例說用特殊化方法探求定值

李潤林

【摘要】在某些幾何圖形中，有些點或直線（射線、線段）的位置是不斷變化的，在這個變化過程中，有一些位置關系（如兩直線的平行或垂直）或數(shù)量關系（如線段的長度、角的大小、弧的大小、線段的比等）卻始終保持不變，這就是幾何中的定值問題.

【關鍵詞】特殊化方法;探求定值

圖1例1 已知：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一點，PR⊥AB，PQ⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為R，Q，D.求證：PQ+PR為定值.

分析 因為P是BC上任意一點（即P是動點），所以當P運動到B的位置時，R和Q也隨之分別運動到B和D的位置，此時PR=0，PQ=BD，由此猜想BD就是所要求的定值.

下面我們來證明這個猜想在一般情況下也是正確的.

分析 因為P是△ABC內任意一點（即P是動點），所以當P運動到△ABC的重心位置時（圖7），由“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”及“角平分線上的點到已知角兩邊的距離相等”知PD=PE=PF=1[]3AD，于是我們猜想PD+PE+PF=AD=3[]2m就是所要求的定值.

分析 當正方形A1B1C1O繞點O旋轉到特殊位置（圖10）時，容易證明重疊部分是一個邊長為1[]2的小正方形，其面積為1[]4，由此我們猜想圖9中重疊部分四邊形OEBF的面積等于1[]4就是所要求的定值.

下面我們來證明這個猜想在一般情況下也是正確的.

分析 由于點P是BC邊上的一個動點，所以當點P運動到BC的中點位置（如圖13）時，由AB=AC、“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”及“垂徑定理”的推論知AD是⊙O的直徑，且∠APB=90°.連接BD，則易證△APB∽△ABD，于是AP[]AB=AB[]AD，從而猜想AP·AD=AB2就是所要求的定值.

下面我們來證明這個猜想在一般情況下也是正確的.

綜上所述，在求解幾何定值問題時，確定定值等于多少是解決問題的關鍵，其一般方法是：通過分析特殊位置情況下的圖形先猜想出定值，然后在一般的位置情況下證明猜想成立.也就是說，解決定值問題一般有如下兩個步驟：

（1）在特殊位置下探求定值;

（2）在一般情況下證明結論.