張苾菁

當學(xué)生遇到一個新的問題時，將已有的經(jīng)驗與未知的問題間建立一定關(guān)聯(lián)，從而打開新知與經(jīng)驗之間的通道，建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，這個過程就是遷移。圍繞小學(xué)運算領(lǐng)域的內(nèi)容，我們不難發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的計算都可以用遷移來解決。如何讓學(xué)生基于一定的情境，通過自主探索，充分運用遷移的認知規(guī)律在理解算理、創(chuàng)新算法？筆者以分數(shù)除法為例來談幾點思考。

一、善用情境——經(jīng)驗助遷移

分數(shù)除法若單獨出現(xiàn)，學(xué)生或許會感到無從下手，但是，如果能結(jié)合具體的情境，伴隨著生活經(jīng)驗的支撐，便能很好地理解。比如，一般來說，分數(shù)除法教學(xué)的第一個例子都是分數(shù)除以整數(shù)。蘇教版教材是通過將升飲料平均分給2個小朋友，每人喝了升的來呈現(xiàn)。類似這樣的算式，分數(shù)除以整數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘幾分之一，這個轉(zhuǎn)化主要依賴平均分在其中所發(fā)揮的作用。情境的運用能起到很好的直觀支持，學(xué)生通過分一分、畫一畫，可以將其中的道理與之前解決問題的經(jīng)驗很好地聯(lián)系起來，遷移自然而然發(fā)生。

然而，遇到類似4÷、÷整數(shù)除以分數(shù)或者分數(shù)除以分數(shù)的情況，等分除的意義很難直接遷移，用來解釋其算理，這時包含除的意義就便于學(xué)生理解。蘇教版教材選用的情境是4個橙子從每人分2個、每人分1個、每人分個，逐步從整數(shù)除以分數(shù)過渡遷移，因為1個橙子可以分給2個人，那么4個橙子就可以分給8個人，所以4÷=4×2，也比較容易解釋算理，便于歸納計算方法。

然而，對于同一個算式而言，它事實上可以代表不同的模型，以÷為例來看，至少可以有以下幾種情況。

包含模型：里有幾個？

等分模型：求一個數(shù)，使它的正好是。

面積模型：一個長方形的面積是，長是，寬是多少？

當然，我們也可以把同樣的算式置于同一個情境素材之中，以更加貼近兒童的生活實際，讓學(xué)生在相似的情境中體悟其中的不同。

1.桌上有兩包巧克力，德芙巧克力重千克，金帝巧克力重千克，德芙巧克力的重量是金帝巧克力重量的幾倍？

2.桌上有德芙巧克力千克，小明想把它每千克裝一袋，小明一共可以裝幾袋？

3.桌上有德芙巧克力千克，正好是小明家里所有巧克力的，小明家里一共有多少巧克力？

……

教師需要情境設(shè)計能力，只有教師的視野寬了，學(xué)生對分數(shù)除法意義的理解才會透徹和全面，應(yīng)用起來才會得心應(yīng)手。同一知識只有在不同的情境下得到充分運用，學(xué)生才能領(lǐng)會其最核心的要義，知識的主動遷移才能得以實現(xiàn)。

二、關(guān)注聯(lián)通——明理促遷移

要讓學(xué)生主動遷移，了解學(xué)生已有知識是非常重要的。某一個新知識究竟和哪些知識有關(guān)？孰近孰遠？誰是最臨近的知識點，誰又是最核心的知識點？它和曾經(jīng)學(xué)過的知識有什么相同，又有什么不同？這是需要在比較中進行溝通，并明晰其本質(zhì)的。

分數(shù)除法的算理究竟是什么？學(xué)生理解算理依賴的基礎(chǔ)又是什么？能不能把算法學(xué)習(xí)建立在算理理解的基礎(chǔ)上，和以往的整數(shù)的計算本質(zhì)聯(lián)通起來？事實上，確實是可以的。如果我們把計數(shù)單位（分數(shù)單位）和運算的意義作為核心去思考，也可以發(fā)現(xiàn)，計算教學(xué)的中樞神經(jīng)是計數(shù)單位，分數(shù)運算就是分數(shù)單位相同前提下分子的運算，即整數(shù)的運算。這樣就把整數(shù)運算與分數(shù)運算聯(lián)通起來，為解釋分數(shù)除法的算理提供了依據(jù)。教學(xué)按如下環(huán)節(jié)進行。

【環(huán)節(jié)1】

師：÷，你會怎么算？

生1：我準備把分子除以分子，分母除以分母。

師：你是怎么想到用這個辦法的？

生1：因為除法是乘法的逆運算，既然分數(shù)乘法的法則是分子乘以分子、分母乘以分母，那么由此推理分數(shù)除法的法則是分母除以分母，分子除以分子，結(jié)果是。

生2：我還可以用轉(zhuǎn)化的辦法。

師：具體說一說。

生2：可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)0.75，可以轉(zhuǎn)化為0.5，0.75÷0.5=1.5。

生3：我也是轉(zhuǎn)化，但是和上面的同學(xué)不一樣?？梢愿鶕?jù)商不變規(guī)律把他們都同時乘2，這樣原來的算式就是除以1了，商還是。

師：非常好，這兩位同學(xué)都想到用轉(zhuǎn)化的方法把暫時不能解決的新問題變成可以用以前的知識解決的問題。我們可以把剛才同學(xué)們的一些想法用遞等式一步一步寫下來。

利用已有經(jīng)驗，將簡單的除數(shù)是分數(shù)的除法進行轉(zhuǎn)化，從而得出計算結(jié)果，對于六年級的學(xué)生而言，難度不是很大。但要在一般意義上進行推廣，形成對計算方法更清晰的認識，并對計算的本質(zhì)有更深的感悟，還需要進一步聯(lián)系算理進行深入比較和聯(lián)結(jié)。

【環(huán)節(jié)2】

師：我發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)用了這樣的辦法，你們覺得有道理嗎？

÷ =÷=3÷2=。

生1：他先把兩個分數(shù)通分了。

生2：通分以后就只剩分子相除了，這樣簡單。

師：但是這樣做，有道理嗎？

生3：這道題就是求里有幾個，也就是3個，也就是2個，它們的分數(shù)單位是一樣的，都是，就相當于求3里面有幾個2。

師：你的意思是說，分數(shù)單位相同，只要分子相除就可以了，對嗎？

生3：是的。

師：那如果反過來，÷，該怎么理解？

生4：÷，就是用÷，就是求“2個”里有幾個“3個”。

師：這樣說有些拗口，簡單地說，因為分數(shù)單位相同，我們就可以理解成“求2個是3個的幾分之幾”，也就是求2是3的幾分之幾。

師：和同桌再用這樣的方法計算兩道分數(shù)除以分數(shù)的題目，看看用這樣方法是否行得通（出示和 ）。

生1：我們算的是 。

生2：我們算的是 。

師：老師把你們的計算過程稍作補充和改動，仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說出每一步的變換前后的聯(lián)系和依據(jù)嗎？

生：通分以后，分數(shù)單位相同，我們直接將分子相除就可以了。

師：這樣原來分數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)的除法，根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系我們對算式稍作整理就會發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)原來的除法最后變成了乘法，和我們前兩節(jié)課學(xué)的分數(shù)除以整數(shù)的方法是一樣的！

師：比較原來的除法算式和最后的乘法式子，有什么相同和不同？

生：第一個數(shù)沒有變，第二個數(shù)變成了原來的倒數(shù)，而且中間的符號是乘號了。

師：所以，分數(shù)除以分數(shù)，也可以用分數(shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以分數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化成用被除數(shù)乘上除數(shù)的倒數(shù)，這里的道理你明白了嗎？是哪個重要的知識在幫助我們實現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化呢？

……

用通分的辦法來幫助學(xué)生勾連分數(shù)加減法和乘除法的關(guān)系，不失為一種有益嘗試。在學(xué)生以往大量的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中，對“計算的本質(zhì)就是相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減”有比較深刻的體會，而在分數(shù)的乘除法教學(xué)中，這樣一種內(nèi)在的聯(lián)系似乎被忽略或者說是被遮蔽了。學(xué)生探索分數(shù)除以分數(shù)的過程往往是另起爐灶，或轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或用“商不變性質(zhì)”展開，突出了形式上的“顛倒相乘”而忽視了用計數(shù)單位（分數(shù)單位）去解釋這件事情，不利于對運算整體算理與算法的溝通和聯(lián)系。在分數(shù)單位相同的前提下，分數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為分子的運算，好處在于將分數(shù)的運算與整數(shù)的運算直接建立起聯(lián)系，不需要增加新的知識和技能，就可以直接用以往的知識進行遷移，并推廣到更大范圍內(nèi)的除法運算。事實上，任意一個數(shù)除以一個不為零的數(shù)，都可以轉(zhuǎn)化為將這個數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。這樣的算理形成過程更有基礎(chǔ)，也更有利于學(xué)生溫故知新。同樣的算理對于分數(shù)乘法也適用，法則中，分母乘分母的過程就是在理解分數(shù)意義的前提下，通過兩次平均分，統(tǒng)一計數(shù)單位的過程。

三、整體關(guān)照——結(jié)構(gòu)助遷移

類似這樣的數(shù)學(xué)課堂，我們特別需要教師有整體建構(gòu)的眼光，幫助學(xué)生建立起知識前后的聯(lián)系，比如，在學(xué)習(xí)分數(shù)除法的時候，學(xué)生會想到、用到哪些知識呢？在這些知識中，哪些是最核心的東西呢？

任何運算最終都是在研究“在什么條件下，按照什么關(guān)系，用什么計算（為什么能夠和需要這樣算），甚至發(fā)明什么計算”。在了解算理的內(nèi)核以后，我們在教學(xué)中就不會被外在的變化所迷惑，也不用被眾多的法則所束縛，而是能夠抓住主線，凸顯本質(zhì)。教師需要做的便是當學(xué)生的經(jīng)驗知識積累到一定程度時，提供典型的例子引導(dǎo)學(xué)生進行綜合、整理，使之條理化。從這個角度看，學(xué)習(xí)是一個連續(xù)的過程，前面的知識支持新的知識，新知識又加強和深化原先的知識。

抓住核心內(nèi)容，在聯(lián)系中學(xué)習(xí)，在遷移中創(chuàng)生，進而完善認知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)從知識到智慧的生長，這是教育者需要不斷在實踐中探索的重大課題。

（作者單位：江蘇省蘇州市善耕教育集團）

責(zé)任編輯：李莎

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