黃閩海

（福建技術(shù)師范學院 電子與機械工程學院，福建 福州 350300 ）

GeoGebra是一款動態(tài)數(shù)學軟件,將圖形、代數(shù)和數(shù)據(jù)表動態(tài)結(jié)合，由于其界面的簡潔性、易操作性、動態(tài)可視性，現(xiàn)已在世界各地的課堂上得到越來越廣泛的應(yīng)用，取得了豐碩的成果.源于以上諸多優(yōu)點，GeoGebra（以下簡寫為GGB）在電磁學理論的教學演示、實驗數(shù)據(jù)處理、仿真實驗、輔助解題等方面所具有的優(yōu)越性值得深入研究[1].

傳統(tǒng)的電磁學實驗，通常采用手工方法進行實驗數(shù)據(jù)的處理，存在描點不準確、繪圖比例不當?shù)热秉c，造成人為誤差，導致所得結(jié)果的精度不理想，難以滿足實驗的要求[2-3].本文基于GGB 軟件，在電磁學實驗前，對試驗結(jié)果進行預演，將電場、磁場物理量的表達式轉(zhuǎn)換成形象直觀的幾何曲線；在實驗數(shù)據(jù)處理階段，利用GGB 的繪圖功能將試驗數(shù)據(jù)擬合成圖形，并從擬合圖形中獲取相關(guān)物理量的數(shù)學方程，從而方便將理論數(shù)據(jù)與實驗結(jié)果進行比對，驗證實驗的準確性.通過GGB 軟件的輔助，可極大地減小實驗數(shù)據(jù)的處理難度，節(jié)約計算時間，更準確地繪制出電、磁場分布曲線.

1 GeoGebra 應(yīng)用于靜電場等勢面的測量實驗

1.1 靜電場的理論依據(jù)

靜止電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場.兩根長同軸圓柱面間的電勢分布是靜電場描繪的經(jīng)典實驗.由電磁場理論可知，恒定電流的電場和相應(yīng)的靜電場的空間形式是一致的[4].只要電極電勢不變，電極形狀一定，空間介質(zhì)均勻，在任意考察點，均有U恒定=U靜電或E恒定=E靜電[5].基于此，以同軸圓柱間的“靜電場”來研究電勢分布（圖1）.半徑為a 的圓柱導體A 和半徑為b 的圓柱殼導體B 同軸放置，分別帶等值異號電荷，A 和B 間為真空，由高斯定理可知，其電場線沿徑向由A 向B 輻射分布，其等勢面為一簇同軸圓柱面.因此，只要研究任一垂直軸的橫截面上的電勢分布，通過正交法即可知道電場的分布.設(shè)A（或B）的電荷線密度為λ，由高斯定理可得：E=λ/2πε0r.

兩圓柱面之間任意半徑為r 的一點電勢為

令r=b 時，Ub=0，則有

代入公式（1）得:Ur=Ualn，可導出等勢線半徑r 的表達式為r=an×b1-n，式中n=Ur/Ua.

圖1 同軸圓柱間的靜電場

1.2 用GeoGebra 繪制等勢線

打開GGB，建立2 個滑動條a、b，代表同軸的兩個半徑，a 的取值范圍為[0.5,1]，步進設(shè)置為0.05，b的取值范圍為[6,9]，步進設(shè)置為0.1.接著在代數(shù)區(qū)輸入等勢圓半徑r 的方程f(x)=axb1-x，x 軸代表測量點電壓與圓柱面之間所加的電壓之比n.

在繪圖區(qū)輸出等勢線半徑變化的曲線（圖2），調(diào)整xy 軸的比例使x 軸的刻度以0.1 為網(wǎng)格單位顯示出來，選擇描點工具開啟對齊到網(wǎng)格的功能，可以很容易地捕捉到x 軸上以0.1 為步進的r 曲線上的點A、B、C,…,J，共9 個點，輸入兩個同軸圓柱的具體半徑，以實驗儀器中a=0.75 cm，b=7.5 cm，UAB=10 V為例，在代數(shù)區(qū)ABC 各點的縱坐標就是各個等電勢圓的半徑數(shù)值，用“R 理論”來表示，見圖2 左側(cè)，各點的半徑分別為5.96、4.76、3.76、2.99、…，將其填入圖6 中的GGB 表格區(qū)的“Ur”和“R 理論”列中.如果拖動滑動條，使a、b 在其取值范圍間變化，對應(yīng)的曲線亦隨之變化，可以直觀方便地演示等勢圓半徑變化規(guī)律，在繪圖區(qū)中能動態(tài)地觀察到各個捕捉點的y 軸坐標的變化，在教學中起到示范和引導作用.

以A、B、C,…,J 各點的縱坐標值為半徑，繪制出一系列同心圓，每個圓之間的電勢差為0.1Ua，兩同軸間的電壓以10 V 為例，繪出了在理論上間距為1 V 的等勢線簇（圖3）.

圖2 繪制等勢線半徑隨n=Ur/Ua變化的曲線

圖3 GGB 繪制理論上的等勢線簇

1.3 實驗測量

兩層靜電場測繪儀如圖4 所示.導電物質(zhì)是一種導電玻璃，玻璃表面均勻地涂一層薄石墨粉，其導電率極低，符合模擬條件.儀器左下邊測繪的是模擬等值異號點電荷的等勢線簇，右下邊測繪模擬同軸圓柱帶電體的電場.將接線柱分別與電池的正極和負極相連，建立一個恒定電流場，從而形成一組等勢線，電場中各點的電勢通過雙層同步探針和靈敏電壓表測出.為方便測量和計算，將兩接線柱的輸入電壓調(diào)節(jié)為直流10 V，僅以同軸圓柱的靜電場為例.

1）連接好設(shè)備，下探針測量電場某點的電勢，上探針適當用力在繪圖紙上打出同步點.

2）測繪同軸電纜的等勢線簇.取U=2,3,…,9 V 共8 組，每組8 點，大致分布在8 個方位上.

圖4 兩層靜電場測繪儀

1.4 基于GGB 的數(shù)據(jù)處理

在繪圖紙上放一只直尺，拍攝后將照片導入到GGB，將直尺的長度與繪圖區(qū)的坐標軸長度相比較，算出圖像的放大系數(shù)n；利用“位似工具”選擇導入的圖片，在彈出的縮放比例對話框中填入1/n，這樣圖片尺度與GGB 坐標尺度為1∶1 的關(guān)系，這點非常重要，決定了在GGB 中測量出來的等勢線的尺寸與實際的打點繪圖尺寸能否相符.圖5 是將一系列實驗打出的等勢點導入到GGB 中的情況，可以看出直尺的刻度與下方的繪圖區(qū)坐標已處理為1∶1 的關(guān)系.

圖5 將實驗打點圖導入GGB 處理

將圖片鎖定到坐標軸上，通過鼠標滾輪的上下滾動，可以無極縮放圖片（與坐標軸聯(lián)動），這樣就可以精細地處理各系列的等勢點，這是手工繪制所無法比擬的優(yōu)勢.利用“描點工具”將各打點映射到坐標系中，對某一等勢線上的點，如圖5 中的D、E、F、G、H、I、J、K 共8 個點，用圓形擬合工具繪制出最恰當?shù)膱A，以保證圓心位置誤差及其對應(yīng)的半徑標準差均為最小，即為“優(yōu)質(zhì)組合[6]”.在圖5 左邊的參數(shù)區(qū)可以查看到該圓的代數(shù)方程為（x-6.78）2+（y-7.71）2=22.66，將22.66 開根號，得到的數(shù)值就是這條等勢線的半徑值.用同樣的方法可以得出一系列等勢線半徑數(shù)值，用“R 實驗”來表示，也填入到GGB 的表格區(qū)（圖6左方表格的B 列）.

1.5 基于GGB 的實驗誤差分析

通過理論計算和實驗的打點擬合，獲得了一組等勢圓半徑的理論值和實驗測量值，再對數(shù)值進行自然對數(shù)運算，得到對應(yīng)的“l(fā)n R 理論”值和“l(fā)n R 實驗”值，如圖6 左方所示.

圖6 等電勢圓半徑R（理論值、測量值）及對應(yīng)對數(shù)值列表、R 實驗值的擬合曲線

圖7 Ur-ln R 實驗的線性擬合曲線

表1 4 個擬合方程及系數(shù)誤差

2 GeoGebra 應(yīng)用于通電螺線管軸線上磁場的測量實驗

2.1 螺線管軸線上的磁感應(yīng)強度

本實驗是利用霍爾效應(yīng)測量磁感應(yīng)強度B 的磁場分布.利用畢奧-薩伐爾定律推導磁感應(yīng)強度的表達式[7]，對于長度為2L、匝數(shù)為N、半徑為R 的螺線管，在離開中心點x 處的磁感應(yīng)強度的分布公式為：

式中：u0為真空磁導率；n=N/2L，為螺線管單位長度的匝數(shù)；本實驗的螺線管匝數(shù)為1 810 匝；長度2L 為181 mm；螺線管半徑為21 mm.對于“無限長”螺線管，L>>R，B=μ0nI；對于“半無限長”螺線管,在端點處有x=L，B=μ0nI/2.

2.2 用GeoGebra 繪制通電螺線管中軸線上的磁感應(yīng)強度B

令K′=μ0nI/2，在GGB 中創(chuàng)建滑動條d，表示螺線管的長度的一半；創(chuàng)建滑動條R，表示螺線管的半徑.在函數(shù)區(qū)輸入磁感應(yīng)強度的分布方程f(x)（圖8），播放滑動條d 或者R，在右側(cè)繪圖區(qū)即會動態(tài)顯示磁感應(yīng)強度曲線隨螺線管長度或半徑變化的情形.將d、R 分別固定為實驗的實際參數(shù)90.5、21 mm，令K=1/2，即等式兩邊同時除以μ0nI，即有限長螺線管與無限長螺線管在軸線上的磁感應(yīng)強度之比.捕捉曲線與Y軸的交點A，可以看到其坐標為（0,0.97），表明在該螺線管中軸線上中點的B 值是無限長通電螺線管的B值的0.97 倍；捕捉螺線管端點M，坐標為（-90.5,0.5），表明螺線管端口的B 值等于無限長通電螺線管的B值的一半.

圖8 用GGB 仿真的螺線管中軸線上磁感應(yīng)強度分布圖

2.3 實驗原理

實驗采用霍爾效應(yīng)法對通電螺線管的磁感應(yīng)強度進行測量，霍爾效應(yīng)其實質(zhì)是運動的帶電粒子在磁場中受洛侖茲力的作用而引起的偏轉(zhuǎn).一般用摻雜的N 型半導體作為霍爾元件，載流子為電子，被約束在固體材料中，這種偏轉(zhuǎn)將導致在垂直于電流和磁場的方向上產(chǎn)生正負電荷在不同側(cè)的聚積，從而形成附加的橫向電場.當載流子受到的洛倫茲力fL=-fE時（fE為附加橫向電場力），載流子積累便達到動態(tài)平衡.這時在A、B 兩端面之間建立的電場稱為霍爾電場EH，相應(yīng)的電勢差稱為霍爾電勢VH.

通過推導可知霍爾電勢計算公式：VH=KHISB，KH為霍爾元件的靈敏度，它是反映材料霍爾效應(yīng)強弱的參數(shù)，由制造商提供數(shù)值，IS是霍爾元件的工作電流.本實驗就是通過測量螺線管軸線上各處的霍爾電勢VH，計算出對應(yīng)點的磁感應(yīng)強度B，從而描繪出螺線管軸線上的磁感應(yīng)強度分布曲線.

2.4 實驗方法與實驗數(shù)據(jù)

實驗儀器為ZC1510 型螺線管磁場測定儀，將霍爾效應(yīng)測試儀與霍爾效應(yīng)實驗架連接，將螺線管線圈的勵磁電流IM的直流恒流源設(shè)置為500 mA，螺線管就產(chǎn)生一個恒定的磁場；供給霍爾元件的工作電流IS設(shè)置為5.00 mA，測量從螺線管中心位置到螺線管外25 mm 之間的不同位置的VH值，以螺線管中心為x 軸0 點，間隔5 mm 測量一次.每個點測量時分別通以正、反向的勵磁電流和霍爾元件工作電流，共測量4 次霍爾電勢VH，然后取平均值，這樣可以消除一部分系統(tǒng)誤差[8].表2 是一組學生實驗數(shù)據(jù)，VH為平均值.

表2 實驗測量的直螺線管中軸線上的霍爾電勢值、磁感應(yīng)強度值（IM=500 mA IS=5 mA KH=182 mV/mAT）

2.5 實驗數(shù)據(jù)處理

在GGB 軟件表格區(qū)中，將坐標x 和對應(yīng)的B 輸進表格，對x 和B 進行“雙變量回歸分析”，在表格區(qū)生成散點圖，圖9 中圓點表示實驗測量數(shù)據(jù)，勾選“線圖”將散點連成一條平滑的擬合曲線.從圖中看到，實驗測量數(shù)據(jù)點都落在擬合曲線附近，擬合結(jié)果良好，即可得到螺線管中軸線上磁感應(yīng)強度分布圖，與繪圖區(qū)生成的相同螺線管參數(shù)的理論分布曲線進行粗略比較，圖像相似，由于沒有進行疊加比較，無法觀察到具體的偏差.點擊輸出按鈕，選擇“將圖像復制到繪圖區(qū)”，在圖10 的繪圖區(qū)，可以看到實驗曲線與理論曲線在x、y 軸上1∶1 疊合，可以通過滾動鼠標縮放，對細節(jié)進行仔細觀察和精確比較.

圖9 用GGB 處理實驗數(shù)據(jù)得出的磁感應(yīng)強度分布圖

圖10 磁感應(yīng)強度理論分布圖與測量分布圖的疊加比較

對兩條曲線上的一些特殊點取樣，計算實驗誤差[9].用描點工具分別捕捉理論曲線上的三個特殊點，見圖10，中點（x=0）為A（0,6.12），螺線管的兩個端點（x=±L）為M（-90.5,3.12），N（90.5,3.12）；捕捉實驗擬合曲線的中點Aa（0,5.88），實驗擬合曲線螺線管的兩個端點為Mm（-90.5,3.31），Nn（90.5,3.23），可得中點處的百分比誤差為-3.92%，螺成管兩端點處的誤差為6.08%、5.52%.在中心的±85 mm 區(qū)間內(nèi)兩條曲線吻合度良好，曲線呈近乎水平狀態(tài)，誤差在4.0%之內(nèi)，該區(qū)間可視為勻強磁場，在螺線管兩端口附近存在邊緣效應(yīng)，磁感應(yīng)強度的衰減較大，誤差也較大.本次實驗精度在螺線管80%以上的區(qū)間內(nèi)誤差小于4%，符合實驗要求.

3 結(jié)語

將GeoGebra 軟件應(yīng)用于電磁學實驗教學，在實驗前對試驗?zāi)繕诉M行仿真，對學生理解電磁學物理現(xiàn)象和規(guī)律起到較好的輔助作用.對實驗數(shù)據(jù)進行處理時，能方便地將實驗結(jié)果與理論數(shù)值進行可視化的比較，極大減小實驗數(shù)據(jù)的處理難度和人工誤差，獲得更準確的結(jié)果，節(jié)約了大量的計算時間.應(yīng)用在電磁學實驗教學中，不僅能提高教學質(zhì)量，而且有利于提高學生的自主創(chuàng)新能力，激發(fā)學生的探索精神，在利用現(xiàn)代信息技術(shù)推動高校物理實驗教學改革方面邁出積極的一步.