變步長搜索的計(jì)算全息圖編碼方法

邱宏偉，金春水 ，于 杰，劉 鈺，張海濤,2，王麗萍，孫詩壯

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039）

1 引言

計(jì)算全息圖（CGH）作為非球面零位補(bǔ)償檢測(cè)的關(guān)鍵器件，被廣泛應(yīng)用于非球面檢測(cè)[1-4]。與傳統(tǒng)的Dall[5]和Offner[6]補(bǔ)償器不同，CGH 是一種衍射光學(xué)元件，它利用光的衍射效應(yīng)生成與被檢非球面面形匹配良好的非球面波前，從而實(shí)現(xiàn)非球面的零位檢測(cè)。高精度CGH 編碼是實(shí)現(xiàn)高精度非球面檢測(cè)的關(guān)鍵之一。

計(jì)算全息編碼是指將CGH 相位轉(zhuǎn)換為刻蝕設(shè)備可識(shí)別的量化位置數(shù)據(jù)[7]。由于刻蝕設(shè)備只能以折線的方式進(jìn)行刻蝕，因此需將光滑條紋離散成多邊形。為了保證編碼精度，通常采用高密度采樣逼近理想曲線，從而實(shí)現(xiàn)高精度編碼。然而，高密度采樣意味著編碼數(shù)據(jù)量巨大，導(dǎo)致刻蝕設(shè)備內(nèi)存負(fù)擔(dān)加大，大大增加了刻蝕時(shí)間[8]。因此，需要選擇合適的方法對(duì)CGH 進(jìn)行編碼。

目前，常用的CGH 編碼方法有迂回相位編碼法、修正離軸參考光編碼法、相位輪廓測(cè)量術(shù)及計(jì)算全息干涉編碼法等[9]。其中，迂回相位編碼法需近似取值，因此總會(huì)引入相位誤差，且迂回相位編碼方法實(shí)現(xiàn)非常困難，不利于產(chǎn)生非球面波。修正離軸參考光編碼法由于需要與參考光進(jìn)行疊加運(yùn)算，因此增加了計(jì)算量。另外，這些方法要實(shí)現(xiàn)高精度編碼都會(huì)使得編碼數(shù)據(jù)量巨大。

針對(duì)迂回相位編碼不利于產(chǎn)生非球面波的缺點(diǎn)，Jiao Fan 等提出逐點(diǎn)追跡法進(jìn)行計(jì)算。雖然該方法能很好地控制誤差，但求解過程太過復(fù)雜[10]。

為了克服上述問題，Ma Jun 等人提出了一種在不同徑向位置選擇不同采樣密度的方法來近似計(jì)算全息圖條紋，但是該方法對(duì)于曲率連續(xù)變化的條紋近似效果并不理想[11]。

針對(duì)迂回相位編碼、修正離軸參考光以及計(jì)算全息干涉等編碼方法存在的編碼精度與編碼數(shù)據(jù)量之間的矛盾，本文提出了一種變步長CGH編碼方法。該方法根據(jù)編碼精度的需求可以簡單便捷地選擇采樣步長，以最小的編碼數(shù)據(jù)量實(shí)現(xiàn)高精度編碼。該編碼方法還具有能夠減輕刻蝕設(shè)備內(nèi)存負(fù)擔(dān)以及降低CGH 制作時(shí)間成本等優(yōu)點(diǎn)。

2 編碼原理

假設(shè)CGH 產(chǎn)生的波前相位函數(shù)表示為Φ(x,y)，并令：

其中N為整數(shù)，m為衍射級(jí)次。函數(shù)Φ(x,y)的編碼過程如圖1 所示。由圖1 可知，CGH 的編碼過程可分為兩步：首先，解算式（1）得到等相位曲線分布，如圖1(a)所示；然后，將得到的各等相位曲線離散采樣，實(shí)現(xiàn)量化編碼，如圖1(b)所示。

圖1 CGH 編碼過程。（a）由相位輪廓干涉圖計(jì)算相位函數(shù)；（b）條紋編碼成多邊形Fig.1 CGH encoding process.(a)Wavefront phase function calculated by phase contour interferograms;(b)encoding the fringes into polygons

傳統(tǒng)的CGH 編碼方法采用增大采樣密度的方式來提高編碼精度。然而，這一方式雖可提高精度，但相應(yīng)的編碼數(shù)據(jù)量將急劇增加。為了減少編碼數(shù)據(jù)量，同時(shí)最大程度地提高編碼精度，本文提出基于相位分布梯度大小選擇采樣密度的方式來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。編碼過程如下：

（1）根據(jù)被測(cè)非球面設(shè)計(jì)CGH，并計(jì)算相位分布Φ(x,y)；

（2）計(jì)算Φ(x,y)的梯度分布；

（3）根據(jù)Φ(x,y)的梯度分布情況動(dòng)態(tài)選擇采樣步長進(jìn)行編碼，并保存數(shù)據(jù)；

（4）將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為GDS II 或OASIS 等刻蝕機(jī)器可讀格式。

CGH 的相位函數(shù)表示為Φ(x,y)，那么其在二維矢量場(chǎng)的梯度為：

其中Φx=[?Φ(x,y)/?x],Φy=[?Φ(x,y)/?y]。

等相位曲線離散采樣過程如圖2 所示，在這一過程中，會(huì)不可避免地導(dǎo)致實(shí)際條紋與理想條紋產(chǎn)生偏差，根據(jù)前人的分析，編碼誤差與波長、衍射級(jí)次及編碼偏差成正比，與局部條紋周期成反比[12]。因此，引起的局部波前誤差?WRMS(x,y)可表示為：

其中，λ為波長，S(x,y)為局部條紋周期，δ(x,y)為實(shí)際條紋與理想條紋的偏差。

圖2 理想條紋數(shù)值化示意圖Fig.2 The digitization process of ideal fringe

為達(dá)到滿足使用需求的編碼精度，需要減小編碼的局部偏差δ(x,y)。局部偏差δ(x,y)與編碼采樣步長L(x,y)的幾何關(guān)系如圖3 所示。

圖3 編碼采樣步長與編碼偏差幾何關(guān)系圖Fig.3 Geometric relationship between encoding sampling step and encoding deviation

由圖3 可知兩者滿足以下關(guān)系

其中R=1/c，σ=δ(x,y)/S(x,y)。

根據(jù)采樣頻率與采樣步長的關(guān)系，采樣頻率γ(x,y)可表示為：

其中，c=1/R。根據(jù)Wenrui Cai 的分析，采樣頻率γ(x,y)可表示為[11]：

通過上述分析，建立了采樣步長與編碼誤差之間的聯(lián)系。為動(dòng)態(tài)選擇編碼步長，需先確定編碼所需達(dá)到的精度。根據(jù)式（7）可得：

至此，便可根據(jù)編碼需求動(dòng)態(tài)選擇編碼步長進(jìn)行編碼。由于刻蝕機(jī)器只能識(shí)別特定格式的文件，因此需將編碼數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為GDSⅡ格式文件[13-14]。

3 仿真過程

對(duì)一高次非球面設(shè)計(jì)了零位補(bǔ)償CGH，非球面可表示為：

式中Z為非球面矢高，K為二次曲面常數(shù)，A1、A2為高次項(xiàng)系數(shù)，ρ為非球面徑向坐標(biāo)，C為非球面頂點(diǎn)曲率。非球面的具體參數(shù)如表1 所示。

表1 非球面參數(shù)Tab.1 Parameters of the aspheric lens

在計(jì)算全息圖的設(shè)計(jì)階段，必須考慮以下4 個(gè)方面：衍射雜光的分離與去除、降低條紋密度、限制CGH 口徑以及約束投影畸變。為提高CGH的設(shè)計(jì)效率，建立了CGH 設(shè)計(jì)模型[5]。該模型綜合考慮了上述4 方面，將非球面參數(shù)代入模型，得出CGH 在光路中的位置與所需加載的載頻量（其中CGH 口徑為63 mm），利用等光程原理計(jì)算CGH 相位，相位分布如圖4（彩圖見期刊電子版）所示。對(duì)相位梯度進(jìn)行求解，結(jié)果如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 CGH 相位分布示意圖Fig.4 Phase distribution of the CGH

圖5 CGH 相位函數(shù)梯度分布Fig.5 Gradient distribution of the CGH phase function

根據(jù)第2 節(jié)所述的編碼原理以及編碼精度要求，將編碼誤差容限設(shè)為0.03 nm，編寫程序?qū)GH進(jìn)行編碼，結(jié)果如圖6（彩圖見期刊電子版）所示。編碼后的最小條紋間距為11μm，最大條紋間距為480μm。完成上述過程后，利用傳統(tǒng)編程方法對(duì)同一CGH 進(jìn)行編碼，其數(shù)據(jù)量高達(dá)160 GB，本文所提出的方法數(shù)據(jù)量僅為3 GB，且相較于傳統(tǒng)方法，其計(jì)算時(shí)間大大縮短，僅為16 小時(shí)。

圖6 CGH 條紋分布示意圖Fig.6 Fringe distribution of CGH

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證本文所述的CGH 編碼方法，設(shè)計(jì)了對(duì)比實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。所有元件加工完成后，對(duì)非球面進(jìn)行檢測(cè)。由于檢測(cè)系統(tǒng)誤差主要為CGH基底誤差，因此，為了避免CGH 基底對(duì)檢測(cè)產(chǎn)生的影響，利用零級(jí)衍射光對(duì)CGH 的基底誤差進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定光路如圖7 所示（圖中虛線框代表將CGH 從標(biāo)定光路取出的過程，TF(Transmission Flat)、RF(Reference Flat)為平面標(biāo)準(zhǔn)具），基底誤差標(biāo)定結(jié)果為：PV=24.361 nm，RMS=2.059 nm，如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。

圖7 標(biāo)定光路示意圖Fig.7 Schematic diagram of calibration optical path of the CGH substrate error

圖8 CGH 基底誤差Fig.8 CGH substrate error

完成CGH 基底誤差標(biāo)定后，利用如圖9 所示的光路對(duì)非球面進(jìn)行檢測(cè)，非球面鏡實(shí)物如圖10 所示。實(shí)驗(yàn)過程中，通過觀察干涉條紋實(shí)現(xiàn)各元件的對(duì)準(zhǔn)。為了驗(yàn)證CGH 法檢測(cè)非球面的可信度，本文使用零位補(bǔ)償器對(duì)非球面進(jìn)行檢測(cè)，兩者的檢測(cè)結(jié)果如圖11（彩圖見期刊電子版）所示。從圖11 可以看出，零位補(bǔ)償鏡的檢測(cè)結(jié)果如下：PV 值為18.067 nm，RMS 值為3.645 nm，CGH的檢測(cè)結(jié)果如下：PV 值為15.304 nm，RMS 值為3.142 nm，兩者RMS 數(shù)值僅相差0.503 nm。將CGH檢測(cè)結(jié)果與補(bǔ)償鏡檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)做差，結(jié)果如圖12 所示。

圖9 非球面檢測(cè)裝置光路圖Fig.9 Optical path of the aspheric detection installation

圖10 被檢非球面鏡Fig.10 Tested aspheric mirror

圖11 兩種方法的非球面檢測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.11 The test results of the aspheric mirror by proprosed method and zero compensator

圖12 CGH 與補(bǔ)償鏡檢測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of test results of CGH and null lens compensator

由圖12 可以看出，CGH 法與補(bǔ)償器法的檢測(cè)結(jié)果相減后RMS 值為1.291 nm，各項(xiàng)Zernike系數(shù)差值均在0.002λ(λ=632.8 nm)以內(nèi)，表明本文提出的CGH 編碼方法能夠?qū)崿F(xiàn)非球面高精度編碼。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于CGH 相位梯度動(dòng)態(tài)選擇步長的編碼方法，該方法能夠有效解決傳統(tǒng)編碼方法的編碼精度與編碼數(shù)據(jù)量存在矛盾的問題，且能夠滿足非球面高精度檢測(cè)的需求。本文設(shè)計(jì)、編碼并制作了CGH 檢測(cè)非球面，檢測(cè)結(jié)果為3.142 nm（RMS）。為驗(yàn)證CGH 檢測(cè)非球面結(jié)果的可靠性，本文將零位補(bǔ)償鏡對(duì)非球面的檢測(cè)結(jié)果與CGH 檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，補(bǔ)償鏡檢測(cè)結(jié)果為3.645 nm（RMS）。對(duì)CGH 和補(bǔ)償鏡的檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)做差，RMS 為1.291 nm，且各Zernike 項(xiàng)的差值都小于等于0.002λ，說明了該編碼方法可滿足非球面高精度檢測(cè)的需求。