體驗(yàn)中洞察臨界問題的本質(zhì) 實(shí)踐中領(lǐng)會(huì)處理臨界問題的方法

湖南 王經(jīng)天 陳 康

臨界問題貫穿整個(gè)高中物理，且臨界問題沒有統(tǒng)一的解法，老師苦惱，學(xué)生痛苦，總感覺臨界問題無論做多少不同類型題還是會(huì)有新的臨界題型出現(xiàn)。究其根本，臨界之苦，苦在未洞察臨界問題的本質(zhì)。本文從洞察臨界問題的本質(zhì)入手，找到處理臨界問題的方法，消除學(xué)生對(duì)臨界問題的困惑。

一、洞察臨界問題的本質(zhì)一——位置的臨界

1.過程體驗(yàn)領(lǐng)悟本質(zhì)

【例1】(2015年全國卷Ⅰ第18題)一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖1所示。水平臺(tái)面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為3h。不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的最大取值范圍是

( )

圖1

【解析】尋找臨界位置：

乒乓球發(fā)射后運(yùn)動(dòng)的豎直位移相同，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，速度的臨界值對(duì)應(yīng)水平位移的臨界位置。如圖2所示，當(dāng)發(fā)球機(jī)發(fā)射的乒乓球沿中線方向水平發(fā)射且恰好過球網(wǎng)時(shí)，乒乓球所對(duì)應(yīng)的速度為乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上的最小速度vmin，此時(shí)M點(diǎn)即為乒乓球能過網(wǎng)的臨界位置。

圖2

如圖3所示，當(dāng)發(fā)球機(jī)發(fā)射的乒乓球沿ON方向水平發(fā)射且恰好擊中N點(diǎn)時(shí)，乒乓球所對(duì)應(yīng)的速度為乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上的最大速度vmax，此時(shí)N點(diǎn)即為乒乓球不出右側(cè)臺(tái)面的臨界位置。

圖3

求解臨界速度：

2.形成結(jié)論構(gòu)建模型

在限定質(zhì)點(diǎn)所能達(dá)到的區(qū)域時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所能達(dá)到的區(qū)域和不能達(dá)到的區(qū)域的交界位置，即為“位置的臨界”。

3.自主探究形成能力

圖4

【解析】尋找臨界位置：

原本打到P點(diǎn)的離子在加速電壓改變后打到QN區(qū)域，對(duì)應(yīng)的Q和N兩點(diǎn)為臨界位置。

求解臨界電壓：

對(duì)打到P點(diǎn)的離子分析可知

改變加速電壓后對(duì)打到Q點(diǎn)的離子分析可知

改變加速電壓后對(duì)打到N點(diǎn)的離子分析可知

r2=L⑨

二、洞察臨界問題的本質(zhì)二——力的臨界

(一)力的臨界之“靜摩擦力”的臨界

1.過程體驗(yàn)領(lǐng)悟本質(zhì)

【例2】如圖5所示，豎直細(xì)桿上套有一個(gè)質(zhì)量為1 kg的小圓環(huán)，小圓環(huán)左側(cè)系有一勁度系數(shù)為k=500 N/m的輕質(zhì)彈簧，已知彈簧與豎直方向的夾角為θ=53°(sin53°=0.8，cos53°=0.6)，小圓環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.75，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，彈簧一直處于彈性限度內(nèi)，g取10 m/s2。

圖5

(1)當(dāng)彈簧的伸長量為多少時(shí)，小圓環(huán)和細(xì)桿間剛好無摩擦力；

(2)當(dāng)彈簧的伸長量至少為多少時(shí)，小圓環(huán)才不會(huì)沿細(xì)桿下滑；

(3)試判斷小圓環(huán)在彈簧的作用下是否可能沿細(xì)桿上滑。

【解析】明顯可判此題為“靜摩擦力”的臨界

尋找靜摩擦力的臨界值：

臨界值三 當(dāng)彈簧對(duì)小圓環(huán)的彈力的豎直分量等于圓環(huán)的重力和最大靜摩擦力之和，即kxcos53°=mg+μkxsin53°時(shí)，小圓環(huán)才會(huì)沿細(xì)桿上滑，而kxcos53°=μkxsin53°，所以kxcos53°=mg+μkxsin53°不可能成立，所以小圓環(huán)不可能沿細(xì)桿上滑。

2.形成結(jié)論構(gòu)建模型

靜摩擦力為被動(dòng)力，物體受到的其他力會(huì)影響靜摩擦力的大小和方向，靜摩擦力的臨界有可能是靜摩擦力剛好為零，也可能是靜摩擦力剛好達(dá)到最大靜摩擦力。

3.自主探究形成能力

【自主探究2】如圖6所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的小物體A和B通過輕彈簧連接，并隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其質(zhì)量分別為m、2m，A、B與轉(zhuǎn)臺(tái)的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，A、B離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為1.5r、r，已知彈簧的原長為1.5r，勁度系數(shù)為k，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，以下說法正確的是

( )

圖6

【解析】尋找靜摩擦力的臨界狀態(tài)：

靜摩擦力剛好為零

靜摩擦力剛好達(dá)最大靜摩擦力

綜上分析可得，BD選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】此題是靜摩擦力的臨界，既考查了靜摩擦力為零的臨界狀態(tài)，又考查了靜摩擦力為最大值的臨界狀態(tài)，洞察臨界問題的本質(zhì)，求出對(duì)應(yīng)的臨界值，是解決臨界問題的關(guān)鍵。

(二)力的臨界之“支持力和壓力”的臨界

1.過程體驗(yàn)領(lǐng)悟本質(zhì)

【例3】如圖7所示，在光滑水平面上放著緊靠在一起的A、B兩物體，B的質(zhì)量是A的2倍，B受到水平向右的恒力FB=2 N，A受到的水平向右的變力FA=(9-2t) N，t的單位是s。從t=0開始計(jì)時(shí)，則

( )

B.t>4 s后，B物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

C.t=4.5 s時(shí)，A物體的速度為零

D.t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反

圖7

【解析】尋找“支持力和壓力”的臨界狀態(tài)：

對(duì)于A、B整體，根據(jù)牛頓第二定律有FA+FB=(mA+mB)a

設(shè)A、B間的作用力為F，則對(duì)于B，據(jù)牛頓第二定律可得F+FB=mBa

當(dāng)t=4 s時(shí)F=0，A、B兩物體開始分離，此時(shí)即為“支持力和壓力”的臨界狀態(tài)

2.形成結(jié)論構(gòu)建模型

兩個(gè)接觸且相互擠壓的物體間有相互作用的支持力和壓力，隨著物體受力變化，在兩物體即將發(fā)生分離的瞬間，兩物體間的支持力和壓力為零，此時(shí)即為“支持力和壓力”臨界。

3.自主探究形成能力

【自主探究3】如圖8所示，空間有一垂直紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5 T的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為M=0.2 kg且足夠長的絕緣木板靜止在光滑水平面上，在木板右端無初速度地放上一質(zhì)量為m=0.1 kg、電荷量q=+0.2 C的滑塊，滑塊和絕緣木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，滑塊受到的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力。t=0時(shí)，對(duì)滑塊施加水平向左、大小為0.6 N的恒力F，重力加速度g=10 m/s2。則

( )

圖8

A.木板和滑塊一直做加速度為2 m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng)

B.滑塊先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做加速度增大的變加速直線運(yùn)動(dòng)，最后做速度為10 m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)

C.木板先向左做加速度為2 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)

D.t=1 s時(shí)，滑塊和木板開始發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)

【解析】尋找臨界狀態(tài)

臨界狀態(tài)一：靜摩擦力的臨界

在木板和滑塊即將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的瞬間

對(duì)木板和滑塊整體，根據(jù)牛頓第二定律有F=(M+m)a

解得a=2 m/s2①

對(duì)滑塊，根據(jù)牛頓第二定律有F-μ(mg-qv1B)=ma

解得v1=2 m/s ②

臨界狀態(tài)二：“支持力和壓力”的臨界

當(dāng)木板和滑塊速度增加到v1=2 m/s后，滑塊和木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，隨著滑塊的速度增加，滑塊和木板之間的彈力逐漸減小，滑動(dòng)摩擦力也減小，滑塊的加速度逐漸增大，木板的加速度逐漸減小，當(dāng)滑塊所受的洛倫茲力等于重力時(shí)，即mg=qv2B時(shí)，滑塊和木板之間的彈力消失，木板在光滑地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑塊速度v2=10 m/s。當(dāng)滑塊速度達(dá)到v2=10 m/s，滑塊脫離木板上表面做變加速曲線運(yùn)動(dòng)。C選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(三)力的臨界之“拉力”的臨界

1.過程體驗(yàn)領(lǐng)悟本質(zhì)

【例4】如圖9所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA=OB=AB，現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動(dòng)過程OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說法正確的是

( )

圖9

【解析】尋找拉力的臨界值：

臨界值一OB繩拉力的最小值與AB繩拉力的最大值

2.形成結(jié)論構(gòu)建模型

輕繩或輕桿拉著某個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，輕繩或輕桿對(duì)物體的拉力發(fā)生變化，當(dāng)輕繩或輕桿的拉力剛好為零或達(dá)到最大值，此時(shí)即為“拉力”的臨界。

3.自主探究形成能力

【自主探究4】如圖10所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，F(xiàn)N-v2圖像如圖11所示。下列說法正確的是

( )

圖10

圖11

C.v2=c時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向上

D.若c=2b，桿對(duì)小球彈力大小為2a

【解析】尋找拉力的臨界狀態(tài)

【點(diǎn)評(píng)】本題既是“力”的臨界，也是“速度”的臨界，還是“位置”的臨界。

三、洞察臨界問題的本質(zhì)三——“速度或加速度”的臨界

1.過程體驗(yàn)領(lǐng)悟本質(zhì)

(1)經(jīng)多長時(shí)間AB整體相對(duì)地面開始滑動(dòng)；

(2)經(jīng)多長時(shí)間AB間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

圖12

【解析】尋找臨界狀態(tài)：

②B對(duì)A的最大靜摩擦力FfBAmax=2μmg

2.形成結(jié)論構(gòu)建模型

在變化外力的作用下，兩物體以變化的相同的速度(加速度)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)變化的外力變化到某一個(gè)值，兩物體間就會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)瞬間的速度就是“臨界”速度，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)瞬間的加速度就是“臨界”加速度。

3.自主探究形成能力

【自主探究5】如圖13所示，三物體A、B、C均靜止，輕繩兩端分別與A、C兩物體相連接且伸直，mA=3 kg，mB=2 kg，mC=1 kg，物體A、B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，地面光滑，輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計(jì)。若用力將B物體從AC間拉動(dòng)出，則作用在B物體上水平向左的拉力F至少應(yīng)大于(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10 m/s2)

( )

A.3 N B.5 N C.8 N D.9 N

圖13

【解析】要將B物體從AC間拉動(dòng)出，B既要相對(duì)A發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，又要相對(duì)C發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，A和C的加速度大小相等。

尋找臨界狀態(tài)：

臨界問題的核心是洞察臨界問題的本質(zhì)。通過分析問題判斷涉及的臨界問題具體是“位置”的臨界、“力”的臨界還是“速度或加速度”的臨界。如果是“位置”的臨界，往往需要找到臨界位置，畫出經(jīng)過臨界位置的運(yùn)動(dòng)示意圖，借助運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解；如果是“力”的臨界，往往要找到力的最大值、最小值或?yàn)榱愕呐R界狀態(tài)，借助力的平衡知識(shí)建立平衡方程進(jìn)行求解或借助牛頓第二定律建立方程進(jìn)行求解；如果是“速度或加速度”的臨界，往往需要根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式建立方程進(jìn)行求解。在實(shí)際應(yīng)用中“力”的臨界和“速度或加速度”的臨界有可能結(jié)合在一起，從不同的角度去看屬于不同類型的臨界，但對(duì)解決臨界問題的方法并沒有影響，依然是洞察臨界問題的本質(zhì)，抓住臨界狀態(tài)建立方程。