在的圖形類型和圖形中存在的數(shù)量關(guān)系，三小題由淺及深，充分考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文以23題為基礎(chǔ)對(duì)多邊形折疊成疊合矩形展開(kāi)進(jìn)一步的分類探討研究，歸納折疊方法和類型，為折疊復(fù)習(xí)提供一些思路。

關(guān)鍵字：折疊，疊合矩形，多邊形

一.前言

2017年金華數(shù)學(xué)中考的第23題總題干中通過(guò)將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形（如圖一），從而給出疊合矩形的定義，即類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形。而后的三個(gè)小題針對(duì)平行四邊形和直角梯形折疊成疊合矩形，進(jìn)行了圖形的分類探討計(jì)算，故下文中我們也針對(duì)多邊形進(jìn)行分類，先探討不同類型的多邊形如何折疊成疊合矩形，以及折疊中存在的一些數(shù)量關(guān)系。

二.分類討論，探究疊合矩形產(chǎn)生方法

研究疊合矩形產(chǎn)生的方法不妨先研究折疊需要產(chǎn)生的角和邊，因?yàn)檎郫B可以產(chǎn)生的圖形有很多，而我們需要的疊合矩形是一種特殊的平行四邊形，它有四個(gè)直角，這就是折疊方法的關(guān)鍵突破口。折疊問(wèn)題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，所以要使翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的圖形，折痕所在位置必定和邊的中點(diǎn)有關(guān);而要折疊出90度的角，我們可以將邊所在的直線看成一個(gè)180度的角，然后考慮分成經(jīng)過(guò)一次折疊和兩次折疊，折疊次數(shù)再多就無(wú)法構(gòu)成矩形了。若是一次折疊，只需將180度的角對(duì)折平分成兩個(gè)90度的角，若分成兩次折疊，即將180度的角分成兩兩相等的四個(gè)角，其中中間兩個(gè)角一邊重合，組合在一起即為一個(gè)90度的角，這就是尋找折痕的突破口。那么不同的多邊形折痕的位置自然也是不同的，接下來(lái)我們就由淺入深進(jìn)行進(jìn)一步的探索。

（一）三角形

這里主要分普通三角形和特殊三角形兩種情況展開(kāi)研究，特殊三角形則主要研究直角三角形和等邊三角形。

1.普通三角形

普通三角形折疊成疊合矩形的方法在23題的題干中已經(jīng)給出，即沿著一條中位線和兩條高線折疊三次，三個(gè)三角形即可組成疊合矩形，如前言中的圖一。這里選取的中位線沒(méi)有特殊的要求，三條中位線中任意一條都可以作為折痕，再取折疊之后構(gòu)造出的兩個(gè)等腰三角形底邊上的高線進(jìn)行折疊即可。所以我們可以歸納出一個(gè)結(jié)論：任意的三角形都可以折疊得到疊合矩形。

2.直角三角形

直角三角形折疊成疊合矩形有一個(gè)便利之處，即它本身就已經(jīng)存在一個(gè)直角，那么只需再折疊出三個(gè)直角即可。如圖二，因?yàn)橐狗酆蟮膱D形拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，可以參考23題的折疊方法，將△ABC紙片沿中位線DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，再將紙片沿等腰△BCE的底邊上的高線EF折疊，折疊后的兩個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形即可。所以直角三角形折疊成疊合矩形最少只需折疊兩次，不過(guò)，如果我們選取的中位線是DF，那么也需要經(jīng)過(guò)三次折疊。我們也可以進(jìn)一步考慮一下直角三角形中更加特殊的等腰直角三角形，折疊方法是不變的，不過(guò)折出的疊合矩形更加特殊，即為疊合正方形。

3.等邊三角形

等邊三角形折疊成疊合矩形的方法與普通三角形是一致的，如圖三，但是由于等邊三角形三邊相等的特殊性質(zhì)，我們可以找到它折疊后產(chǎn)生的疊合矩形的長(zhǎng)與寬之比是一個(gè)定值。不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為 ，由于線段EH為中位線，所以可以由中位線的性質(zhì)得 。再來(lái)看一下線段EF，它存在于含30度，60度角的直角三角形中，兩直角邊與斜邊含有 的關(guān)系，由此可得 ，而 ，所以 ，由此，可以得到疊合矩形的長(zhǎng)寬之比即 。

三.結(jié)束語(yǔ)

回顧之前的研究，我們不禁會(huì)思考，多邊形折疊成疊合矩形需要滿足什么條件才可以呢？在四邊形中，可以一組對(duì)邊平行，也可以對(duì)角線互相垂直，而后面多邊形的邊數(shù)增加之后，折疊成疊合矩形就十分困難了。將以上的圖形整合在一起觀察，我們可以初步的得到這樣一些折疊的方法和多邊形折疊成疊合矩形需要滿足的條件：由于疊合矩形無(wú)縫隙無(wú)重疊的特殊性，折痕的端點(diǎn)中必須有兩個(gè)或者兩個(gè)以上是邊的中點(diǎn);折疊之后，多邊形的內(nèi)角必須剛好組合在一起湊成180度或者360度，否則無(wú)法折疊得到無(wú)縫隙的矩形。

金華2017年數(shù)學(xué)中考第23題難度不是非常大，并且第（2）小題在課本中出現(xiàn)過(guò)，學(xué)生通過(guò)平時(shí)對(duì)折疊知識(shí)的學(xué)習(xí)，做到第三小題的第一種情況應(yīng)該不是非常困難，而第二種情況就需要多一些思考了。建議學(xué)生在遇到此類問(wèn)題時(shí)，多思考，多動(dòng)手，將實(shí)際情況抽象成圖形表示，再進(jìn)一步求解。我們也發(fā)現(xiàn)，許多中考題都立足于課本中的探究方法和課題學(xué)習(xí)展開(kāi)，考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法和思想的理解以及應(yīng)用，即學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中有意識(shí)的培養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能又高于具體知識(shí)技能的綜合性，整體性，持久性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣有助于在具體情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫聯(lián)榮.用折紙?zhí)骄繋缀螁?wèn)題.數(shù)學(xué)教學(xué).2006.8.

[2]萬(wàn)濤.有關(guān)初中數(shù)學(xué)折紙問(wèn)題的分析.數(shù)學(xué)之友.2012.24.

[3]趙麗珠.“巧”解初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題.課程教材教學(xué)研究.2013.1.

（浙江省永康市永康中學(xué)）