李嘉鵬，田中旭

（1.中煤科工集團(tuán) 上海有限公司，上海 200030，2.上海海洋大學(xué) 工程學(xué)院，上海 201306）

0 引言

板簧扭振減振器因其可靠性高、減振性能優(yōu)良、防腐蝕性等特點(diǎn)，在船用柴油機(jī)領(lǐng)域中廣泛使用。其主要結(jié)構(gòu)包括慣性塊、彈性部件和阻尼部件等零件。比較早期的板簧減振器剛度計(jì)算模型是文獻(xiàn)[1]給出的，也只能計(jì)算線性剛度，且簧片厚度須依次滿足固定的厚度比。文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)出單片簧片的線性剛度，多片簧片的剛度則可視為所有簧片的剛度疊加。以上計(jì)算都是基于Euler-Bernoulli 梁模型，也沒有考慮簧片與限位塊的接觸、簧片層間的相互作用，以及軸向和剪切變形等因素。田中旭等基于Euler-Bernoulli 梁模型[3]給出了板簧扭振減振器彎曲應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剛度的直接計(jì)算公式。目前，對(duì)漸變剛度鋼板彈簧的計(jì)算方法[4-7]雖然不少，但其力學(xué)性質(zhì)仍以經(jīng)驗(yàn)公式總結(jié)和宏觀力學(xué)性質(zhì)測(cè)試為主要確定方法，計(jì)算精度不高，限制了減振器對(duì)工程應(yīng)用的支持等多個(gè)方面。本研究基于Timoshenko 梁理論構(gòu)建的高精度的力學(xué)模型，利用Matlab 軟件編寫基于Runge-Kutta 法的數(shù)值求解程序得到所述模型中關(guān)鍵參數(shù)的數(shù)值解，采用有限元進(jìn)行了驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上探討墊片和簧片對(duì)變形和應(yīng)力的影響規(guī)律。

1 減振器力學(xué)模型

采用考慮剪切變形的Timoshenko 梁理論建立減振器剛度力學(xué)模型。如若減振器設(shè)計(jì)制造合理，則簧片兩端與槽底座始終接觸，無沖擊載荷。在構(gòu)建力學(xué)模型時(shí)，減振器內(nèi)外圈的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成簧片組與外圈接觸時(shí)左端固定，簧片組與內(nèi)圈接觸時(shí)右端橫向運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，減振器扭轉(zhuǎn)剛度研究的關(guān)鍵是簧片組兩端發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，簧片受力可簡(jiǎn)化為一集中力，其集中力的方向垂直于簧片面。對(duì)于變截面的變剛度簧片來說，由于每片厚度是片長(zhǎng)的函數(shù)，所以對(duì)于撓曲線上每一點(diǎn)斜率的求解較為困難。在本研究中，變形協(xié)調(diào)條件取其上下簧片的撓曲線在接觸點(diǎn)處的坐標(biāo)相等[8，9]這一假設(shè)進(jìn)行求解。

減振器簧片組參數(shù)模型如圖1 所示，圖中黑色條狀為紫銅墊片，下部為簧片1，上部為簧片2，簧片組左端固定。模型中各參數(shù)的含義見表1。

表1 板簧片參數(shù)

圖1 簧片組參數(shù)模型

在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，考慮到邊界條w1（x）|x=0=w2（x）|x=0= 0，得到兩板簧片的撓度函數(shù)：

得到兩板簧片的彎曲應(yīng)力如式（3）和式（4）所示。

2 數(shù)值求解與驗(yàn)證

龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta）法是求解數(shù)值計(jì)算中非線性常微分方程近似解的一種高精度經(jīng)典方法。由于該算法精度較高，采取了抑制誤差的措施，其整體截?cái)嗾`差為（Vx）5，通常應(yīng)用于常微分方程數(shù)值求解，在工程上得到廣泛應(yīng)用。根據(jù)式（1）、（2），借助Matlab軟件編程計(jì)算求解板簧片變形撓度的數(shù)值解，定義計(jì)算參數(shù)，分別計(jì)算5 組不同長(zhǎng)細(xì)比板簧片末端撓度的變化結(jié)果見表2。

表2 Runge-Kutta 法和有限元法計(jì)算的撓度

圖4 有限元仿真應(yīng)變?cè)茍D

為了證明本研究提出的基于Timoshenko 梁理論所建立的力學(xué)模型精確解析解的可靠性和精確度，以圖2 所示某型板簧片計(jì)算結(jié)果為例，利用ANSYS 進(jìn)行計(jì)算分析，因板簧片的橫截面大小和形狀沿軸線方向不變，作用外力沿縱軸長(zhǎng)度方向不變，故板簧片每個(gè)橫截面的受力情況相同，在仿真時(shí)將板簧片分析的三維問題轉(zhuǎn)化為二維平面應(yīng)變問題，大大節(jié)約計(jì)算時(shí)間。建模時(shí)采用的參數(shù)如表2 所示，在板簧片垂直正方向施加集中力F= 1000 N，銅墊片末端（圖1 中A處）耦合垂直方向的自由度，分別模擬板簧片長(zhǎng)細(xì)比為8.7692、17.5385、7.0154、5.8462 以及4.3846 時(shí)板簧片1 和板簧片2 的沿Y軸變形量。圖3 至圖7 分別是表2 中第一至第五組數(shù)值的簧片應(yīng)變?cè)茍D，其中第二組至第五組數(shù)值分別是第一組簧片厚度擴(kuò)大0.5 倍、1.25 倍、1.5 倍和2 倍得到的，其余參數(shù)不變。

圖2 板簧片組幾何模型圖

圖3 有限元仿真應(yīng)變?cè)茍D

圖5 有限元仿真應(yīng)變?cè)茍D

圖6 有限元仿真應(yīng)變?cè)茍D

圖7 有限元仿真應(yīng)變?cè)茍D

表2 中對(duì)集中荷載作用下減振器簧片在基于Timoshenko 梁理論構(gòu)建的高精度的力學(xué)模型下四階Runge-Kutta 數(shù)值解與有限元分析的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出基于Runge-Kutta 求解方法的理論解與有限元值吻合良好。通過平面應(yīng)力應(yīng)變分析，以有限元分析ANSYS 的計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，使用Timoshenko 梁理論所建立的力學(xué)模型理論解與其比較，最大的誤差才為-3.04%。從而證明了本研究求解方法對(duì)基于Timoshenko 理論建立的高精度力學(xué)模型的求解是可靠的，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

3 減振器設(shè)計(jì)參數(shù)分析

3.1 紫銅墊片長(zhǎng)度對(duì)變形和應(yīng)力的影響

紫銅墊片作為減振器中的阻尼原件，其在減振器運(yùn)行過程中雖然變形量很?。◣缀蹩梢院雎圆挥?jì)），但是卻對(duì)簧片組結(jié)構(gòu)的撓度有影響，也能改變簧片的彎曲應(yīng)力分布，所以選用合適的墊片長(zhǎng)度對(duì)于簧片組的性能發(fā)揮及強(qiáng)度壽命不容忽視。在研究紫銅墊片長(zhǎng)度對(duì)變形和應(yīng)力的影響之前首先要找到變形和應(yīng)力最大的位置。根據(jù)式（3）和（4）編寫Matlab 程序計(jì)算，繪制表2 中第一組參數(shù)簧片組的撓度曲線如圖8 所示、彎曲應(yīng)力分布曲線如圖9 所示。從撓度圖像圖8 可以看到，兩簧片僅在A 點(diǎn)接觸，前文假設(shè)的計(jì)算方法正確。從圖9 所示應(yīng)力計(jì)算結(jié)果中可以看到，簧片1 在[0，S]范圍內(nèi)的應(yīng)力逐漸增大，在[S，L]范圍內(nèi)逐漸減小到零；簧片2 在[0，S]范圍內(nèi)的應(yīng)力逐漸減小到零，在[S，L]范圍內(nèi)一直為零?；善墓潭ǘ撕妥香~墊片末端為彎曲應(yīng)力最大處。最大應(yīng)力大小和位置受到紫銅墊片長(zhǎng)度影響。

圖8 板簧片撓度曲線

圖9 簧片彎曲應(yīng)力曲線

紫銅墊片、簧片直接關(guān)系到減振器的減振性能。為了進(jìn)一步探究紫銅墊片長(zhǎng)度對(duì)變形和應(yīng)力的影響，以某型減振器為例，研究紫銅墊片長(zhǎng)度對(duì)變形和應(yīng)力的影響規(guī)律，以指導(dǎo)減振器的設(shè)計(jì)。從圖9 可得，簧片1 在A 點(diǎn)和簧片2 在B 點(diǎn)均為簧片彎曲應(yīng)力最大的地方，所以選擇這兩個(gè)點(diǎn)分析紫銅墊片長(zhǎng)度和簧片厚度對(duì)簧片應(yīng)力的影響。此時(shí)，只改變紫銅墊片長(zhǎng)度，其余參數(shù)不變，計(jì)算10 組不同墊片長(zhǎng)度下的簧片末端變形及彎曲應(yīng)力，其結(jié)果如圖10 和圖11 所示。由圖10 可見，隨著紫銅墊片長(zhǎng)度的增大，簧片1 末端變形減小，簧片2 末端變形增加，且越來越接近。在圖11中，存在一相應(yīng)的墊片長(zhǎng)度使得板簧片1 在A 處和板簧片2 在B 處的彎曲應(yīng)力值相等，且板簧片彎曲應(yīng)力隨著墊片長(zhǎng)度的增大先增加后減小。

圖10 墊片長(zhǎng)度對(duì)簧片變形影響

圖11 不同墊片長(zhǎng)度下的簧片應(yīng)力曲線

3.2 板簧片厚度對(duì)變形和應(yīng)力的影響

板簧片作為板簧扭振減振器的核心部件，對(duì)減振器的減振性能至關(guān)重要。以某型減振器為例，研究板簧片厚度等參數(shù)對(duì)變形和應(yīng)力的影響規(guī)律，以指導(dǎo)減振器的設(shè)計(jì)。用式（1）計(jì)算10 組不同板簧片厚度下板簧片1 末端撓度，用式（2）計(jì)算10 組不同板簧片厚度下板簧片2 末端撓度，用式（3）計(jì)算10 組不同板簧片厚度下板簧片1 在A 處的彎曲應(yīng)力，用式（4）計(jì)算10組不同板簧片厚度下板簧片2 在B 處的彎曲應(yīng)力。此時(shí)，只改變板簧片的厚度，其余設(shè)計(jì)參數(shù)不變。

圖12 為板簧片厚度與板簧片變形關(guān)系曲線，不同板簧片厚度下的板簧片應(yīng)力曲線如圖13 所示。由圖12 可以看出板簧片1 和板簧片2 末端變形均與板簧片厚度成負(fù)相關(guān)。圖13 表明板簧片1 在A 處彎曲應(yīng)力值和板簧片2 在B 處應(yīng)力值隨板簧片厚度的增大而顯著減小。

圖12 簧片厚度與簧片變形關(guān)系曲線

圖13 不同板簧片厚度下的應(yīng)力曲線

4 結(jié)束語

對(duì)依據(jù)Timoshenko 梁理論構(gòu)建的板簧扭振減振器高精度的力學(xué)模型，本研究利用Matlab 軟件編寫的基于Runge-Kutta 法的數(shù)值求解程序得到了所述模型中關(guān)鍵參數(shù)的數(shù)值解，采用了有限元分析進(jìn)行求解驗(yàn)證，并在此基礎(chǔ)上探討了力學(xué)性質(zhì)的影響參數(shù)及規(guī)律，主要結(jié)論如下：

（1）基于Runge-Kutta 法的數(shù)值求解結(jié)果與有限元數(shù)值吻合較好，具有較高的分析精度。證實(shí)了本研究方法可以用于減振器的計(jì)算分析。

（2）計(jì)算并給出了減振器板簧片的撓度和彎曲應(yīng)力曲線。隨著紫銅墊片長(zhǎng)度的增大，上、下兩板簧片末端變形越來越接近，且板簧片1 彎曲應(yīng)力最大處A和板簧片2 彎曲應(yīng)力最大處B 的彎曲應(yīng)力均隨著墊片長(zhǎng)度的增大先增加后減小。板簧片末端變形、板簧片1 彎曲應(yīng)力最大處A 和板簧片2 彎曲應(yīng)力最大處B 的彎曲應(yīng)力均隨板簧片厚度的增大而顯著減小。

（3）在減振器的設(shè)計(jì)、制造和選型中，所提出的應(yīng)力應(yīng)變影響規(guī)律可起到有益的參考作用，豐富了減振器的計(jì)算方法研究。