張林平， 李風(fēng)軍

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 銀川 750021)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，汽車保有量不斷增加,給城市交通帶來了沉重的壓力，并使得汽車排放成為中國主要城市空氣污染的主要來源[1]. 行駛工況是量化汽車排放的一個(gè)重要概念，能充分反映汽車的實(shí)際行駛模式，從而獲得可靠的汽車排放估計(jì). 隨著路網(wǎng)密度的改善，研究者越來越關(guān)注實(shí)際駕駛條件與各種車輛認(rèn)證和監(jiān)管機(jī)構(gòu)所使用的標(biāo)準(zhǔn)行駛工況之間的差距.

汽車行駛工況作為一種被廣泛采用的燃油經(jīng)濟(jì)性、排放和行駛里程評價(jià)基準(zhǔn)，可以方便車輛設(shè)計(jì)和對新興車輛技術(shù)性能評價(jià)，得到學(xué)者的廣泛研究. 如：采用馬爾科夫隨機(jī)過程理論，構(gòu)建了行駛工況圖[2-4]；采用一種改進(jìn)的馬爾科夫蒙特卡羅方法構(gòu)建了北京市的行駛工況圖[5]；利用主成分分析和K均值聚類算法構(gòu)建了行駛工況圖[6-9]；提出了一種構(gòu)造“行程段”的方法，構(gòu)造了印度客車的行駛工況圖[10]；利用多島遺傳算法(MIGA)與序列二次規(guī)劃法(SQP)組合優(yōu)化，對FCM聚類的初始聚類中心進(jìn)行優(yōu)化，從而構(gòu)建了汽車行駛工況圖[11]；利用粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化了FCM的聚類中心，從而構(gòu)建了行駛工況圖[12]；利用主成分分析法和模糊C均值聚類算法，擬合了汽車行駛工況圖[13]；利用自組織映射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與粒子群聚類相結(jié)合的方法構(gòu)建了汽車行駛工況圖[14]. 上述研究方法雖然均構(gòu)建了較理想的行駛工況圖，但仍有需要改進(jìn)的地方. 如：傳統(tǒng)的主成分分析法可以達(dá)到降維的目的，但是沒有完全體現(xiàn)出用數(shù)量較少的綜合指標(biāo)來代替原來多個(gè)指標(biāo)的目的；對于模糊C均值聚類算法而言，在聚類過程中容易陷入局部最優(yōu)，而遺傳模擬退火算法可以防止其陷入局部最優(yōu).

鑒于此，本文改進(jìn)了主成分分析，并將遺傳模擬退火算法與模糊C均值聚類算法相結(jié)合成一種聚類算法(GSA-FCM)，從而構(gòu)建更合理的汽車行駛工況圖. 最后，將合成工況與實(shí)際工況的特征參數(shù)進(jìn)行比對.

1 GSA-FCM算法

1.1 主成分分析法的改進(jìn)

主成分分析法(Principal Component Analysis, 簡稱PCA)是一種數(shù)據(jù)降維的方法[15]. 其基本思想是用一組信息不重疊且數(shù)量較少的綜合指標(biāo)來代替原來多個(gè)具有一定相關(guān)性的指標(biāo)，使其可以最大程度地反映原指標(biāo)所代表的信息,即達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)的目的. 由于傳統(tǒng)的PCA算法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化，沒有完全展現(xiàn)各變量之間的差異信息，所以，本文對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行Min-Max標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)原始數(shù)據(jù)為X=(xij)n×p，則yij=(xij-minxj)/(maxxj-minxj) (i=1,2,…,n；j=1,2,…,p)，可得標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣Y=(yij)n×p；然后，對Y進(jìn)行主成分分析.

1.2 遺傳模擬退火算法優(yōu)化模糊C均值聚類算法

模糊C均值聚類算法(Fuzzy C-means Algorithm，簡稱FCM或FCMA)是模糊聚類中應(yīng)用最廣泛的聚類方法之一[16]，即給定聚類數(shù)目，通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樣本點(diǎn)屬于每一類的隸屬度[17]，從而達(dá)到聚類的目的. 設(shè)有n個(gè)樣本xi(i=1,2,…,n)，可以分為k類，隸屬矩陣U=(uij)n×k，uij是[0,1]中的隨機(jī)數(shù)，并采取下列步驟來確定隸屬矩陣和聚類中心：

(1)對隸屬矩陣U初始化：

(2)計(jì)算聚類中心：

其中，ci為第i類聚類中心,m[1,∞]為加權(quán)指數(shù);

(3)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值：

其中

這里，ci為第i類聚類中心,dij=‖ci-xj‖為第i類聚類中心與數(shù)據(jù)樣本之間的歐式距離;

(4)重新計(jì)算隸屬矩陣U：

(5)如果目標(biāo)函數(shù)值小于某個(gè)確定的閥值，則算法停止. 否則重復(fù)步驟(2)至步驟(4)，直到滿足終止條件.

傳統(tǒng)的遺傳算法可以在全局求解最優(yōu)解，但是迭代次數(shù)大、收斂速度慢. 通過引入模擬退火方法，可以提高進(jìn)化過程中種群的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)[18]，而模糊C均值聚類算法與K均值聚類算法在聚類過程中均易陷入局部最優(yōu)，所以，本文采用遺傳模擬退火算法(Genetic-Simulated Annealing，GSA)來優(yōu)化模糊C均值聚類算法. 首先對種群中的個(gè)體進(jìn)行選擇、交叉、重組、變異，然后參與模擬退火，反復(fù)迭代，直到滿足終止條件為止. 從而找到最優(yōu)的初始聚類中心進(jìn)行模糊C均值聚類，提高聚類效果. 具體流程如下：

Step 1: 設(shè)定各個(gè)參數(shù)值(例如初始溫度、變異概率等)；

Step 2: 創(chuàng)建初始種群N(t)；

Step 3: 利用式(3)計(jì)算初始種群個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值；

Step 4: 代數(shù)計(jì)數(shù)器初始化gen=0；

Step 5: 個(gè)體的選擇select(N(t))；

Step 6: 個(gè)體的重組recombine(N(t))；

Step 7: 個(gè)體的變異mutation(N(t))；

Step 8: 個(gè)體的模擬退火；

Step 9: 若滿足終止條件則輸出最優(yōu)個(gè)體，否則轉(zhuǎn)到Step 4,直到滿足終止條件；

Step 10: 得到最優(yōu)的初始聚類中心；

Step 11: 用模糊C均值聚類算法進(jìn)行聚類.

2 行駛工況的構(gòu)建

汽車行駛工況的構(gòu)建過程主要為運(yùn)動學(xué)片段的劃分、計(jì)算特征參數(shù)值、主成分分析、聚類、選擇合適的片段合成工況. 本文以2019年全國研究生數(shù)學(xué)建模D題所提供的某市輕型汽車實(shí)際道路行駛所采集的493 467個(gè)數(shù)據(jù)為樣本，構(gòu)建該市汽車行駛工況圖.

2.1 運(yùn)動學(xué)片段及特征參數(shù)

運(yùn)動學(xué)片段是指連續(xù)采集的數(shù)據(jù)從速度為零開始，到下一個(gè)速度為零為止. 特征參數(shù)是指能夠反映車輛行駛特性變量的參數(shù). 本文采用2019年全國研究生數(shù)學(xué)建模D題定義的4種工況[19]，具體如下：

怠速：v=0，且發(fā)動機(jī)一直以低速運(yùn)轉(zhuǎn)的行駛過程；

加速：a≥0.1m/s2的行駛過程；

減速：a≤-0.1m/s2的行駛過程；

勻速：|a|≤0.1m/s2非怠速的行駛過程.

特征參數(shù)的選取見表1.

表1 所選特征參數(shù)Table 1 The seleced characteristic parameters

2.2 特征參數(shù)的計(jì)算

本文所用特征參數(shù)的具體計(jì)算公式如下:

其中，ai,i+1表示第i時(shí)刻到第i+1時(shí)刻的加速度，vi表示第i時(shí)刻的速度，ti表示第i時(shí)刻，k表示GPS所測車速的總個(gè)數(shù).

利用Matlab 2017b編程軟件可得2 348個(gè)片段的特征參數(shù)值，部分片段的特征參數(shù)值見表2.

2.3 主成分分析數(shù)據(jù)

利用傳統(tǒng)的PCA算法[20]和本文改進(jìn)的PCA算法，分別對所得的2 348個(gè)片段進(jìn)行降維處理，可得14個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率. 由結(jié)果(表3)可知：(1)改進(jìn)后的PCA算法所得的第一主成分的貢獻(xiàn)率比傳統(tǒng)的PCA算法的高出14%. (2)改進(jìn)后的PCA算法可以達(dá)到用數(shù)量較少的指標(biāo)來代替原來多個(gè)指標(biāo)的目的：傳統(tǒng)的PCA算法所得的前5個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率達(dá)到了87.37%，而改進(jìn)的PCA算法所得的前3個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率就已經(jīng)達(dá)到了89.51%.

表2 部分片段的特征參數(shù)值Table 2 The characteristic parameter values of some fragments

表3 各主成分貢獻(xiàn)率Table 3 The contribution rates of each principal component %

利用主成分分析可以得到2 348個(gè)運(yùn)動學(xué)片段的前3個(gè)主成分的得分，部分運(yùn)動學(xué)片段的前3個(gè)主成分得分見表4.

表4 部分運(yùn)動學(xué)片段主成分得分Table 4 The principal component scores of kinematics fragments

2.4 聚類結(jié)果分析

使用傳統(tǒng)的K均值聚類算法[21]，對2 348片段的前3個(gè)主成分得分進(jìn)行聚類. 由聚類結(jié)果(圖1)可知：2 348個(gè)運(yùn)動學(xué)片段被分為3類，分別為579個(gè)第1類的運(yùn)動學(xué)片段、843個(gè)第2類的運(yùn)動學(xué)片段、926個(gè)第3類的運(yùn)動學(xué)片段，聚類的整體效果較好，但是比較離散. 聚類中心具體值見表5.

圖1 K均值聚類結(jié)果

表5 K均值聚類中心Table 5 The K-means clustering center

利用GSA-FCM聚類算法對2 348片段的前3個(gè)主成分得分進(jìn)行聚類，由聚類結(jié)果(圖2)可知：2 348個(gè)運(yùn)動學(xué)片段被劃分為3類，雖然有部分點(diǎn)比較分散，但是相比K均值聚類算法，整體聚類效果更加明顯，說明使用GSA優(yōu)化FCM聚類算法的初始聚類中心，可以防止FCM聚類陷入局部最優(yōu)，達(dá)到更好的聚類效果. 各類的聚類中心如表6所示.

圖2 GSA-FCM聚類結(jié)果

表6 GSA-FCM的聚類中心Table 6 The GSA-FCM clustering center

2.5 行駛工況的合成

在行駛工況的合成中，最重要的就是運(yùn)動學(xué)片段的選擇，合適的運(yùn)動學(xué)片段可以呈現(xiàn)聚類所得的每一類運(yùn)動學(xué)片段所代表的行駛狀況. 所以，本文采用如下步驟選取運(yùn)動學(xué)片段：

(1)對每類所屬運(yùn)動學(xué)片段的特征參數(shù)進(jìn)行Min-Max標(biāo)準(zhǔn)化處理，并求出每類運(yùn)動學(xué)片段的特征參數(shù)之和，記為A；

(2)計(jì)算每類所屬運(yùn)動學(xué)片段每個(gè)特征參數(shù)的平均值，并對其進(jìn)行Min-Max標(biāo)準(zhǔn)化后求和，記為B；

(3)計(jì)算A與B的絕對誤差，按升序排列；

(4)計(jì)算每類片段所用的時(shí)間在所有片段所用總時(shí)間中的比例，從而確定每一類別在合成行駛工況里所占的時(shí)間，計(jì)算公式如下：

(1)

其中，ti表示第i(i=1,2,3)類運(yùn)動學(xué)片段在最終構(gòu)建工況曲線中所占的時(shí)間，M表示最終構(gòu)建工況所用的時(shí)間，ti,m表示第i(i=1,2,3)類運(yùn)動學(xué)片段中第m個(gè)運(yùn)動學(xué)片段所用的時(shí)間，ni表示第i(i=1,2,3)類運(yùn)動學(xué)片段總數(shù)；

(5)根據(jù)時(shí)間比例從每類運(yùn)動學(xué)片段中選擇絕對誤差最小的片段合成最終工況圖.

根據(jù)上述步驟，合成工況所用的時(shí)間一般為1 200～1 300 s. 由式(1)可得選取3類運(yùn)動學(xué)片段所用時(shí)間分別為642.105 0～695.613 7 s、332.686 3～360.410 1 s、225.208 7～243.976 1 s.

由2種聚類算法所合成的行駛工況圖(圖3、圖4)可知：利用傳統(tǒng)的K均值聚類算法所得的行駛工況圖中怠速狀態(tài)較多；利用GSA-FCM聚類算法所得的行駛工況圖顯示汽車的行駛速度大部分為0～20 km/h，處于低速狀態(tài)，高速行駛情況較少，與實(shí)際情況相符.

圖3 K均值聚類合成工況圖

圖4 GSA-FCM最終擬合工況圖

3 合成工況的精度分析與比對

在合成工況之后，需要檢驗(yàn)該工況是否具有代表性. 本文基于特征參數(shù)的誤差進(jìn)行比對，即選擇平均速度、平均加速度和平均減速度等9個(gè)具有代表性的特征參數(shù)為評價(jià)指標(biāo)，分別計(jì)算原始數(shù)據(jù)合成的實(shí)際工況與GSA-FCM聚類算法、傳統(tǒng)的K均值聚類算法所合成工況的特征參數(shù)值并進(jìn)行誤差分析. 由結(jié)果(表7)可知：GSA-FCM聚類算法有1個(gè)指標(biāo)的相對誤差較大，其他8個(gè)指標(biāo)的相對誤差均在10%以下，所有特征值的平均相對誤差僅為 6.46%；傳統(tǒng)的K均值聚類算法有6個(gè)指標(biāo)的相對誤差大于10%，平均相對誤差為16.17%. 由此可知：利用GSA-FCM聚類算法所合成的行駛工況圖的誤差小、精度高，可以反映原始數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的工況信息.

表7 基于特征參數(shù)的實(shí)際工況與合成工況分析Table 7 The analysis of actual working condition and synthetic working condition based on characteristic parameters

表8 合成工況與NEDC標(biāo)準(zhǔn)測試工況對比Table 8 The comparison of synthetic conditions and NEDC standard test conditions

4 總結(jié)

本文提出一種改進(jìn)的主成分分析和利用遺傳模擬退火算法優(yōu)化后的模糊C均值聚類算法相結(jié)合的聚類算法(GSA-FCM)，以構(gòu)建汽車行駛工況圖. 并將該聚類算法和傳統(tǒng)的K均值聚類算法所合成的行駛工況的特征參數(shù)值與實(shí)際工況的特征參數(shù)值進(jìn)行比較，所得平均相對誤差分別為6.46%、16.17%，充分說明使用GSA-FCM聚類算法所合成的行駛工況圖的誤差小、精度高. 由GSA-FCM聚類算法合成的工況、NEDC標(biāo)準(zhǔn)測試工況與實(shí)際工況的對比結(jié)果可知：實(shí)際工況與NEDC工況存在顯著的差異,與GSA-FCM聚類合成工況差異較小,說明NEDC工況圖不能代表該市汽車的行駛狀況,而GSA-FCM聚類合成工況與該市汽車的行駛狀況更相符.