關(guān)于交換環(huán)上保持伴隨矩陣的函數(shù)

戴嬌鳳，譚宜家

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108)

保持問題是矩陣代數(shù)中的重要研究內(nèi)容之一，它在系統(tǒng)控制、微分方程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。最早的保持問題出現(xiàn)在1897年，G.Frobnius研究了域上矩陣空間保持行列式的線性算子，獲得了n×n復(fù)矩陣空間上保持行列式的線性映射f的形式[1]。自那以后，多位學(xué)者對(duì)保持問題的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究，取得了豐富的研究成果[2-10]。2011年，H.Yao等引入了保持某種矩陣性質(zhì)的函數(shù)[11]，開辟了研究保持問題的一個(gè)新的方向。2017年，樊玉環(huán)和馬艷芬刻畫了域上四階上三角矩陣空間保持伴隨矩陣的函數(shù)形式[12],并指出任意階上三角矩陣空間保持伴隨矩陣的函數(shù)有待進(jìn)一步探討。本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討交換環(huán)上全矩陣空間和上三角矩陣空間保持伴隨矩陣的函數(shù)，所得結(jié)果拓廣了文獻(xiàn)[12]的結(jié)論。由于一般交換環(huán)的非零元不一定可逆，本文的證明方法與文獻(xiàn)[12]有所不同。

1 基本概念與符號(hào)

本文中，如無特別說明，R表示一個(gè)含有單位元1的交換環(huán)。

設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，Mn(R)和Tn(R)分別表示R上n階矩陣空間和n階上三角矩陣空間。對(duì)于任意A=(aij)∈Mn(R)， 定義f(A)=(f(aij))。

定義1設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，如果?a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)， 則稱f是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)。

定義2[13]設(shè)A=(aij)∈Mn(R)， 定義A的行列式如下

detA=∑σ∈Sn(-1)π(σ)a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)

這里Sn是集合{1,2,…，n}的對(duì)稱群，π(σ)是置換σ的逆序數(shù)。

設(shè)A=(aij)∈Mn(R)， 將A中元素aij所在的行和列劃掉，剩下的元素 (排列位置不變) 構(gòu)成的n-1階矩陣的行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij。 再設(shè)Aij=(-1)i+jMij， 稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式。

定義3[13]設(shè)A=(aij)∈Mn(R)， 記

稱A*為矩陣A的伴隨矩陣。

定義4設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，如果?A∈Mn(R)(或?A∈Tn(R))，均有f(A*)=(f(A))*， 則稱f是R上n階矩陣空間(或n階上三角矩陣空間)保持伴隨矩陣的函數(shù)，這里A*表示A的伴隨矩陣。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)f∶R→R是一個(gè)映射，n(n≥3)是一個(gè)正整數(shù)，則下列條件等價(jià)：

(1)f是R上n階矩陣空間Mn(R)的保持伴隨矩陣的函數(shù)；

(2)f是R上n階上三角矩陣空間Tn(R)的保持伴隨矩陣的函數(shù)；

(3)f=f(1)δ， 其中fn-1(1)=f(1)且δ是R的非零自同態(tài)。

為了證明定理1，先引入一個(gè)引理。

引理1設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，δ是R的一個(gè)自同態(tài)，那么對(duì)于任意A∈Mn(R)， 均有δ(detA)=det(δ(A))。

證明因?yàn)棣氖荝的一個(gè)自同態(tài)，所以，對(duì)于任意a∈R， 均有δ(-a)=-δ(a)。

設(shè)A=(aij)∈Mn(R)， 則

=∑σ∈Sn(-1)π(σ)δ(a1σ(1))δ(a2σ(2))…δ(anσ(n))(根據(jù)δ的定義及δ(-a)=-δ(a))

=det(δ(A))。

證畢。

定理1的證明(1)?(2)顯然。

(2)?(3)：首先證明f(0)=0及fn-1(1)=f(1)。

設(shè)A=0?En-1∈Tn(R)， 由伴隨矩陣的定義，計(jì)算可得

另一方面，由f的定義知

經(jīng)計(jì)算，矩陣(f(A))*的(1，1)處元素是(f(1)+(n-2)f(0))(f(1)-f(0))n-2, (2，n)處元素是0。因?yàn)閒保持伴隨矩陣，所以f(A*)=(f(A))*。比較這2個(gè)矩陣的(2，n)處元素,得

f(0)=0

(1)

再比較這2個(gè)矩陣的(1，1)處元素，并利用(1)式，得

fn-1(1)=f(1)

(2)

進(jìn)一步，對(duì)于任意的x,y,z∈R，設(shè)

另一方面，利用(1)式，有

于是利用伴隨矩陣的定義和(2)式，得

f(-x)=-fn-2(1)f(x)

(3)

再比較這2個(gè)矩陣的(1，3)處元素，得

f(xz-y)=f(1)n-3(f(x)f(z)-f(1)f(y))

(4)

在(4)式中令y=0,并利用(1)式，得

f(1)n-3f(xz)=f(1)n-3f(x)f(1)n-3f(z)

(5)

在(4)式中令y=0,z=1，得

f(x)=f(1)n-2f(x)

(6)

由(3)式和(6)式，得

f(-x)=-f(x)

(7)

在(4)式中令z=-1,得

f(-x-y)=f(1)n-3(f(x)f(-1)-f(1)f(y))

(8)

利用(2)式和(7)式，整理(8)式，得

fn-3(1)f(x+y)=fn-3(1)f(x)+fn-3(1)f(y)

(9)

如果f(1)≠0， 令δ=f(1)n-3f， 則由(6)式知f(x)=f(1)(f(1)n-3f(x))=f(1)δ(x),即f=f(1)δ， 因此δ(1)≠0。進(jìn)一步，由(5)式和(9)式，得

δ(xz)=δ(x)δ(z),δ(x+y)=δ(x)+δ(y)

所以，δ是R環(huán)的一個(gè)非零自同態(tài)。

如果f(1)=0， 則對(duì)于任意x∈R， 均有f(x)=f(1)n-2f(x)=0， 此時(shí)任取R的一個(gè)非零自同態(tài)δ， 均有f=f(1)δ。

(3)?(1)：對(duì)于任意i,j∈{1,2,…,n}，用A(i,j)表示矩陣A中去掉第i行和第j列后剩下的元素構(gòu)成的n-1階矩陣,則伴隨矩陣A*中(i,j)處的元素為(-1)i+jdet(A(j,i))，所以，f(A*)中(i,j)處的元素為

f((-1)i+jdet(A(j,i)))=f(1)δ((-1)i+jdet(A(j,i)))

=f(1)(-1)i+jδ(det(A(j,i)))=f(1)(-1)i+jdet(δ(A(j,i)))(根據(jù)引理1)。

另一方面，因?yàn)閒(A)=(f(aij))=(f(1)δ(aij))， 所以矩陣f(A)*中(i,j)處的元素為

(-1)i+jdet(f(1)δ(A(j,i)))=(-1)i+jf(1)n-1det(δ(A(j,i)))

=f(1)(-1)i+jdet(δ(A(j,i)))(根據(jù)(2)式)。

即對(duì)于任意i,j∈{1,2,…,n}， 矩陣f(A*)和矩陣(f(A))*中的(i,j)處的元素相同， 于是f(A*)=(f(A))*。

證畢。

由于任何域是交換環(huán)，并且域上任何非零自同態(tài)均為單自同態(tài)，所以在定理1中取n=4時(shí)，可由定理1的(2)和(3)得

推論設(shè)F是任意域，f是F到自身的一個(gè)映射，T4(F)表示F上所有四階上三角矩陣全體，則f是T4(F)保持伴隨矩陣的函數(shù)的充要條件是f=f(1)δ， 其中f3(1)=f(1)，δ是域F的單自同態(tài)。