崔 威 ， 冼劍華 ， 蘇 成 ，2

（1. 華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣州 510640； 2. 華南理工大學(xué) 亞熱帶建筑科學(xué)國家重點實驗室， 廣州 510640）

0 引言

對于高層和超高層建筑等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)， 地震作用往往是最重要的設(shè)計荷載， 因此結(jié)構(gòu)設(shè)計的安全性依賴于地震作用計算的合理性。 目前我國 《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50011-2010）[1]所推薦的高層建筑地震作用計算方法包含振型分解反應(yīng)譜法和時程分析法。 振型分解反應(yīng)譜法能夠反映地震動的隨機特性， 但不能反映地震作用的全過程， 而且規(guī)范所推薦的CQC 組合公式是在一定假定[2-3]下推導(dǎo)得到的， 這些假定會對高層和超高層建筑結(jié)構(gòu)的地震作用計算帶來一定的影響[4]。 時程分析法能夠反映地震作用的全過程， 但不能反映地震動的隨機特性， 因此該方法一般作為振型分解反應(yīng)譜法的補充計算方法。 鑒于上述問題，有必要采用真正意義的隨機振動分析方法進行高層和超高層建筑結(jié)構(gòu)的地震作用計算。

時域顯式隨機模擬法[4]是一種高效準(zhǔn)確的非平穩(wěn)隨機振動分析方法， 該法適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抗震計算， 且容易被工程設(shè)計人員所接受，目前已被編入廣東省《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（DBJ 15-92-2013）[5]， 以下簡稱 “2013 版省《高規(guī)》”。 近年來， 針對非線性隔震結(jié)構(gòu)地震作用計算所發(fā)展的非線性時域顯式隨機模擬法[6]也編入新修訂的廣東省 《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（送審稿）》（DBJ 15-92-2020）[7]， 以下簡稱 “2020版省《高規(guī)》”。 由此可見， 采用實用隨機振動分析方法進行高層建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計已在工程界受到廣泛重視。

振型分解反應(yīng)譜法的輸入條件是反應(yīng)譜， 而隨機振動分析方法的輸入條件通常為地震動功率譜。 為保證隨機振動分析方法和振型分解反應(yīng)譜法的輸入條件一致， 設(shè)計地震動功率譜必須與設(shè)計反應(yīng)譜完全等價。 如此一來， 隨機振動分析方法的計算結(jié)果才可與振型分解反應(yīng)譜法的計算結(jié)果進行比較， 并為實際工程設(shè)計提供參考。 因此，獲取與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價的地震動功率譜是隨機振動分析方法能夠在工程設(shè)計中推廣應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。

本文基于新修訂的2020 版省《高規(guī)》， 利用直接迭代方法獲得與該規(guī)范反應(yīng)譜完全等價的地震動功率譜； 進而利用非線性函數(shù)擬合技術(shù)， 得到等價地震動功率譜的擬合公式； 最后驗證擬合后等價地震動功率譜與規(guī)范反應(yīng)譜的等價性。 此外，本文還系統(tǒng)研究了不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對所得等價地震動功率譜的影響。

1 設(shè)計加速度反應(yīng)譜

2020 版省《高規(guī)》對 2013 版省《高規(guī)》的設(shè)計反應(yīng)譜進行了修改， 新的設(shè)計反應(yīng)譜是由華南理工大學(xué)建筑設(shè)計研究院根據(jù)6000 多條實際地震波統(tǒng)計分析得到的[8-10]。 2020 版省《高規(guī)》的設(shè)計加速度反應(yīng)譜如下式所示[7]：

式 （1）中 α 為水平地震影響系數(shù)； αmax為水平地震影響系數(shù)最大值， 它的取值與場地類別有關(guān)， 對于II 類場地其取值見表1， 而對于其它類別場地其取值見文獻(xiàn) [7]； T 為結(jié)構(gòu)自振周期； Tg為特征周期， 取值見表 2； TD=3.5 s； η 為阻尼調(diào)整系數(shù)，如下式所示：

式 （2）中 ζ 為結(jié)構(gòu)阻尼比。

當(dāng)考慮設(shè)防烈度 7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05 及設(shè)計地震第一分組時， 不同場地類別下的設(shè)計加速度反應(yīng)譜曲線如圖1 所示。 從圖中可以看出， 隨著場地類別的提高， 設(shè)計加速度反應(yīng)譜曲線平臺段的高度和寬度均有所增大。

表1 水平地震影響系數(shù)最大值αmax （II 類場地）Table 1 Maximum value of horizontal seismic influence coefficient αmax （Site-class II）

表2 特征周期Table 2 Characteristic period

圖1 設(shè)計加速度反應(yīng)譜Fig.1 Acceleration response spectrum for design

2 等價地震動功率譜的確定

考慮地震動的非平穩(wěn)隨機特性， 地面加速度隨機過程X（t）可以表達(dá)為[11]

式（3）中 x（t）為平穩(wěn)隨機過程； g（t）為均勻調(diào)制函數(shù)， 用來考慮地面加速度隨機過程的強度非平穩(wěn)特性， 可以表示為

式 （4）中 c 為衰減系數(shù)； t1和 t2分別為強震平穩(wěn)段的起始和終止時間。 均勻調(diào)制函數(shù)參數(shù)的取值如表 3 所示[12]。

表3 均勻調(diào)制函數(shù)參數(shù)的取值Table 3 The values of parameters of modulation function

假定平穩(wěn)隨機過程x（t）的功率譜密度函數(shù)為S（f）， 可采用諧波合成法[13]對 x（t）進行隨機采樣， 其中第j 個時程樣本可以表示為

式（5）中M 為地面加速度時程的樣本數(shù)； N 為頻率劃分段數(shù)； Δf=（fmax-fmin）/N 為諧波分量的頻率間隔；fmax和fmin分別為截斷最大頻率和截斷最小頻率， 分別取值為 30 Hz 和 0.04 Hz； fk==fmin+（k-0.5）Δf 為第k 個諧波分量的頻率； Φk,j為服從 [0，2π]均勻分布的隨機變量。 Δf 的取值應(yīng)不大于 1/td[14]， 其中 td為地面加速度持續(xù)時長， 考慮到td可能取到50 s，故取 Δf=0.02 Hz， 此時 N=1498。

文獻(xiàn)[14]給出了功率譜密度函數(shù)S（f）和反應(yīng)譜函數(shù) α（T）（T=1/f）之間的近似轉(zhuǎn)換關(guān)系， 如下式所示：

式 （6）中p 為地震作用反應(yīng)不超過反應(yīng)譜值的概率， 一般取 p≥0.85； g 為重力加速度， 取為9.8 m/s2。

以式（6）作為功率譜密度函數(shù) S（f）的初始形式， 利用式（5）生成大量平穩(wěn)隨機過程的時程樣本xj（t）， 再根據(jù)式（3）得到大量非平穩(wěn)地面加速度隨機過程的時程樣本 Xj（t）（j=1，2，…，M）。 計算在這些地面加速度樣本作用下單自由度體系的平均加速度反應(yīng)譜 α"（T）， 并與規(guī)范加速度反應(yīng)譜 α（T）進行比較， 按下式計算相對誤差：

若相對誤差e（T）的最大值大于給定的誤差容許值ε， 取為5%， 則按下式對功率譜密度函數(shù)進行修正：

重復(fù)上述步驟， 直至相對誤差e（T）的最大值小于給定的誤差容許值ε， 才停止迭代計算。 此時獲得的S（f）可認(rèn)為是與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價的地震動功率譜。

3 等價地震動功率譜擬合

采用第2節(jié)的方法可以獲得與規(guī)范反應(yīng)譜等價的離散地震動功率譜， 為了方便工程人員直接應(yīng)用， 下面進一步利用非線性函數(shù)擬合技術(shù)得到離散等價地震動功率譜的擬合表達(dá)式。 將式（1）代入式（6）可得功率譜的分段擬合公式為

式（9）中 β1， β2， …， β10為待求的擬合參數(shù)。

對于設(shè)防烈度7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05、II 類場地及設(shè)計地震第一分組的情況， 基于式（9）擬合得到的等價地震動功率譜和擬合前的離散等價地震動功率譜如圖2 所示。 從圖中可以看出，擬合功率譜和離散功率譜總體吻合良好， 但在第一分段擬合功率譜出現(xiàn)了負(fù)值， 與實際不相符。數(shù)值試驗表明， 擬合公式第一分段采用指數(shù)函數(shù)形式更為合理， 則功率譜的分段擬合公式可以改寫為

圖2 基于式（9）擬合的等價地震動功率譜Fig.2 Equivalent ground motion power spectrum fitted based on equation（9）

基于式（10）擬合得到的等價地震動功率譜和擬合前的離散等價地震動功率譜如圖3 所示。 從圖中可以看出， 擬合功率譜和離散功率譜在各個分段均吻合良好， 且在第一分段沒有出現(xiàn)負(fù)值。值得一提的是， 擬合功率譜有效削弱了離散功率譜在 f=0.286 Hz（對應(yīng) T=TD=3.5 s） 處的突起， 使等價地震動功率譜更具合理性。 對于阻尼比0.05 及II 類場地的情況， 各設(shè)計地震分組對應(yīng)的等價地震動功率譜擬合參數(shù)值見表4。 對于其它阻尼比及場地類別的情況， 等價地震動功率譜的擬合參數(shù)值見文獻(xiàn)[7]。

為檢驗等價地震動功率譜與設(shè)計加速度反應(yīng)譜之間的等價性， 基于擬合后的等價地震動功率譜， 采用諧波合成法生成大量的地面加速度時程樣本， 進而獲得單自由度體系的平均反應(yīng)譜， 即模擬加速度反應(yīng)譜。 以圖3 所示擬合功率譜為例，所得模擬加速度反應(yīng)譜與設(shè)計加速度反應(yīng)譜如圖4所示。 從圖中可以看出， 二者吻合良好， 說明擬合功率譜與設(shè)計加速度反應(yīng)譜在所考慮的周期范圍內(nèi)是完全等價的。

圖3 基于式（10）擬合的等價地震動功率譜Fig. 3 Equivalent ground motion power spectrum fitted based on equation （10）

表4 等價地震動功率譜擬合參數(shù)值（阻尼比 0.05、 II 類場地）Table 4 The values of fitted parameters of equivalent ground motion power spectrum （Damping ratio 0.05，site-class II）

圖4 模擬加速度反應(yīng)譜Fig.4 Simulated acceleration response spectrum

4 等價地震動功率譜一致性驗證

本節(jié)以設(shè)防烈度 7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05、 II 類場地及設(shè)計地震第一分組情況下所獲得的等價地震動功率譜為例， 分別研究不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對所得等價地震動功率譜的影響。

4.1 功率譜初始形式的影響

為檢驗所得等價地震動功率譜對于不同的功率譜初始形式具有一致性， 分別以式（6）所示功率譜和白噪聲功率譜作為等價地震動功率譜的初始形式進行迭代計算， 所得等價地震動功率譜如圖5所示。 從圖中可以看出， 基于不同的功率譜初始形式所獲得的等價地震動功率譜吻合良好， 說明等價地震動功率譜的獲取與功率譜初始形式的選取無關(guān)。 此外， 當(dāng)以式（6）功率譜作為初始功率譜時， 迭代收斂所需次數(shù)為4 次， 而當(dāng)以白噪聲功率譜作為初始功率譜時， 迭代收斂所需次數(shù)為6次， 說明選取更接近收斂后等價地震動功率譜的功率譜初始形式可以更快收斂。

圖5 不同功率譜初始形式對應(yīng)的等價地震動功率譜Fig.5 Equivalent ground motion power spectrum corresponding to different initial forms of power spectrum

4.2 結(jié)構(gòu)阻尼比的影響

為檢驗不同結(jié)構(gòu)阻尼比對所得等價地震動功率譜的影響， 分別以不同的結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03、0.035、 0.04、 0.045、 0.05、 0.055、 0.06、 0.065 和0.07）獲取等價地震動功率譜， 如圖6 所示。 從圖中可以看出， 以阻尼比為0.05 所對應(yīng)的等價地震動功率譜為基準(zhǔn)， 其它阻尼比所對應(yīng)的等價地震動功率譜與該基準(zhǔn)吻合良好， 說明不同結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03～0.07）所對應(yīng)的等價地震動功率譜具有一致性。 這是合理的， 因為地震動本質(zhì)上與結(jié)構(gòu)阻尼是沒有關(guān)系的。

5 結(jié)語

圖6 不同結(jié)構(gòu)阻尼比對應(yīng)等價地震動功率譜Fig.6 Equivalent ground motion power spectrum corresponding to different structural damping ratios

采用真正意義的隨機振動分析方法進行高層或超高層建筑結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計已經(jīng)引起了工程界的廣泛重視， 而獲取與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價的地震動功率譜是隨機振動分析方法能夠在工程領(lǐng)域推廣應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。 本文基于新修訂的2020版省 《高規(guī)》， 利用直接迭代方法獲得與新修訂的設(shè)計加速度反應(yīng)譜完全等價的地震動功率譜， 并采用非線性函數(shù)擬合技術(shù)獲得等價功率譜的擬合公式。 數(shù)值驗證表明， 擬合后的等價功率譜與規(guī)范反應(yīng)譜是完全等價的。 本文還對不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對所得等價地震動功率譜的影響展開研究。 結(jié)果表明， 等價地震動功率譜對于不同的功率譜初始形式以及不同的結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03-0.07）具有一致性。