孟凡琨 文小琴 游林儒

(華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、調(diào)速范圍廣等特點(diǎn)，在變頻壓縮機(jī)(制冷行業(yè))中具有廣泛的應(yīng)用。變頻壓縮機(jī)的轉(zhuǎn)子可以分為3種形式：往復(fù)式、旋轉(zhuǎn)式(單轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子)、渦旋式。單轉(zhuǎn)子變頻壓縮機(jī)在能效、成本和性價(jià)比方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，因而具有較大的市場份額。由于偏心曲軸和滑塊將氣缸分為左右容積，變頻壓縮機(jī)通過轉(zhuǎn)子驅(qū)動(dòng)偏心曲軸周期性地實(shí)現(xiàn)冷媒吸入、壓縮和排出，近似周期的負(fù)載導(dǎo)致轉(zhuǎn)速存在波動(dòng)，且頻率越低，轉(zhuǎn)速波動(dòng)越為明顯。隨著轉(zhuǎn)速控制精度的提高，變頻壓縮機(jī)低頻范圍轉(zhuǎn)速波動(dòng)以及潛在的失步等問題突顯出來。為了減小變頻壓縮機(jī)低頻運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，國內(nèi)外學(xué)者展開了廣泛的研究并取得一定成果。當(dāng)前，工程中普遍采用正弦波力矩補(bǔ)償，該方法忽略周期性負(fù)載擾動(dòng)的諧波分量，因而負(fù)載擾動(dòng)未能得到有效補(bǔ)償，低頻時(shí)轉(zhuǎn)速波動(dòng)較為顯著。黃輝等[1]采用負(fù)載轉(zhuǎn)矩自動(dòng)補(bǔ)償器進(jìn)行電流補(bǔ)償，該方法忽略了高頻轉(zhuǎn)矩分量對(duì)轉(zhuǎn)速波動(dòng)的影響，同時(shí)，轉(zhuǎn)矩自動(dòng)補(bǔ)償器中的低通濾波器將產(chǎn)生相位滯后，導(dǎo)致轉(zhuǎn)速波動(dòng)抑制性能有限。張國柱[2]通過在線傅里葉分析提取轉(zhuǎn)速波動(dòng)的基波成分，推算抑制轉(zhuǎn)速波動(dòng)的電流補(bǔ)償量。然而，該方法忽略了轉(zhuǎn)速的諧波成分，此外，電流補(bǔ)償量的推算過程關(guān)系較為復(fù)雜，產(chǎn)生的相位滯后一定程度上降低轉(zhuǎn)速環(huán)帶寬。文獻(xiàn)[3]采用比例諧振控制器(PR)抑制負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，通過離線傅里葉分析得知諧振頻率為轉(zhuǎn)子機(jī)械角頻率的固定倍數(shù)，該方法的自適應(yīng)性較差，當(dāng)工況發(fā)生變化時(shí)，諧振頻率的偏差將導(dǎo)致速度波動(dòng)抑制效果變差。

重復(fù)控制通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)膬?nèi)模，可以有效地實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)的抑制或跟蹤[9]。由于其結(jié)構(gòu)簡單且易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，重復(fù)控制器在永磁同步電機(jī)控制中得到了廣泛的應(yīng)用[10]。文獻(xiàn)[11]采用低通濾波器提高重復(fù)控制器的魯棒性，但高頻段幅值波動(dòng)和相位滯后較為顯著，降低了擾動(dòng)抑制性能。文獻(xiàn)[12]采用相位超前環(huán)節(jié)對(duì)重復(fù)控制器引起的相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償，不同的頻段采用不同的相位補(bǔ)償函數(shù)，使得相位具有一定的穩(wěn)定裕度，但該方法較為繁瑣。文獻(xiàn)[13]采用基于拉格朗日(Lagrange)級(jí)數(shù)展開式對(duì)非整數(shù)延時(shí)進(jìn)行逼近。與普通的重復(fù)控制相比，理論上，當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，基于Lagrange級(jí)數(shù)展開式的重復(fù)控制器可以抑制任意頻率擾動(dòng)，但因靈敏度與計(jì)算復(fù)雜度的相互影響，需綜合考慮重復(fù)控制器的控制精度以及動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

為了解決上述問題，本研究采用自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器(APDOB)實(shí)現(xiàn)周期性負(fù)載擾動(dòng)觀測，并對(duì)電流進(jìn)行補(bǔ)償，以減弱周期性負(fù)載擾動(dòng)對(duì)變頻壓縮機(jī)轉(zhuǎn)速的影響。本研究構(gòu)建周期負(fù)載擾動(dòng)觀測器并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)；然后構(gòu)建自適應(yīng)陷波器估計(jì)周期擾動(dòng)基波頻率；最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的可行性與有效性。

1 變頻壓縮機(jī)模型

為了簡化變頻壓縮機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，假設(shè)：①忽略鐵心飽和；②不計(jì)渦流及磁滯損耗；③三相電流產(chǎn)生的磁通以及轉(zhuǎn)子磁通呈正弦分布。在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，其運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

其中,id和iq分別為坐標(biāo)系下定子電流分量，Ld和Lq分別為dq坐標(biāo)系下的定子電感分量，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，Td為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，J為壓縮機(jī)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為粘滯阻尼系數(shù)，ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械轉(zhuǎn)速,Bωm項(xiàng)通?？梢院雎圆挥?jì)，Np為極對(duì)數(shù)，Ψm為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈。

圖1 變頻壓縮機(jī)DOB結(jié)構(gòu)框圖

圖2示出了變頻壓縮機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形(一個(gè)機(jī)械周期)[1]?？梢钥闯?，負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形隨著工況的不同而變化，且負(fù)載轉(zhuǎn)矩幅值和相位存在著較為明顯的差異。因此，如何構(gòu)建自適應(yīng)擾動(dòng)觀測器，成為解決轉(zhuǎn)速波動(dòng)問題的關(guān)鍵。

系統(tǒng)控制目標(biāo)要求降低變頻壓縮機(jī)低頻范圍的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，使得轉(zhuǎn)速偏差盡可能地小。為此，做以下假設(shè)：

圖2 不同工況下負(fù)載轉(zhuǎn)矩曲線

(1)在相同的工況下，負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)具有近似的周期性和重復(fù)性。

(2)測量噪聲主要存在于高頻范圍內(nèi)，低通濾波器可以有效地抑制測量噪聲。

(3)在相同的工況下，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速具有相似的周期性和重復(fù)性。

假設(shè)負(fù)載擾動(dòng)d(t)滿足如下微分方程，即

(2)

(3)

式中，s為拉普拉斯算子，d(0,s)為擾動(dòng)信號(hào)d(t)的初始狀態(tài)，由各階狀態(tài)初始值決定。假設(shè)負(fù)載擾動(dòng)d(t)為周期信號(hào)，則其離散形式可表示為

d(k)=d(k-N)+f(k)

(4)

其中，

(5)

d0(k)和N分別為擾動(dòng)信號(hào)d(t)的初始狀態(tài)和周期延時(shí)，k為采樣序列。由z變換可得

(6)

1.1 普通的擾動(dòng)觀測器分析

圖3為普通擾動(dòng)觀測器結(jié)構(gòu)框圖。其中，r、y、d、n、、P、Pn、e、u和δ分別為控制系統(tǒng)輸入、輸出、等效擾動(dòng)、測量噪聲、擾動(dòng)觀測值、對(duì)象實(shí)際模型、對(duì)象標(biāo)稱模型、跟蹤誤差、補(bǔ)償后控制量以及模型誤差。C(z-1)為系統(tǒng)固有的控制器，如比例積分微分控制(PID)或H無窮控制(H∞)，用于實(shí)現(xiàn)伺服或魯棒特性；Q(z-1)為待設(shè)計(jì)的濾波器；m為Pn的相對(duì)階次。假設(shè)模型偏差由乘性偏差構(gòu)成，即

圖3 普通DOB結(jié)構(gòu)框圖

P(z-1)=(1+δ(z-1))Pn(z-1)

(7)

如圖3所示，為了簡便，省略離散域延遲因子z-1，可得控制系統(tǒng)的靈敏度函數(shù):

(8)

圖4為基于小增益定理的擾動(dòng)觀測器結(jié)構(gòu)框圖，當(dāng)滿足小增益定理時(shí)，控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

圖4 基于小增益定理的DOB結(jié)構(gòu)框圖

1.2 Q濾波器參數(shù)設(shè)計(jì)

假設(shè)擾動(dòng)為周期信號(hào)且滿足相應(yīng)的內(nèi)模，由內(nèi)模原理可知，如果靈敏度函數(shù)S(z-1)包含內(nèi)模1-z-N，則擾動(dòng)d至誤差e的傳遞函數(shù)Ged=S(z-1)P(z-1)將漸進(jìn)趨近于零。令

1-Q(z-1)z-m=1-z-N

(9)

當(dāng)Q(z-1)采用有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器時(shí)，即Q(z-1)=z-(N-m)。為增強(qiáng)濾波器的魯棒性，本研究采用無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器[10]，即

Q(z-1)=BQ/AQ，令：AQ=1-αNz-N，則BQ=(1-αN)z-N+m,即

(10)

圖5 Q濾波器關(guān)于q(ejωTs)的增益

1.2.1 擾動(dòng)信號(hào)周期N的設(shè)計(jì)

(11)

證明過程如下[15]：定義周期擾動(dòng)d(t)的延時(shí)N為

(12)

其中，σ為非整數(shù)且0<σ<1。由于擾動(dòng)信號(hào)的基波頻頻ω0滿足式(9)，因此，將N值帶入可得

(13)

由于0<α<1，通常N取較大值，存在αN≈0。則通過級(jí)數(shù)展開可得

1.2.2 參數(shù)α的設(shè)計(jì)

參數(shù)α為IIR濾波器零點(diǎn)與極點(diǎn)的比值且α∈[0，1]。由式(10)可知，當(dāng)α=0時(shí)，Q(z-1)為FIR濾波器，即Q(z-1)=z-N+m；當(dāng)α=1時(shí)，則完全阻斷了周期擾動(dòng)補(bǔ)償。為了簡化分析，令q(z-1)=1,1-Q(z-1)z-m和Q(z-1)z-m關(guān)于α的幅值曲線如圖6所示。相關(guān)參數(shù)分別為ω0=500 rad/s，Ts=0.1 ms和m=1?？梢钥闯觯S著α的增加，1-Q(z-1)z-m幅值呈現(xiàn)梳狀結(jié)構(gòu)；在特定頻率(如：500、1 000、1 500 rad/s等)下，Q(z-1)z-m幅值保持不變，其余頻率范圍幅值具有較為顯著的衰減。因此，Q(z-1)z-m能夠較好地濾除周期成分。特別地，當(dāng)α=0時(shí)，Q(z-1)z-m幅值恒等于1，此時(shí)，擾動(dòng)d的周期成分以及非周期成分直接用于反饋補(bǔ)償，同時(shí)，1-Q(z-1)z-m的最大值‖1-Q(z-1)z-m‖∞=2，也就是說，相應(yīng)頻率擾動(dòng)幅值增益將放大100%。

圖6 α與Q濾波器

1.2.3 截止頻率ωc設(shè)計(jì)

截止頻率ωc的設(shè)計(jì)綜合考慮擾動(dòng)抑制性能以及魯棒穩(wěn)定性[16]。為了簡化分析，忽略z-m對(duì)截止頻率的影響。首先，假定擾動(dòng)信號(hào)基波頻率為ω0時(shí)，則Q濾波器增益為

令к=ω0/ωc，可得Q濾波器幅值與к的關(guān)系曲線，如圖7所示。可以看出，對(duì)于給定的基波頻率ω0，截止頻率ωc的下限由增益曲線的上限決定。

圖7 κ與Q濾波器增益

基于以上設(shè)計(jì)，截止頻率ωc的上限由PDOB魯棒穩(wěn)定性得出。由圖4小增益定理等效模型[10]可知，如果δ(z-1)穩(wěn)定且滿足H∞范數(shù)有界，且

(14)

則控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。其中，

(15)

2 自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器

2.1 擾動(dòng)基波頻率估計(jì)

當(dāng)周期擾動(dòng)基波頻率發(fā)生變化時(shí)，擾動(dòng)抑制性能也隨之發(fā)生改變[17- 18]。因此，基波頻率估計(jì)為自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器的核心部分，本研究采用基于Steiglitz-McBride(S-M)方法的自適應(yīng)陷波器(ANF)實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)基波頻率估計(jì)。圖8為自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器的結(jié)構(gòu)框圖，其中，A(z-1)=1+αz-1+z-2(α=-2cos (ωTs))，ρ為陷波參數(shù)?；赟-M方法的自適應(yīng)陷波器頻率估計(jì)算法如下所示[19- 20]。

圖8 APDOB結(jié)構(gòu)框圖

ρ=0.8，ρr=0.99，ρ∞=0.995,

主循環(huán)：

ψ(n)=-ρg(n-Δ)+(ρ-1)h(n),

e(n)=g(n-Δ+1)+ρ2g(n-1-Δ)-

頻率估計(jì)值：

2.2 相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)

延遲參數(shù)Δ，帶通濾波器帶寬bp和低通濾波器截止頻率影響基波頻率ga估計(jì)。為了優(yōu)化相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)，選擇頻率參考值為

(16)

圖9 Δ與頻率估計(jì)

(17)

圖10 bp與BPF增益

低通濾波器qa(e-jωTs)=ga/(jω+ga)，ga為截止頻率，用于平滑參數(shù)估計(jì)，防止暫態(tài)超調(diào)或失調(diào)。如圖11所示，當(dāng)ga=50時(shí)，初始時(shí)刻頻率估計(jì)存在較大暫態(tài)超調(diào)；當(dāng)ga=10時(shí)，暫態(tài)超調(diào)得到有效的抑制。因此，適當(dāng)?shù)慕刂诡l率可以抑制頻率估計(jì)過程中的暫態(tài)超調(diào)或失調(diào)。

3 仿真和實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真

上述所提自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器的核心為擾動(dòng)信號(hào)基波頻率估計(jì)。為了驗(yàn)證該算法的可行性，基于Matlab/Simulink搭建普通DOB和APDOB數(shù)值仿真模型，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

圖11 ga與頻率估計(jì)

表1 仿真參數(shù)

仿真模型如式(18)所示，其中，D(z-1)為偽微分算子，周期擾動(dòng)dp由基波信號(hào)與相應(yīng)的諧波構(gòu)成。

(18)

其中，基波頻率參考值為：

(19)

圖12為APDOB基波頻率估計(jì)曲線。其中，初始頻率設(shè)定為 2 Hz?？梢钥闯?，初始時(shí)刻頻率保持恒定，原因在于中心頻率偏差使得BPF無法有效濾除正弦信號(hào)，依然選擇2 Hz為頻率估計(jì)值。當(dāng)頻率發(fā)生突變時(shí)，基于S-M方法的自適應(yīng)陷波器可以在5 s之內(nèi)實(shí)現(xiàn)頻率準(zhǔn)確估計(jì)(偏差小于0.1 Hz)，同時(shí)，暫態(tài)過程平穩(wěn)且無明顯的超調(diào)。因此，基于S-M方法的自適應(yīng)陷波器頻率估計(jì)可以確保周期擾動(dòng)的抑制性能。

圖12 APDOB基波頻率估計(jì)

圖13為指令信號(hào)跟蹤誤差曲線。其中，指令信號(hào)給定值為 0，用于直觀地體現(xiàn)周期擾動(dòng)抑制性能?？梢钥闯?，當(dāng)基波頻率變化前，有限的靈敏度增益使得DOB具有較大的跟蹤誤差，當(dāng)基波頻率變化后，由于具有良好的頻率自適應(yīng)功能和較高的靈敏度增益，APDOB能夠減弱周期擾動(dòng)對(duì)跟蹤信號(hào)的影響；然而，對(duì)于普通DOB，截止頻率范圍之內(nèi)的所有諧波分量用于擾動(dòng)補(bǔ)償，跟蹤誤差幅值減小且形狀與頻率變化之前保持一致。

圖13 指令信號(hào)跟蹤誤差

3.2 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，搭建變頻壓縮機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并與比例積分控制(PI)(無電流補(bǔ)償)和 DOB 進(jìn)行對(duì)比分析，其控制系統(tǒng)框圖如圖14所示。其中，采用 DSP TMS320F28069 作為主控制器，滑模觀測器(SMO)用于實(shí)現(xiàn)角度和轉(zhuǎn)速估計(jì)，載波和采樣頻率設(shè)定為10 kHz，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表2所示。相關(guān)數(shù)據(jù)經(jīng)USB-CAN轉(zhuǎn)換器發(fā)送至LABVIEW上位機(jī)并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。當(dāng)變頻壓縮機(jī)運(yùn)行于15 Hz時(shí)，其q軸電流波形如圖15(a)-15(c)所示。可以看出，當(dāng)采用 PI 控制器時(shí)(無電流補(bǔ)償)，近似周期性的負(fù)載擾動(dòng)使得q軸電流呈現(xiàn)周期性且幅值波動(dòng)較為明顯，進(jìn)而導(dǎo)致SMO產(chǎn)生一定的周期性偏差。當(dāng)采用普通 DOB 時(shí)，q軸電流得到一定程度的補(bǔ)償，原因在于：①普通 DOB 可以有效抑制高頻擾動(dòng)信號(hào)(高于截止頻率)，主要包括功率模塊的非線性壓降導(dǎo)致的高次諧波和電流AD采樣噪聲等；②有限的靈敏度增益無法較好地抑制周期性擾動(dòng)(低于截止頻率)；③減小 DOB截止頻率能夠增加靈敏度增益，而相應(yīng)的相位滯后將影響周期擾動(dòng)抑制性能；當(dāng)采用APDOB時(shí)，除了非周期成分之外，q軸電流得到有效的補(bǔ)償。圖15(d)-15(f)示出了20 Hz時(shí)q軸電流波形(近似相同的工況下)?？梢钥闯觯寒?dāng)采用PI控制器時(shí)(無電流補(bǔ)償)，周期性擾動(dòng)導(dǎo)致q軸電流產(chǎn)生較為明顯的波動(dòng)，且形狀與15 Hz保持一致；當(dāng)采用APDOB時(shí)，除了一些非周期成分，q軸電流得到有效的補(bǔ)償。

圖14 變頻壓縮機(jī)控制框圖

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

圖16(a)-16(c)為變頻壓縮機(jī)15 Hz時(shí)相應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線。當(dāng)采用PI控制器時(shí)(無電流補(bǔ)償)，轉(zhuǎn)速波動(dòng)呈現(xiàn)周期性且具有明顯的偏差；當(dāng)采用普通 DOB時(shí)，有限的靈敏度增益使得轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)較小的周期性偏差；當(dāng)采用APDOB時(shí)，周期性擾動(dòng)得到有效的抑制，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)且具有較小的偏差。為了直觀體現(xiàn)轉(zhuǎn)速波動(dòng)抑制性能，采用均方根誤差(RMSE)作為轉(zhuǎn)速波動(dòng)率的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即

圖15 15 Hz和20 Hz q軸電流波形

(20)

其中：ωref為參考轉(zhuǎn)速；M=Npfspd/f，為采樣次數(shù)；f為運(yùn)行頻率；fspd=1 kHz，為速度環(huán)采樣頻率。當(dāng)變頻壓縮機(jī)運(yùn)行于15 Hz時(shí)，參考轉(zhuǎn)速為300 r/min，當(dāng)采用PI控制器(無電流補(bǔ)償)、普通DOB和APDOB時(shí)，相應(yīng)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)率分別為5.8%、1.5%和0.6%；當(dāng)運(yùn)行于20 Hz時(shí)，參考轉(zhuǎn)速為400 r/min，轉(zhuǎn)速波動(dòng)率分別為4.5%、1.3%和0.4%?？梢钥闯?，與普通的DOB相比，較高的靈敏度增益以及頻率自適應(yīng)使得APDOB能夠有效地減小周期性擾動(dòng)導(dǎo)致的轉(zhuǎn)速偏差。此外，在近似相同的工況下，轉(zhuǎn)速波動(dòng)率隨著頻率的降低而升高，而相對(duì)較高的參考轉(zhuǎn)速使得轉(zhuǎn)速波動(dòng)率降低。因此，轉(zhuǎn)速波動(dòng)抑制主要適用于低頻范圍。

圖16 15 Hz和20 Hz 轉(zhuǎn)速波形

4 結(jié)語

針對(duì)變頻壓縮機(jī)普遍存在的低頻轉(zhuǎn)速波動(dòng)問題，本研究通過構(gòu)建自適應(yīng)周期擾動(dòng)觀測器實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)估計(jì)與電流補(bǔ)償。首先，構(gòu)建周期擾動(dòng)觀測器并進(jìn)行相關(guān)參數(shù)分析；其次，采用基于S-M方法的自適應(yīng)陷波器估計(jì)擾動(dòng)基波頻率；最后，在變頻壓縮機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行分析驗(yàn)證，分別運(yùn)行于15 Hz和20 Hz。結(jié)果表明：與普通DOB相比，APDOB能夠有效地抑制變頻壓縮機(jī)低頻范圍的轉(zhuǎn)速波動(dòng)。因此，該方法為變頻壓縮機(jī)實(shí)現(xiàn)低速高效運(yùn)行提供一個(gè)有效的途徑，具有節(jié)能降耗的實(shí)際意義。