【摘要】對(duì)人教版八年級(jí)上冊(cè)“14.1.4整式的乘法”（第4課時(shí)）進(jìn)行了詳細(xì)分析，指出了教材編排中影響學(xué)生學(xué)習(xí)的諸多原因，并提出了三條旨在提高課時(shí)認(rèn)知效果、發(fā)揮教材使用價(jià)值的建議，供教材再版時(shí)參考.

【關(guān)鍵詞】教材分析;修訂建議;學(xué)材再建

在人教版八年級(jí)上冊(cè)“第十四章整式的乘法與因式分解”中，有這樣一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，它既不是整式的乘法，也不是因式分解，而是整式的除法.在談及這一節(jié)課時(shí)，不少教師認(rèn)為“整式的除法”出現(xiàn)在“整式的乘法”中，是不太合理的.此外，還有老師就教學(xué)內(nèi)容的延續(xù)性和時(shí)效性上也提出了自己的看法.細(xì)想想，有些還是蠻有道理的.現(xiàn)從教材分析出發(fā)，將老師們的一些想法整理出來(lái)，供教材再版時(shí)參考.

1教材分析

1.1教材簡(jiǎn)述

教材開篇明義，介紹本課時(shí)將在學(xué)習(xí)了整式的加法、減法、乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，利用整式的乘法來(lái)討論整式的除法.接下來(lái)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪除法的性質(zhì)、單項(xiàng)式相除的法則和商式為整式的多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則三個(gè)內(nèi)容.

內(nèi)容1同底數(shù)冪除法的性質(zhì)

1.2教材分析

本課時(shí)的教材編排體系十分清晰：三項(xiàng)探索內(nèi)容，兩組例題和一組練習(xí).整個(gè)教學(xué)流程始終緊扣“除法是乘法的逆運(yùn)算”展開，不管是開頭的同底數(shù)冪的除法法則，還是后來(lái)的單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，都是從一個(gè)除法算式的結(jié)果探索入手，在逆用相關(guān)乘法算式的基礎(chǔ)上得到結(jié)果，并分析結(jié)果的特征，從而獲得運(yùn)算的法則.僅就本課時(shí)教材的內(nèi)在聯(lián)系而言，這樣的編排是可行的，一方面，學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知是有基礎(chǔ)的，他們?cè)谇懊嬉呀?jīng)深入學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等整式乘法的知識(shí)，應(yīng)該具備了將已有知識(shí)應(yīng)用到新知探索過(guò)程中的能力;另一方面，本節(jié)課的新知探索是有著內(nèi)在延續(xù)性的，同底數(shù)冪的除法法則的獲得不僅給后面的探索提供了知識(shí)基礎(chǔ)，還為兩個(gè)法則的探索積累了寶貴的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如此緊湊的內(nèi)容銜接和有序的流程安排，讓這一與單元主題“整式乘法和因式分解”不搭的數(shù)學(xué)知識(shí)有了立足之處，按理來(lái)說(shuō)，按照教材給定的流程學(xué)習(xí)這么多內(nèi)容，學(xué)生是不會(huì)有障礙且會(huì)學(xué)有所獲的.

2問(wèn)題分析

不少老師按照教材給定的內(nèi)容和流程實(shí)施了本節(jié)課的教學(xué)，但取得的效果卻不盡如人意.他們?cè)谡n后交流中，從教材到學(xué)情反映了不少問(wèn)題.其中，較為典型的有以下幾個(gè).

2.1課時(shí)內(nèi)容的單元入編不合理

如文頭所言，本章的章名是“整式的乘法與因式分解”.整式的乘法和因式分解是互逆的，把這兩個(gè)內(nèi)容放在一章中，還是較為合理的.但是如果將一課時(shí)“整式的除法”加到這一單元來(lái)，給人的感覺是很突兀的：是乘法嗎？不是，是除法.而本節(jié)的前后都是乘法：本節(jié)是“14.1整式的乘法”，前面幾課時(shí)探索的都是乘法，后一節(jié)“14.2乘法公式”探索的是平方差公式和完成平方公式，也是乘法.在這樣一個(gè)“乘法”為王的版塊中，將這樣一課時(shí)的除法內(nèi)容嵌入其中，極容易形成知識(shí)的“孤島”，被孤立與淡忘也就在所難免.要知道，本課時(shí)探索的單項(xiàng)式的除法、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是整式除法的兩個(gè)類別，而接下來(lái)探索多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式則要在“第十五章分式”中，這中間要隔著“14.2乘法公式”和“14.3因式分解”整整8課時(shí)的新課.完成這些教學(xué)任務(wù)，至少需要兩周的教學(xué)時(shí)間.如此長(zhǎng)的時(shí)間間隔，加之學(xué)習(xí)內(nèi)容的“地位”又不高，想要學(xué)生不忘記是很難的.因此，將這一課時(shí)內(nèi)容編入到“第十四章整式的乘法與因式分解”中，是不太合理的.

2.2活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的延續(xù)應(yīng)用不到位

這是為什么呢？在前面幾課中，探索同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的性質(zhì)，都是應(yīng)用乘方的意義來(lái)推導(dǎo)的.連續(xù)多課時(shí)的新知探索，同一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的反復(fù)應(yīng)用，讓學(xué)生形成了探索整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).當(dāng)他們看到“計(jì)算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”時(shí)，自然而然地會(huì)想到用乘方的意義來(lái)解決問(wèn)題了.然而，教材給出的探索過(guò)程卻沒有選擇這樣一條“熟悉的道路”，而是引導(dǎo)學(xué)生從“除法是乘法的逆運(yùn)算”的角度展開探索，通過(guò)算式am-n·an=am得出am÷an=am-n.從算理上分析，這是沒有問(wèn)題的.但從實(shí)際教學(xué)的成效看，學(xué)生是不認(rèn)同這一推導(dǎo)過(guò)程的，好些學(xué)生對(duì)am-n的出現(xiàn)是不太理解的，因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)生學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)要么是單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或字母，要么是加法，這兒突然冒出個(gè)指數(shù)是m-n冪來(lái)，是不太容易理解的.教材沒有將本單元前面幾課時(shí)積累下的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)延續(xù)應(yīng)用，而是另起爐灶用了新的思路，這讓教師和學(xué)生都是十分費(fèi)解的.

此外，學(xué)生對(duì)數(shù)中的乘法和除法互逆的理解是可以的，但將這一體驗(yàn)遷移到整式中，確實(shí)是較為困難的，因而，讓學(xué)生從除法是乘法的逆運(yùn)算來(lái)生長(zhǎng)單項(xiàng)式除法、結(jié)果為整式的多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，難度同樣不小.從這個(gè)層面上講，教材通過(guò)運(yùn)用“除法是乘法的逆運(yùn)算”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納新的運(yùn)算的算理，給學(xué)生的認(rèn)知造成了不小的障礙.

2.3同類例題的分散探索耗時(shí)多

本課時(shí)的例8是兩道計(jì)算題：（1）28x4y2÷7x3y;（2）-5a5b3c÷15a4b，這兩道題是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.而在同一本教材的131頁(yè)“15.1.2分式的基本性質(zhì)”中，例3的第1題是約分-25a2bc3[]15ab2c，和前面兩題一樣，這道題也是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，與前兩題最大的差別就是這里得到的結(jié)果是個(gè)分式，而前兩題得到的結(jié)果是整式.商式的不同，運(yùn)算方法是不是也不同呢？不是的.三道題的運(yùn)算方法是完全一致的：把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式（分子）或除式（分母）里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為被除式（分子）或除式（分母）的一個(gè)因式.在學(xué)習(xí)了因式分解后，這種算法實(shí)際上就是“利用分式的基本性質(zhì)同時(shí)約去分子（被除式）、分母（除式）的公因式”.把一組完全可以并到一起的例題，分到整式和分式這兩個(gè)不同的區(qū)域、在較為接近的時(shí)段內(nèi)探索，是不太可能將例題的集中示范價(jià)值發(fā)揮出來(lái)的，而給出兩種本質(zhì)相同但表述不同的運(yùn)算法則，一定會(huì)給學(xué)生的算理理解和運(yùn)算執(zhí)行產(chǎn)生干擾，對(duì)其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展是不利的.最后，我們有必要來(lái)算個(gè)時(shí)間賬，原本可以用一道例題解決的問(wèn)題，現(xiàn)在用了三道，還不談例題配套的練習(xí)，這樣的教學(xué)時(shí)耗費(fèi)花在單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式上，或許有點(diǎn)多了吧.

3修訂建議

3.1課時(shí)后移，歸入分式版塊

在談及如何整合教學(xué)內(nèi)容前，我們有必要先來(lái)梳理一下《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（下稱《課標(biāo)（2011版）》）對(duì)整式運(yùn)算提出的要求：能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算;能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算（其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）.顯然，《課標(biāo)（2011版）》并沒有對(duì)“整式的除法”提出要求，這就說(shuō)明教材單獨(dú)編排“整式的除法”這樣一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容是完全沒有必要的.但在《課標(biāo)（2011版）》中，對(duì)分式提出的“能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算”的要求是肯定涉及到了兩個(gè)整式相除的問(wèn)題，事實(shí)上，兩個(gè)整式A、B相除，即A÷B，把除號(hào)改寫成分?jǐn)?shù)線，就是分式A[]B.這一觀點(diǎn)并非筆者提出的，而是教材在抽象分式定義時(shí)給出的：在分析實(shí)際情境抽象出的一組式子時(shí)，教材說(shuō)“這些式子都是A[]B（即A÷B）的形式”，進(jìn)而把“A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母的形如A[]B式子叫做分式”.因此，研究?jī)蓚€(gè)整式A，B的除法，實(shí)際上就是研究分式A[]B的約分.至于約分的結(jié)果是什么，在教材131頁(yè)例3約分前明確陳述：分式的約分，一定要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或整式.所以，我們完全沒有必要把商式為整式的單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式“獨(dú)立”出去，放在“整式的乘法”中單獨(dú)研究，而讓分式約分類型缺失，不成體系.筆者建議教材再版時(shí)，將本課時(shí)內(nèi)容并入“分式”版塊.

3.2合理拆分，重組教學(xué)內(nèi)容

從實(shí)際教學(xué)效果的角度考量，筆者建議將這一課時(shí)的內(nèi)容并到“15.1.2分式的基本性質(zhì)”中，并根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的需求和數(shù)學(xué)發(fā)展的需要進(jìn)行課時(shí)（小節(jié)）內(nèi)容的重組：將“分式的基本性質(zhì)”單列成節(jié)“15.1.2分式的基本性質(zhì)”，主要探索分式的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用（教材例2）;將“同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)運(yùn)算”并入“15.2.3整數(shù)指數(shù)冪”（分式的乘方除外）并整體前移，放在“15.1.2分式的基本性質(zhì)”，形成“15.1.3整數(shù)指數(shù)冪”，探索同底數(shù)冪的除法，整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的推廣，零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和小于1的正數(shù)的科學(xué)記數(shù)法等知識(shí)，為后續(xù)分式運(yùn)算夯實(shí)基礎(chǔ);將約分和通分單獨(dú)編排成“15.1.4約分和通分”，將單項(xiàng)式相除、商為整式的多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式等改變?yōu)榉质叫问讲⑷氡竟?jié).這樣的重組編排，每一節(jié)課的教學(xué)核心都可以凸顯出來(lái)，對(duì)達(dá)成《課標(biāo)（2011版）》中提出關(guān)于與之相關(guān)的教學(xué)目標(biāo)“了解最簡(jiǎn)分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分”能起到很好的促進(jìn)作用.

教學(xué)課時(shí)的變動(dòng)和教學(xué)內(nèi)容的整合，必然會(huì)帶來(lái)配套練習(xí)的調(diào)整：將“14.1整式的乘法”第四課時(shí)“練習(xí)”合理分解“15.1.2分式的基本性質(zhì)”、“15.1.3整數(shù)指數(shù)冪”和“15.1.4約分和通分”中去，根據(jù)原有內(nèi)容的位置確定練習(xí)的新的位置;將“習(xí)題14.1”中的與本課時(shí)配套題組并入“習(xí)題15.1”中去.在練習(xí)合并過(guò)程中，在將所有除法全部用分式呈現(xiàn)的同時(shí)，我們還要做好“削枝強(qiáng)干”的工作，要重新審視課時(shí)內(nèi)容，將一些不能突出課時(shí)核心的練習(xí)刪減剔除.總之，配套練習(xí)的設(shè)計(jì)應(yīng)服務(wù)于課時(shí)教學(xué)，服務(wù)于小節(jié)教學(xué)，服務(wù)于單元教學(xué)，無(wú)利于這三者的，不用也罷.

3.3延用經(jīng)驗(yàn)，統(tǒng)一運(yùn)算原理

對(duì)初中生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，能積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是不太容易的，能夠主動(dòng)提取已有經(jīng)驗(yàn)并用以解決新的問(wèn)題，那就更難了.所以，面對(duì)“計(jì)算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”，學(xué)生給出“回到乘方的定義推理”的思路，教師應(yīng)該感到欣慰：“14.1整式的乘法”前三課時(shí)的內(nèi)容沒白學(xué)，耗費(fèi)在性質(zhì)探索上的時(shí)間是值得的.既然學(xué)生能想到回到乘方定義去，能想到用老的套路解決新的問(wèn)題，那么，在教材是不是也可以遵循這樣一條“老路”形成知識(shí)生長(zhǎng)路徑，讓學(xué)生在自己的認(rèn)知通道上越走越歡呢？筆者建議再版教材時(shí)，將“計(jì)算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”用乘方的定義來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，具體過(guò)程上面已經(jīng)給了，這里就不再贅述了.除了“同底數(shù)冪的除法”外，筆者以為此外，不管是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，還是單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，它們都是整式的除法，自然應(yīng)該有同一的運(yùn)算原理和運(yùn)算方法.說(shuō)實(shí)話，用“除法是乘法的逆運(yùn)算”來(lái)發(fā)現(xiàn)和歸納除法法則，不要說(shuō)學(xué)生暈，就是老師有時(shí)也有點(diǎn)暈.但如果我們換個(gè)角度：將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用（約分和通分）遷移到分式中來(lái)，實(shí)際教學(xué)效果還是不錯(cuò)的.因此，在上面的內(nèi)容2、3后移后，將其運(yùn)算原理與其他類別的約分統(tǒng)一為分式的基本性質(zhì)，并規(guī)定共同的要求：約分，要約去分子和分母的所有公因式，使所得結(jié)果為最簡(jiǎn)分式或整式.

作為人教版教材的忠實(shí)擁躉，為了教材的完美，我一直努力地提“意見”，這些意見來(lái)自于教學(xué)中的不舒服，來(lái)自于師生對(duì)話中的不順暢，來(lái)自于教材閱讀中的不匹配……本文又是一次教學(xué)“不適”帶來(lái)的收獲，它是筆者和眾多一線八年級(jí)教師在教材使用中的感受和想法，觀點(diǎn)未必正確，建議也未必可行，但作為教材忠實(shí)的踐行者，我們有著使用最完美教材的美好愿景，也就期盼著教材再版時(shí)，各位專家能夠關(guān)注到我們的聲音.在當(dāng)下，教材沒有修訂再版前，一線教師還可以把教材“教學(xué)化”處置，整合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)流程，以本文中的建議為藍(lán)本實(shí)施“班本化實(shí)踐”，努力提升學(xué)生對(duì)整式除法和分式運(yùn)算的認(rèn)識(shí).如果大家真能做到這樣，也不枉我對(duì)教材編者的多次“冒犯”了，期待大家的批判.

作者簡(jiǎn)介：印冬建（1978—），江蘇如皋人，中學(xué)高級(jí)教師，南通市一梯隊(duì)名師培養(yǎng)對(duì)象，南通市“226”高層次人才，南通學(xué)科帶頭人.，江蘇省青年教師基本功比賽一等獎(jiǎng)獲得者，南通市優(yōu)秀教研組長(zhǎng)，如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)副校長(zhǎng)，南通市數(shù)學(xué)會(huì)理事，南通市教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)委員，南通市初中數(shù)學(xué)學(xué)科基地專家組成員.主要從事初中數(shù)學(xué)教材及教學(xué)案例研究.公開發(fā)表論文50多篇，有9篇文章被中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.主持多項(xiàng)省市級(jí)課題.