重構(gòu)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的“三度空間”

陳旭

[摘 要]發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。這種“以生為本”的現(xiàn)代教育觀備受關(guān)注。在課堂上給學(xué)生提供觀察、操作、表達(dá)、思考、交流、展示的機(jī)會(huì)實(shí)施深度學(xué)習(xí)，能有效培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。然而深度學(xué)習(xí)并不是自然發(fā)生的，也不是簡(jiǎn)單的學(xué)生自學(xué)，需要有教師積極的引導(dǎo)，也就是需要一定的促發(fā)條件和教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞]深度學(xué)習(xí);深度;高度;厚度

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0044-03

深度學(xué)習(xí)主要是針對(duì)課堂教學(xué)中學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)存在表層化的淺層理解，對(duì)知識(shí)理解不透徹、體驗(yàn)感悟不深刻、思考研究不深入等現(xiàn)象而提出的。深度學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是能抓住學(xué)科本質(zhì)，超越對(duì)知識(shí)的表層理解，進(jìn)入知識(shí)內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘其中的數(shù)學(xué)思想和經(jīng)驗(yàn)，徹底擺脫機(jī)械模仿、枯燥訓(xùn)練和強(qiáng)化記憶，指向思維的發(fā)展。那么，如何促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)呢？下面從借助核心問(wèn)題的研究、數(shù)形結(jié)合思想的滲透、習(xí)題資源的挖掘三個(gè)方面談?wù)勅绾未龠M(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

一、聚焦核心問(wèn)題研究，挖掘深度學(xué)習(xí)的“深度”

“學(xué)起于思，思源于疑?！?思維是從問(wèn)題開(kāi)始的，深度學(xué)習(xí)應(yīng)該是基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)。問(wèn)題是課堂教學(xué)中對(duì)話策略的重要組成部分，有效的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生明確自己的想法，提高學(xué)生思維的敏捷性和深刻性，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系具有獨(dú)特的價(jià)值。

筆者有幸聆聽(tīng)了周衛(wèi)東老師的一節(jié)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”課，有高度的教學(xué)設(shè)計(jì)把學(xué)生帶入了深度探索分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)中。下面將逐層分析周老師是如何一步一步地引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，把學(xué)生的思維認(rèn)知帶到一定的高度的。

在教學(xué)完例題“對(duì)[12]的初步認(rèn)識(shí)”后，周老師設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放式的研究性學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生繼續(xù)深入探討幾分之一的意義。這一環(huán)節(jié)是通過(guò)開(kāi)放式的研究性學(xué)習(xí)和教學(xué)研究?jī)?nèi)容的選擇非常典型這兩點(diǎn)一步一步地把學(xué)生的思維引入深處。

首先，在師生的談話互動(dòng)中，學(xué)生知道了還有許多的幾分之一的分?jǐn)?shù)，并選取了其中三個(gè)分?jǐn)?shù)作為代表重點(diǎn)研究，有[12]、[14]和[18]?？此坪?jiǎn)單的選數(shù)，卻蘊(yùn)含著一定的規(guī)律和認(rèn)知技巧，為學(xué)生的深入探究打下基礎(chǔ)。在后面的教學(xué)中能夠發(fā)現(xiàn)選取這三個(gè)分?jǐn)?shù)的目的，可謂教學(xué)設(shè)計(jì)的用心與精細(xì)。

其次，周老師讓每個(gè)學(xué)生選取其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了自主開(kāi)放式的課堂。探究方法也是開(kāi)放的。周老師給學(xué)生提供三種不同形狀（分別有正方形、長(zhǎng)方形和圓）的紙片作為研究工具，讓學(xué)生任選一種紙片來(lái)研究其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)。學(xué)生在展示研究成果的過(guò)程中，通過(guò)觀察、對(duì)比、思考吸取到了更多的知識(shí)。

最后，班內(nèi)交流、匯報(bào)，充分展現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)成果。

基于以上的開(kāi)放式學(xué)習(xí)研究，學(xué)生的研究成果及形式非常豐富。學(xué)生體會(huì)到每一個(gè)分?jǐn)?shù)可用不同的折法和涂法來(lái)表示，在動(dòng)手操作中直觀、深入地明白了“平均分”的含義和分?jǐn)?shù)表示的意義。更精彩的是，對(duì)于每個(gè)分?jǐn)?shù)、每種紙的折法，周老師先是隨機(jī)選擇一種進(jìn)行展示（如下圖）。

再設(shè)計(jì)兩個(gè)問(wèn)題，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行更深入的探究。

問(wèn)題 1 ：[12]、[14]、[18]分別是怎樣表示的？你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么想說(shuō)的？

生1：[12]是把一個(gè)圖形平均分成 2 份，取其中的一份;[14]是把一個(gè)圖形平均分成 4 份，取其中的 1 份;[18]是把一個(gè)圖形平均分成 8 份，取其中的 1 份。

生2：需要把紙對(duì)折 1 次，需要把紙對(duì)折 2 次，需要把紙對(duì)折 3 次。

生3 ：涂 2 個(gè)[14]就是[12]， 4個(gè)[18]也是[12]， 2 個(gè)[18]是[14] ……

此環(huán)節(jié)不僅加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)，還深層次地拓寬了[12]、[14]、[18]這三個(gè)分?jǐn)?shù)在意義上的聯(lián)系，展現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)的精彩過(guò)程。

問(wèn)題 2 ：豎著看，同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以用正方形的紙表示，怎么還能用長(zhǎng)方形和圓表示呢？它們的形狀可不一樣??？

在比較交流中，學(xué)生深刻理解了分?jǐn)?shù)表示的意義和圖形的形狀無(wú)關(guān)，與平均分的份數(shù)有關(guān)，平均分成幾份，其中的一份就表示幾分之一?？此坪?jiǎn)單的兩個(gè)問(wèn)題，把學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解帶到了思維的高度：理解了平均分的含義、平均分的方法、“一個(gè)物體”的含義……

有思維高度的問(wèn)題設(shè)計(jì)帶來(lái)了精彩的深度學(xué)習(xí)！可見(jiàn)，在設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師只有站在一定的高度上思考，才能把學(xué)生的學(xué)習(xí)帶到一定的高度。

二、 滲透數(shù)形結(jié)合思想，提升深度學(xué)習(xí)的“高度”

“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休?！崩谩靶巍钡闹庇^可闡明抽象的“數(shù)”中的復(fù)雜關(guān)系，即“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合實(shí)踐學(xué)習(xí)中，教師要督促學(xué)生不斷地思考，不斷地探究，厘清題意，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式將題目中的梗概明朗化，用直觀的圖形表示復(fù)雜的數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生一目了然地掌握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)。

如何借助形象的圖形理解抽象的算理？需要給學(xué)生一個(gè)思維的支撐點(diǎn)，使復(fù)雜的算理變得深刻、簡(jiǎn)明。因此可使用圖形語(yǔ)言解釋數(shù)學(xué)算式，外化算理的含義，使算理變得形象化、可視化。

師：你們還記得計(jì)算“同頭尾合十”兩位數(shù)乘兩位數(shù)的簡(jiǎn)便方法嗎？請(qǐng)算一下“63×67=？”。

步驟1：十位上的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，即6×（6+1）=42。

步驟2：個(gè)位上的數(shù)字相乘，即3×7=21。

步驟3：將步驟2的得數(shù)直接寫在步驟1的得數(shù)后面，即4221。

板書如下：

[6? ?3? ? ? ×? ? ? 6? ?7? ?=? ? ?4? ?2? ? ?2? ?1][② 3×7=21][① 6×（6+1）=42][③ 將21直接寫在這里]

師：想知道為什么可以這樣算嗎？我們剛剛學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，現(xiàn)在就以63×67為例來(lái)探尋一下。（課件動(dòng)態(tài)演示）畫一個(gè)長(zhǎng)67、寬63的長(zhǎng)方形（不用考慮單位名稱是什么，只要長(zhǎng)度比例正確即可），沿長(zhǎng)方形的兩邊截取一個(gè)邊長(zhǎng)為60的正方形。當(dāng)我們把從寬邊截取下來(lái)的長(zhǎng)方形移拼到彎箭頭所指的長(zhǎng)邊后，整個(gè)圖形變成了哪兩部分？（長(zhǎng)70、寬60的大長(zhǎng)方形和長(zhǎng)7、寬3的小長(zhǎng)方形）

師：圖形的形狀雖然變了，但圖形的面積變了嗎？怎樣計(jì)算新圖形的面積？（只需將這一大一小兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相加）

師：大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少？（60+7+3=70）大長(zhǎng)方形的面積怎么求？（大長(zhǎng)方形的面積：60×70=4200）這一步相當(dāng)于步驟幾？（相當(dāng)于計(jì)算規(guī)律中的第一步6×7=42，寫在前面）

師：小長(zhǎng)方形的面積呢？相當(dāng)于步驟幾？（小長(zhǎng)方形的面積：3×7=21;相當(dāng)于計(jì)算規(guī)律中的第二步3×7=21，寫在后面）

師：最后將這兩部分相加，也就求出了新圖形的面積：4200+21=4221。這一步相當(dāng)于步驟幾？（相當(dāng)于計(jì)算規(guī)律中的最后一步）

此時(shí)，學(xué)生露出了驚喜的眼神，發(fā)出贊嘆聲：“啊，原來(lái)是這樣呀！”“真好玩！”

課上學(xué)生產(chǎn)生困惑“為什么可以這樣算？”，說(shuō)明他們有積極思考，真正成為學(xué)習(xí)的主人，而后才有了“有趣的乘法計(jì)算”再教學(xué)，這樣既滿足了學(xué)生的知識(shí)需求，又能讓規(guī)律的探索有始有終。

借助平面圖形分析數(shù)學(xué)簡(jiǎn)算法的方式意義非凡，能讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的妙處。把計(jì)算63×67的積轉(zhuǎn)化成求長(zhǎng)方形的面積，“以形助數(shù)”讓學(xué)生一目了然。

通過(guò)滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在探究中知其然且知其所以然，了解知識(shí)背后的本質(zhì)，提升了深度學(xué)習(xí)的高度。

三、充分利用習(xí)題資源，夯實(shí)深度學(xué)習(xí)的“厚度”

有效的練習(xí)，能夠觸及知識(shí)的本質(zhì)，具有層次性、發(fā)展性、開(kāi)放性和思考性。不僅能促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的掌握，還有利于夯實(shí)學(xué)生深入學(xué)習(xí)的“厚度”。教學(xué)中，教師要潛心研究教材，把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，圍繞教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì)練習(xí)，特別是題組和變式題的訓(xùn)練。

例如，在“認(rèn)識(shí)三角形”一課中，畫高是教學(xué)重難點(diǎn)。通過(guò)學(xué)前檢測(cè)發(fā)現(xiàn)：（1）底在水平位置上時(shí)，部分學(xué)生知道應(yīng)該把高畫在什么位置，但對(duì)高的認(rèn)識(shí)僅是垂直方向上的一條線段;（2）部分學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)是最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的一段距離;（3）對(duì)于直角三角形而言，學(xué)生不確定當(dāng)高和直角邊重合時(shí)該怎么畫;（4）部分學(xué)生畫的高沒(méi)有標(biāo)垂直符號(hào)。對(duì)此，筆者設(shè)計(jì)了以下畫高練習(xí)。

練習(xí)應(yīng)該基于學(xué)情進(jìn)行設(shè)計(jì)，可將學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)剖析、公開(kāi)診斷、提前預(yù)防。基于以上學(xué)情分析，充分挖掘練習(xí)的價(jià)值，設(shè)計(jì)了多層次練習(xí)。第一層次，判斷三角形的高，學(xué)生出現(xiàn)了分歧，對(duì)于第（1）題，有的學(xué)生認(rèn)為是三角形的高，有的學(xué)生認(rèn)為看著像是高但并不垂直，此時(shí)大家一致認(rèn)為需要借助三角尺來(lái)驗(yàn)證，那么三角尺怎么擺呢？第二層次，引導(dǎo)學(xué)生思考、研究三角尺的擺法。先讓學(xué)生自主思考擺法，然后選出一位小裁判上臺(tái)驗(yàn)證，其他學(xué)生監(jiān)督、補(bǔ)充。第三層次，鞏固認(rèn)識(shí)什么是高。第四層次，請(qǐng)判斷錯(cuò)誤的學(xué)生談?wù)劄槭裁村e(cuò)了，做題時(shí)該注意什么。在糾錯(cuò)的過(guò)程中，學(xué)生習(xí)得的不僅是知識(shí)本身，還有一些做題的方法和經(jīng)驗(yàn)。

生活中學(xué)生接觸到的關(guān)于事物的高，大多是豎直方向，例如“這張課桌多高？”“這個(gè)人多高？”等。生活經(jīng)驗(yàn)帶給學(xué)生“高是豎直的”的思維慣性，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)識(shí)的高往往是豎直方向的。很多學(xué)生遇到底不在水平位置時(shí)習(xí)慣先轉(zhuǎn)動(dòng)作業(yè)本的方向再畫高。有了第（1）題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于第（2）題，學(xué)生第一反應(yīng)是需要驗(yàn)證，這種情況下的三角尺的擺放是難點(diǎn)，也是畫高的重要突破口，學(xué)生在操作中嘗試、在嘗試中領(lǐng)悟、在體驗(yàn)中思考、在思考中認(rèn)識(shí)高，為后面畫高做好準(zhǔn)備。第（3）題是給直角三角形畫高，很多學(xué)生會(huì)疑惑：被直角邊“擋”住了，高沒(méi)地方畫了，所以不自覺(jué)地會(huì)把高往內(nèi)移，擺三角尺驗(yàn)證以后發(fā)現(xiàn)高就是這條直角邊。

以上習(xí)題還承載更多的學(xué)習(xí)功能，通過(guò)不同形狀的三角形畫高，為將來(lái)學(xué)習(xí)的給梯形畫高降低了難度，夯實(shí)了深度學(xué)習(xí)的厚度。

做習(xí)題是學(xué)生對(duì)新知識(shí)再認(rèn)識(shí)、再加工的過(guò)程，枯燥、單一的習(xí)題講解會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，把習(xí)題用活、用足、用好，以促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性，促使學(xué)習(xí)不斷深化，使得數(shù)學(xué)課堂更加靈動(dòng)。

“深度”課堂絕對(duì)不是“難度”課堂，應(yīng)該是在教師讀懂教材、讀懂學(xué)生的基礎(chǔ)上，用心經(jīng)營(yíng)的有內(nèi)涵、有實(shí)效、有詩(shī)意的課堂。只有引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)發(fā)生，才能真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)無(wú)痕、潤(rùn)物無(wú)聲的美好教育愿景。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 《數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書》編寫組.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書[M] .南京：江蘇教育出版社，2014.

[2] 王榮香.基于新課標(biāo)的數(shù)學(xué)教本解讀探賾[J].成才之路，2018（17）.

[3] 徐海娟.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂追問(wèn)的技巧[J].啟迪與智慧（教育），2015（12）.

[4] 羅雪琴.數(shù)學(xué)課堂的有效思考[J].都市家教（下半月），2012（6）：162.

（責(zé)編 黃春香）