格林公式及其在微分方程中的應(yīng)用

魏其萍，王 躍 *，蔡梅梅，何小斌

（1. 貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴州 貴陽550025；2. 貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽550025；3. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 遵義563002）

格林公式在數(shù)學(xué)、工程、物理等相關(guān)專業(yè)中為人們所熟知，然而一維情形，格林公式又叫做分部積分法，在涉及到定積分的計算或者估值的問題中，格林公式扮演著不可或缺的角色，給各種復(fù)雜計算帶來了便利。

1 格林公式

格林公式在涉及到定積分的問題中比較常見，而定積分通常表示的是某些函數(shù)圍成區(qū)域的測度，一維函數(shù)定積分表示面積，二維函數(shù)定積分表示體積，高維函數(shù)定積分也常被稱為超體體積，格林公式在定積分問題上的主要作用之一是將函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的積分與區(qū)域邊界上的積分相互轉(zhuǎn)化，因此在很多涉及到定積分的問題中，格林公式的巧妙應(yīng)用凸顯出相當(dāng)強的優(yōu)勢。

1.1 分部積分法

格林公式主要用于計算定積分，一維情形定積分表示自變量坐標(biāo)軸、區(qū)間兩個端點的分割線和恒為非負(fù)的因變量曲線四條曲線圍成的區(qū)域面積，但是在實際坐標(biāo)中不難發(fā)現(xiàn)，因變量曲線可能在自變量坐標(biāo)軸的兩邊都有，也就是說不可能恒為非負(fù)，因此定義了負(fù)部的定積分也為負(fù)。由于在定積分的計算中利用不定積分的相關(guān)性質(zhì)可以簡化計算，從而有必要先了解不定積分的分部積分法，然后再介紹定積分的分部積分法。

對于定義區(qū)間Ω 上的函數(shù)f（x）和g（x），分部積分法可表述為：

注意在后一式中，務(wù)必記住f 和g 都是關(guān)于自變量x 的函數(shù)f=f（x），g=g（x）。顯然，定積分的分部積分公式與不定積分的分部積分公式看起來非常相似，但定積分的每一項都帶有積分限，不定積分只是表示函數(shù)族，從而沒有帶積分限。

注1 定積分的計算中，充分利用不定積分的原函數(shù)，可以有效解決很多問題。 但一維函數(shù)定積分表述的是面積，是一個數(shù)值，當(dāng)定積分為無窮大時稱定積分不存在；而不定積分表述的是積分函數(shù)的一族原函數(shù)。 從形式上看，積分函數(shù)具有原函數(shù)時，該積分函數(shù)的定積分不一定存在，而積分函數(shù)的定積分存在時，該積分函數(shù)的原函數(shù)可能不可以表示成初等函數(shù)。如在［0，+∞）上f（x）≡1 的原函數(shù)為F（x）=x+C（C 為任意常數(shù)），但［0，+∞）上f（x）≡1 的定積分不存在。

注2 從定義上看，對區(qū)間Ω，如果存在函數(shù)F（x）∈C1（Ω），使得F '（x）=f（x），則稱F（x）為f（x）的一個原函數(shù)，即F（x）+C（C 為任意常數(shù)）為f（x）的不定積分；如果f（x）及區(qū)間Ω 端點分割線與自變量坐標(biāo)軸圍成的面積有限，則稱該面積為f（x）的定積分。因此，從本質(zhì)上看，不定積分與定積分沒有太大的關(guān)系，原函數(shù)的存在性搭建了不定積分到定積分的橋梁。

1.2 二維格林公式

在二維函數(shù)中，定義區(qū)域通常是平面上的點組成的。為此，需要引進單連通區(qū)域的概念，即：對于平面區(qū)域Ω 來說，如果全落在這個區(qū)域內(nèi)中的任意一條封閉曲線都可以不經(jīng)過Ω 以外的點而連續(xù)地收縮為一點，則稱此區(qū)域Ω 為單連通的，不是單連通的區(qū)域稱為復(fù)連通的［2］。

單連通區(qū)域Ω 上的二重積分和沿其邊界的曲線積分之間有如下的關(guān)系:

例2 證明式（5）為任意平面圖形的面積表達式。

解 設(shè)f（x，y）=x，g（x，y）=-y，于是fx=1，gy=-1。根據(jù)定積分的定義和格林公式可知式（5）為任意平面圖形的面積表達式。

注3 某些定積分計算中，可能要利用坐標(biāo)變換，再利用格林公式計算結(jié)果。甚至在很多情形還可能將低維過渡到高維再降低到低維計算。

1.3 一般格林公式

前兩節(jié)中主要敘述格林公式在低維空間的情形，下面，將給出一般的格林公式，它不僅在高維空間成立，同樣也適用于低維空間。

引理2（高斯-格林定理）［3］設(shè)Ω?RN是有界區(qū)域，?Ω∈C1，那么對Ω 上的任意函數(shù)f=f（x）∈C1（Ω，R）及向量u（x）=［u1（x），…，uN（x）］∈C1（Ω，RN），有

2 格林公式在微分方程中的應(yīng)用

微分方程的發(fā)展立足于實際問題，而通常所遇到的函數(shù)不僅僅局限于連續(xù)可微函數(shù)，因此微分積分問題的發(fā)展轉(zhuǎn)入分段連續(xù)可微及不可微卻可積等各方面。勒貝格積分已占據(jù)現(xiàn)代積分問題的主流，它要求積分函數(shù)幾乎處處連續(xù)即可，而不連續(xù)的那些地方滿足測度為零。而在對應(yīng)的定積分方面，也不再要求必須滿足高階可微，只要幾乎處處可微而不可微的點測度為零即可。同時，從數(shù)學(xué)分析到泛函分析，解析幾何到微分幾何再到微分控制微分流形，微分方程的研究方法也在推陳出新，更多信息參見文獻［3-14］及其引用文獻。勒貝格積分［13］和希爾伯特空間［14］的建立大大擴寬微分方程的研究范圍，同時使微分方程與實際問題的聯(lián)系更加緊密，在天體力學(xué)、工程制造、臺風(fēng)預(yù)測、優(yōu)化控制、航天航空等方面微分方程起著不可替代的作用，作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)，推動了現(xiàn)代科技的發(fā)展。特別地，格林公式在微分方程弱解的定義中扮演著十分重要的作用，也是一個值得關(guān)注的問題。

2.1 推廣一維分部積分公式

由于一維定積分描述二維平面上一維函數(shù)圖形與坐標(biāo)軸及邊界分割線所圍成的測度，因此對任意滿足－∞≤a

其中端點不能取到時取的是極限值。形式公式中三個部分如果其中兩個的值有界，則第3 個必然有界，這樣就可以將閉區(qū)間推廣到開區(qū)間甚至整個實數(shù)軸上。

2.2 推廣廣義分部積分公式和格林公式

基于勒貝格測度理論，只要不滿足條件的地方測度為零，那么前面的公式都可以完全搬到勒貝格積分問題上。如果用幾乎處處表示那些不成立的地方測度為零，于是對可測函數(shù)來說有下面的推廣格林公式。

推論2 和推論3 的結(jié)論是顯然的，當(dāng)不可微的地方測度為零時已經(jīng)滿足定理3 和定理4，這些地方極限存在時也是有限個單點值，其勒貝格積分顯然也為零，從而聯(lián)合積分區(qū)域的可加性便得到結(jié)論。

2.3 定義邊值問題的弱解

在下面的定義和結(jié)論中，總給定正整數(shù)k 并且假設(shè)Ω 是R 中的開區(qū)間?Ω 表示端點，而Ω 是RN（N≥1）中的有界開集且?Ω 表示邊界時類似可以定義并獲得相關(guān)的結(jié)果，另外對于偏微分方程相關(guān)問題這里將不再討論。

則稱f=f（x）為第三邊值問題的H1類弱解，簡稱弱解。

3 總結(jié)與進一步討論

本文分為三部分，第一部分總述格林公式，從基本不定積分和定積分的分部積分法入手，再到二維格林公式，最后闡述通用格林公式，內(nèi)容由低維到高維再到通用形式，循序漸進并給出適當(dāng)?shù)睦觼淼於ㄑ芯康幕A(chǔ)。第二部分概述格林公式在微分方程中的一些應(yīng)用，首先推廣一維分部積分公式到任意區(qū)間，其次推廣了廣義分部積分公式和格林公式，最后介紹微分方程三種邊界值問題及其H1類的弱解。顯然，弱解問題中，處處與格林公式掛鉤。在格林公式基礎(chǔ)上，還可以討論微分問題弱解的可導(dǎo)性。 提到弱解，我們自然想到弱解要比解的性質(zhì)弱一些，也就是說解包含了弱解的所有性質(zhì)。

推論4［15］邊值問題的弱解不一定具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

注4 文獻［3，12］已利用算子譜理論給出特征值問題無窮多弱解的存在性，而對于推論4，文獻［15］正是從特征值問題出發(fā)利用實際例子說明該結(jié)論。