對2020年高考新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科第20題的探究

李 寧 賀航飛

(海南省海南中學(xué) 571158)

一、真題再現(xiàn)

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

二、解法探究

①

整理，得x1y2+3y2-3x2y1+9y1=0.

②

整理,得x2y1+3y1-3x1y2+9y2=0.

③

②-③，得0=6(y2-y1)+4(x2y1-x1y2).

解法2 直線CD不與y軸垂直，設(shè)其方程為x=my+t，代入x2+9y2=9，

整理，得(m2+9)y2+2mty+t2-9=0.

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2)，則

將韋達定理的內(nèi)容代入上式，得

評注這里y1和y2是不對稱的，不能借助韋達定理直接消去y1,y2. 通過適當(dāng)變形，消去y1，保留y2. 最后看似消元無望，提取公因式后“豁然開朗”，能夠整體消元.

整理，得(9+n2)x2+6n2x+9n2-81=0.

因為-3與x1是以上二次方程的兩根，

整理，得(1+n2)x2-6n2x+9n2-9=0.

因為3與x2是以上二次方程的兩根，

評注這里借助曲線系方程，計算量比前面的解法要小得多. 在解題時，可以將曲線系方程中的各項系數(shù)都寫出來，然后和橢圓方程對照得到若干關(guān)于各個參數(shù)的方程，選取對解題有利的方程來化簡.

三、問題推廣

該考題的第(2)問的背景為圓錐曲線的極點、極線理論，下面將問題推廣到一般情形.