例析隱零點問題的三類處理技巧

魏東升

(江西省瑞金第一中學 342500)

函數(shù)與導數(shù)主要是考查學生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的主要載體，其一直是高考考查的重點之一.在處理函數(shù)與導數(shù)的壓軸題時，對零點的處理往往是一個關鍵環(huán)節(jié)，有些函數(shù)的零點確實存在，但無法精確求解，此謂之“隱零點”；有些導數(shù)的零點雖然可求，但因含參而需要討論.對于這類問題，常見的處理方式主要有虛設零點、化隱為顯和變換主元三大類.

一、虛設零點

所謂虛設零點，是指為了處理函數(shù)的隱零點問題，通過采取假設函數(shù)零點卻不直接求解，通過謀求整體的轉化,將函數(shù)轉化為易求的形式進行求解的一種處理技巧.

評析本題涉及了超越函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等函數(shù)結合的函數(shù))，在假設零點后，可以考慮把超越式(如lnx、ex等)分離出來再代入表達式求解，以達到將超越函數(shù)轉化為普通函數(shù)的目的，此謂之整體消“超”．除此之外，對于一類函數(shù)零點個數(shù)判斷(或根據(jù)零點個數(shù)求參、或零點所在區(qū)間判斷)的問題，可以考慮利用該零點附近的特殊點的函數(shù)值來確定符號，謂之特點定號(如2019年全國Ⅱ卷文)；對于含有參數(shù)的函數(shù)，還可以考慮整體消參(如2019年天津卷文)和降次留參(如2019年江蘇卷)等方式，

二、化隱為顯

所謂化隱為顯，指的是為了避免出現(xiàn)直接求導帶來的隱零點問題，通過采取重新構造函數(shù)的方式，把隱零點轉化為顯零點的一種處理技巧.

例2 (2017年全國Ⅱ卷理)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．求a．

評注分離是化隱為顯的一種常見手段，其通常用于分離參數(shù)，或者是分離含有類如xlnx這樣的超越式.本題中除了分離參數(shù)，還由于f(x)含有xlnx而導致求導后出現(xiàn)了隱零點問題，故而采取了將x和lnx分離的處理方式.除了分離構造，常見化隱為顯的方法還有合并構造(如2018年全國Ⅱ卷理)、放縮構造(如2018年全國Ⅰ卷文)和雙雄構造(指把一個函數(shù)拆成兩個函數(shù)，如2014年全國Ⅰ卷理)等.

三、變換主元

有些數(shù)學問題中常含變量，在某些情況下為了解決問題的需要，可人為地突出該變量的主體地位作用，將之當作主元構造新的函數(shù)，以達到化難為易的目的.這種思路還適用于多元變量函數(shù)的問題.

例3 (2015年全國Ⅰ卷文)設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

當a<2ex時，g′(a)<0；當a>2ex時，g′(a)>0，所以a=2ex時，g(a)取最小值為g(2ex)=e2x-2ex.

評注本題如果直接對f(x)進行求導，會出現(xiàn)隱零點問題以致給解題帶來不便，故這里采用了重新構造關于變量a的對數(shù)超越函數(shù)的處理方式.除了重構對數(shù)超越函數(shù)，變換主元往往還會重構指數(shù)超越函數(shù)(如2016年全國Ⅲ卷文)、重構雙勾型函數(shù)(如2017年全國Ⅲ卷文)和重構二次函數(shù)(如2019年浙江卷).

通過上述幾個高考真題我們知道，通過結合已知條件和結論虛設零點、化隱為顯和變換主元是解決隱零點問題的主要處理策略．在導數(shù)壓軸題的教學過程中，像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關的問題，對學生解題水平的提升、邏輯思維的訓練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，想來都是極好的．