李定波，吳秀文，董愛國

（中國地質(zhì)大學（北京） 數(shù)理學院，北京 100083）

章動是陀螺的對稱軸在鉛垂面內(nèi)上下擺動的運動，圖1 是扭轉(zhuǎn)陀螺裝置實物圖。組裝、調(diào)整裝置，然后釋放該陀螺系統(tǒng)，會發(fā)現(xiàn)陀螺產(chǎn)生章動[1-3]和進動[4-5]現(xiàn)象，常見的進動儀就是基于該現(xiàn)象設(shè)計的[6]。但是，扭轉(zhuǎn)陀螺在模擬進動和章動時仍存在無法生動地模擬章動揚角的過程[7]、儀器不便攜帶、潤滑不方便等問題。旋轉(zhuǎn)剛體（如陀螺轉(zhuǎn)子、自旋衛(wèi)星等）受到力矩的干擾或由于角動量矢量在慣性空間中方向的改變就會產(chǎn)生章動運動。在無法直接觀測到外界情況時，通過陀螺章動的特性能夠完成對物體姿態(tài)的控制，因此陀螺的章動研究對于航空航天領(lǐng)域中衛(wèi)星的姿態(tài)調(diào)整、瞄準精度的設(shè)置以及慣性制導[8]有著重要的意義。目前，國內(nèi)外關(guān)于陀螺章動的研究主要局限在其無外力作用，或受脈沖力矩作用、恒定力矩作用下的運動規(guī)律研究[9-11]，而在變化力矩作用下的運動研究較少，有學者利用動靜法建立陀螺儀運動方程，分別推導出了無阻尼和有阻尼條件下的進動與章動模型[12]，并指出在章動方向上角度變化受到重力矩引起的章動和鉛垂軸方向阻尼力矩引起的轉(zhuǎn)子軸進動兩個方面的影響[13-15]，但建立的陀螺儀模型中并沒有陀螺自旋產(chǎn)生的自旋角動量對章動的影響，研究較為局限。

本文對自由陀螺系統(tǒng)在變力矩下陀螺的章動和進動情況進行深入的研究，同時建立一個研究復(fù)雜力學問題的進動與章動模型，對這一款扭轉(zhuǎn)陀螺裝置的章動和進動的機理進行了詳細的分析，給出了相應(yīng)的數(shù)學表達式，并通過實驗加以驗證。

圖1 扭轉(zhuǎn)陀螺裝置實物圖

1 實驗器材和方法

實驗所用器材包括具有一定扭轉(zhuǎn)阻力的尼龍繩和陀螺（圖2）。實驗中繩子有效長度為20 cm，陀螺總質(zhì)量為150 g，輪子質(zhì)量為100 g，輪子半徑為30 mm。實驗時需將其外輪系緊在有一定扭轉(zhuǎn)阻力的尼龍線上（陀螺通過該線豎直懸放），給尼龍線一定初始扭轉(zhuǎn)力矩，且使內(nèi)輪以一定角速度自旋，而后釋放該陀螺系統(tǒng)。

圖2 陀螺與尼龍線實物圖

測試分析方法：實驗前，用紅色記號筆標記陀螺質(zhì)心位置，用藍色記號筆標記陀螺自旋周期的采集位置。采用PIC-AL00 錄像機拍攝鎳盤的轉(zhuǎn)動過程。對錄像資料采用Tracker 軟件追蹤分析陀螺運動，并在軟件中讀取陀螺質(zhì)心的位移、陀螺進動周期、繩子與豎直方向的夾角和陀螺自轉(zhuǎn)周期。由于陀螺自旋時輪子上各點均做角量規(guī)律相同的自旋運動，在研究陀螺自旋周期變化規(guī)律時，以輪子上某任意點為研究的代表點（本實驗以藍色記號筆標記點為研究代表點）。實驗數(shù)據(jù)測量均為6 次，取其平均值。為了排除實驗裝置、操作等造成的誤差的影響，先用A 類標準不確定度的計算方法對數(shù)據(jù)進行處理，但由于測得值的不確定度來源不止一個，所以要合成標準的不確定度。標準偏差的計算公式為

其中，是測量值xi的算術(shù)平均值，n是測量次數(shù)。標準不確定度的計算公式為

其中，f是估計值y與測量值ix的函數(shù)關(guān)系式。

2 陀螺運動分析

2.1 陀螺章動分析

陀螺的運動由章動、進動和自旋運動構(gòu)成，章動運動受到繩子扭轉(zhuǎn)力矩的作用，進動運動受到重力矩的作用，而自旋運動受到摩擦等阻力的作用，根據(jù)以上3 種運動的不同組合形式可將陀螺系統(tǒng)的運動分為3 個階段：觸發(fā)階段、衰減階段和反向階段。其受力分析如圖3 所示。根據(jù)角動量定理，得到：

其中，M繩是繩子對陀螺的扭矩，ΔL是陀螺章動過程中的角動量變化，Δt是陀螺章動過程的時間變化。根據(jù)圖3 中的幾何關(guān)系，得到：

其中，L是陀螺自旋產(chǎn)生的角動量，Δθ是陀螺章動的微小角位移。聯(lián)立公式（3）和（4）可得章動角速度為

圖3 陀螺章動受力矩示意圖

由于在實際實驗中，繩子對陀螺的扭矩會隨著繩子的偏移而產(chǎn)生偏移，因此將扭矩分解，如圖3 所示，僅扭矩的豎直分量M繩⊥對陀螺的章動有貢獻，因此可得章動角速度為

由式（6）可見，章動角速度與繩子對陀螺的扭矩成正比，與陀螺自旋角動量成反比。

2.2 陀螺進動分析

由于陀螺的章動使其質(zhì)心偏離初始的豎直軸一定距離，產(chǎn)生重力臂r，因此在重力矩M重=r·G（G是陀螺的重力）的作用下陀螺產(chǎn)生繞其初始豎直軸的進動，陀螺受力如圖4 所示，根據(jù)角動量定理，得到

其中，ΔL進是陀螺進動過程中的角動量變化（方向垂直紙面向里）。陀螺在進動時轉(zhuǎn)過微小角位移時產(chǎn)生的與自旋角動量的幾何關(guān)系類似于章動，得到：

其中，Lx是陀螺自旋角動量，Δφ是陀螺進動的微小角位移。聯(lián)立公式（7）和（8）可得進動角速度：

其中，陀螺章動的角位移θ=α+β（0°＜θ＜90°），α是繩子與豎直方向的夾角，β是繩子連接點與陀螺質(zhì)心連線所在的直線與繩子延長線的夾角，L是陀螺自旋角動量。

綜合以上分析，根據(jù)圖4 的幾何關(guān)系，得到：

圖4 陀螺系統(tǒng)進動示意圖

由于A與式（12）中其他項相差較多的數(shù)量級，所以A對合磁力矩的影響較小。由式（12）及其相應(yīng)的分布曲線可知（見圖5），當0°＜θ＜45°時，進動角速度與章動角成正比，當45°≤θ＜90°時，進動角速度與章動角成反比；進動角速度與繩子的有效繩長和陀螺的進動半徑r成正比，與陀螺自旋產(chǎn)生的角動量成反比。

圖5 式（12）的分布曲線圖

3 結(jié)果與討論

圖6 是陀螺的章動角度隨時間變化的關(guān)系曲線。由圖6 可見，陀螺章動過程中在20～35 s 之間存在比較穩(wěn)定的章動角，陀螺的穩(wěn)態(tài)章動角約為30°。圖7是陀螺的進動周期隨時間變化的關(guān)系曲線。由圖7 可見，陀螺進動過程中在20～38 s 之間存在比較穩(wěn)定的進動周期T，約為0.58 s，根據(jù)角速度與周期的關(guān)系式可得，陀螺的穩(wěn)態(tài)進動角速度約為10.83 rad/s。38 s 后陀螺系統(tǒng)能量衰減較為明顯，陀螺系統(tǒng)運動趨于靜止。此結(jié)論與洪子昕[1]的研究不一致，由于洪子昕等人在實驗時繩子的扭轉(zhuǎn)圈數(shù)較少，因此只發(fā)現(xiàn)陀螺的章動角到達最大值后一直衰減到零，未發(fā)現(xiàn)陀螺存在穩(wěn)定進動角速度的現(xiàn)象。

本實驗中l(wèi)=20 cm，G=1.5 N，L=0.028 kg·m2/s。由式（12）計算得出理論的進動角速度為10.50 rad/s，實驗所得進動角速度與理論值大致相近，偏差≤3.14%。

圖6 陀螺章動角度隨時間的變化

圖7 陀螺進動周期隨時間的變化

圖8 是陀螺的進動角速度隨進動半徑變化的關(guān)系曲線，圖中理論值是根據(jù)式（9）計算所得。由圖8可見，當陀螺的進動半徑由2 cm 增至5.2 cm 時，陀螺的理論進動角速度由4.2 rad/s 增至13.1 rad/s，實際進動角速度由4.2 rad/s 增至8.2 rad/s。陀螺的進動半徑越大，進動角速度的實驗值與理論值的偏差越大。因為隨著陀螺進動半徑的增大，受繩子的顫動和疲勞的影響，損耗在繩子上的能量增大，從而導致進動角速度的實驗值與理論值的偏差增大。

圖8 陀螺進動角速度隨進動半徑的變化

圖9 是陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時間變化的關(guān)系曲線。由圖9 可見，當時間由16.000 s 增至27.992 s 時，陀螺的自轉(zhuǎn)周期由0.068 s 增至0.116 s；當時間由31.992 s增至39.980 s時，陀螺的自轉(zhuǎn)周期由0.136 s 增至0.184 s。對于時間在16.000～27.992 s 范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進行線性擬合得到的關(guān)系式為

對于時間在31.992～39.980 s 范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進行線性擬合得到的關(guān)系式為

其中，R2表示擬合優(yōu)度，R2的值越接近1，說明回歸直線對實驗值的擬合程度越好。該結(jié)果說明，陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時間分段線性變化，此結(jié)論與陳宗強等[4]的研究結(jié)果一致。

圖9 陀螺自轉(zhuǎn)周期隨時間的變化

圖10 是陀螺質(zhì)心在水平方向上的位移隨時間變化的關(guān)系曲線。由圖10 可見，在水平方向上，陀螺質(zhì)心在21～35 s 存在比較穩(wěn)定的運動軌跡，運動軌跡是半徑約為60 cm 的圓周運動。圖11 是陀螺質(zhì)心在豎直方向上的位移隨時間變化的關(guān)系曲線，坐標系的原點為繩子上端與鐵架臺栓系的部位，如圖4 所示。由圖11 可見，在豎直方向上，陀螺質(zhì)心在27～38 s 比較穩(wěn)定，質(zhì)心在-255 mm 處的水平線上下浮動。由于繩子的疲勞和摩擦阻力等系統(tǒng)阻尼，導致陀螺的章動角度時刻存在微小的變化，從而使得陀螺的質(zhì)心在豎直方向上顫動。

圖11 陀螺質(zhì)心在豎直方向上位移隨時間的變化

4 結(jié)語

本文基于扭轉(zhuǎn)陀螺裝置，探究了陀螺的章動和進動機理，推導出了陀螺進動角速度和章動角速度的數(shù)學表達式，分析了其影響因素，并且依據(jù)實驗與理論之間的對比，驗證了其正確性。陀螺的運動可以分為3 個階段：觸發(fā)階段、衰減階段和反向階段。觸發(fā)階段陀螺的運動是章動；衰減階段陀螺的運動是進動和章動，在衰減階段陀螺存在一定時間的穩(wěn)態(tài)運動，即陀螺的章動角幾乎不變，進動的軌跡近似等于圓周運動，但由于繩子的疲勞等系統(tǒng)阻尼消耗了大量的系統(tǒng)中的能量，使得陀螺后期的實際運動情況與理論偏差增大，最后停止運動；反向階段陀螺進動和章動的方向發(fā)生反向改變。陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時間分段線性變化，同時根據(jù)實驗結(jié)果進行了線性擬合并得出了自轉(zhuǎn)周期與時間的關(guān)系式，可以估算出一定時間范圍內(nèi)陀螺自轉(zhuǎn)的周期。