陳再輝

三維空間直角坐標轉(zhuǎn)換的Bursa模型抗差解法

陳再輝

（麗水市建設(shè)技術(shù)管理中心，浙江 麗水 323000）

對于空間直角坐標轉(zhuǎn)換精度的研究主要是轉(zhuǎn)換模型的選取和抗差估計理論的應(yīng)用，通過各種模型和算法提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的解算精度。針對空間直角坐標轉(zhuǎn)換中的布爾薩（Bursa）模型的嚴密公式，給出了模型的抗差求解方法和具體的解算步驟，解算過程更為嚴謹。使用常用的幾種權(quán)函數(shù)進行模型參數(shù)的抗差解算，對其求解參數(shù)的收斂速度進行比較分析。通過具體實例驗證了方法的有效性和可靠性。

空間直角坐標；布爾薩模型；抗差估計；粗差

0 引言

生產(chǎn)實際中經(jīng)常需要進行數(shù)據(jù)的坐標轉(zhuǎn)換：一種是同一橢球不同坐標形式的轉(zhuǎn)換，另一種是不同橢球之間的坐標轉(zhuǎn)換?？臻g直角坐標系是坐標轉(zhuǎn)換中連接不同基準的橋梁，利用兩個坐標系的兩套重合點坐標求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，進而進行坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換。公共點坐標的精度直接影響轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度，對于提高空間直角坐標轉(zhuǎn)換精度的研究主要是轉(zhuǎn)換模型[1-3]和抗差估計[2-5]算法。文獻[1]提出了空間直角坐標的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換模型，采用正交普羅克魯斯忒斯（Procrustes）分析，對模型進行求解,但是正交Procrustes分析構(gòu)建矩陣、分解矩陣的過程比較繁瑣。文獻[2]針對大旋轉(zhuǎn)角坐標轉(zhuǎn)換的模型線性化復(fù)雜、計算量大等問題，并顧及數(shù)據(jù)粗差對計算結(jié)果的影響進行了研究。文獻[3]對三維坐標轉(zhuǎn)換的高斯-赫爾默特模型，采用牛頓-高斯迭代算法時，模型不受旋轉(zhuǎn)角度大小限制的問題進行了研究。

當觀測數(shù)據(jù)含有粗差時，如何通過算法將其糾正，保證模型參數(shù)解算的可靠性，國內(nèi)外研究者進行了大量的相關(guān)研究，主要是粗差探測與剔除和抗差估計算法[2-5]。文獻[2-3]使用了抗差估計的理論，穩(wěn)健性良好，但是存在大量的矩陣運算。文獻[4]根據(jù)穩(wěn)健估計理論,對有粗差的公共點以重新定權(quán)的方式降低其在解算中的作用?？共罟烙嬁梢杂行У靥蕹图m正粗差數(shù)據(jù)的影響，文獻[5]將抗差估計理論用于布爾薩（Bursa）參數(shù)的求解，但使用的是簡化了的Bursa公式，忽略了二階以上的項[5-6]。本文使用Bursa七參數(shù)轉(zhuǎn)換的嚴密公式進行求解和分析，并對常用的幾種權(quán)函數(shù)的收斂速度進行比較和分析。

1 Bursa轉(zhuǎn)換模型[6]

Bursa坐標轉(zhuǎn)換模型為

取

式中下角標C和O分別表示轉(zhuǎn)換值和已知值，則誤差方程式為

矩陣形式為

法方程為

其解為

2 Bursa模型抗差解[7]

轉(zhuǎn)換參數(shù)抗差解的+1步迭代表達式為

式中

抗差模型的計算步驟：

3 算例分析

取浙江省麗水市蓮都區(qū)某區(qū)域兩套重合點的空間直角坐標作為起算數(shù)據(jù)，總共27個點，隨機取3個點（1號點、26號點和27號點）作為檢核點，其余24個點作為起算數(shù)據(jù)進行解算。隨機取兩個點（15號點、16號點）模擬粗差數(shù)據(jù)，在這兩個點的、、坐標分量上加入粗差，點位分布示意圖如圖1所示。

圖1 點位分布示意

表1 7參數(shù)模型解算結(jié)果表

表2 檢驗點1號點、26號點、27號點坐標差值 單位：mm

表3 加入不同粗差值并使用不同權(quán)函數(shù)的結(jié)果

圖2 無粗差時LS模型解算結(jié)果的殘差

圖3 含粗差時抗差估計方法解算結(jié)果的殘差

對于不同數(shù)值的粗差，同一權(quán)函數(shù)模型解算的迭代次數(shù)變化較小，當加入的粗差數(shù)值不斷減小時，迭代次數(shù)增大。對于相同數(shù)值的粗差，使用IGGIII模型權(quán)函數(shù)時迭代次數(shù)最少，函數(shù)收斂速度最快，Huber模型權(quán)函數(shù)迭代次數(shù)最多，函數(shù)收斂速度最慢，其中使用IGGIII模型權(quán)函數(shù)時，迭代次數(shù)受粗差大小的影響較小。求解過程中發(fā)現(xiàn)，使用Tukey模型權(quán)函數(shù)時，系數(shù)矩陣秩虧，使用改進的Tukey模型權(quán)函數(shù)解算成功，達到預(yù)期的目的。

4 結(jié)束語

本文針對不同基準坐標轉(zhuǎn)換中的空間直角坐標轉(zhuǎn)換的Bursa模型的嚴密公式，給出了模型的抗差求解方法和具體解算步驟，解算過程更為嚴謹。當原始數(shù)據(jù)含有粗差時，使用抗差估計方法可以直接對粗差進行剔除和糾正，保證了解算的可靠性。在使用抗差模型求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時，對于使用不同的權(quán)函數(shù)時的收斂速度進行了比較和分析。

[1]吳繼忠, 王安怡. 空間直角坐標轉(zhuǎn)換的統(tǒng)一模型[J]. 大地測量與地球動力學, 2015, 35(6): 1046-1048.

[2]李國琴, 田林亞, 郭英起, 等. 基于羅德里格矩陣的抗差迭代坐標轉(zhuǎn)換算法研究[J]. 測繪工程, 2018, 27(3): 11-15.

[3]劉超, 王彬, 趙興旺, 等. 三維坐標轉(zhuǎn)換的高斯-赫爾默特模型及其抗差解法[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2018, 43(9): 1320-1327.

[4]郭英起, 黃聲享, 曹先革. 基于穩(wěn)健估計的高精度坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)解算方法[J]. 測繪工程, 2008, 17(6): 6-8.

[5]倪飛, 崔桂官. 空間直角坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的抗差算法研究[J]. 海洋測繪, 2011, 31(6): 28-30.

[6]孔祥元, 郭際明, 劉宗泉. 大地測量學基礎(chǔ)[M]. 武漢: 武漢大學出版社, 2006: 44-45.

[7]楊元喜. 抗差估計理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 八一出版社, 1993: 273-275.

Bursa model robust solution for cartesian coordinate transformation in three-dimensional space

CHEN Zaihui

（Lishui Construction Technology Management Center, Lishui，Zhejiang 323000, China）

The research on the accuracy of space rectangular coordinate transformation is mainly the selection of transformation model and the application of robust estimation theory. Through various models and algorithms, the accuracy of transformation parameters is improved. Aiming at the rigorous formula of Bursa model in space rectangular coordinate transformation, this paper gives the model's robust solution method and specific solution steps, and the solution process is more rigorous. Several commonly used weight functions are used for robust calculation of model parameters, and the convergence speed of their solution parameters is compared and analyzed. The effectiveness and reliability of the method are verified by specific examples.

spatial Cartesian coordinates; Bursa model; robust estimation; gross error

P228

A

2095-4999(2021)02-0118-04

陳再輝.三維空間直角坐標轉(zhuǎn)換的Bursa模型抗差解法[J].導航定位學報,2021,9(2): 118-121.（CHEN Zaihui.Bursa model robust solution for cartesian coordinate transformation in three-dimensional space[J].Journal of Navigation and Positioning,2021,9(2): 118-121.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20210219.

2019-12-03

陳再輝（1981—），女，陜西富平人，碩士，高級工程師，研究方向為GIS和GNSS。