李紀三

(南京船舶雷達研究所 南京 210000)

1 引言

三坐標雷達(3D 雷達)是指能同時測量目標距離、方位和仰角或高度的雷達，采用相控陣天線的三坐標(3D)雷達是目前3D雷達的主要品種，但多數(shù)采用的是只在仰角上進行電掃描的線性陣列天線，這種1維電掃陣列天線還不能充分發(fā)揮相控陣雷達的優(yōu)勢，在性能上受到較大的限制，這是由于天線在方位上以機械方式實現(xiàn)掃描時，采用單波束相掃的3D雷達在搜索狀態(tài)下每個波束位置上的脈沖照射次數(shù)或波束駐留時間是有限的，很大程度上影響了雷達的反雜波性能，盡管天線波束在仰角上具有掃描的靈活性，雷達探測信號的能量可在仰角方向上合理分配，但所有的靈活性均只能在天線方位波束以機械方式掃過每個方位的時間內實現(xiàn)，因而工作方式的自適應能力不強，使雷達性能得不到充分發(fā)揮[1]。

為了滿足對新一代3D雷達的多任務、多功能需求，需要采用在方位與仰角上均能靈活掃描的相控陣天線，這種2維電掃相控陣天線安裝在可旋轉的天線座上，天線方位上機械轉動范圍為360°，因此在任一方位角位置上，天線波束可在一定的方位與仰角范圍內作高速相控掃描。在實現(xiàn)雷達信號能量管理方面，具有更多的靈活性。首先，在搜索方面，信號能量可同時在方位與仰角上進行合理分配，有利于實現(xiàn)集中信號能量(燒穿)工作方式。在雷達監(jiān)視區(qū)域以外或非重點監(jiān)視區(qū)域，以及在經若干次累積檢測均沒有發(fā)現(xiàn)目標的局部方位區(qū)域，當天線在方位上機械旋轉掃過時，可以分配較少的能量資源，而將信號發(fā)射到相鄰的需要檢測目標的方位區(qū)域。其次，在目標跟蹤方面，根據(jù)目標的態(tài)勢和威脅度可采用多種模式自適應跟蹤[2]。因此，為發(fā)揮最大的作戰(zhàn)效能，需對跟蹤的目標和掃描的空域進行實時的威脅度評估，并在此基礎上對掃描空域進行規(guī)劃，對工作模式進行優(yōu)化設計，對資源進行合理調配，可使之更有效地工作[3-5]。

對跟蹤目標的威脅度的評估，國內外作了充分的研究，目前常用的評估方法主要包括層次分析法、熵值法、模糊邏輯法和基于最大隸屬度的多屬性決策方法以及證據(jù)、貝葉斯網(wǎng)絡理論等[6-9]。而對區(qū)域的威脅度評估研究相對較少，雷達設計師對掃描區(qū)域的劃分也主要在仰角上，在不同的仰角層采用不同的信號波形，如英國的MESAR雷達[10]。

對區(qū)域的威脅度實時評估是2維旋轉相控陣雷達優(yōu)化探測效果的關鍵，為此本文提出一種旋轉相控陣雷達威脅區(qū)域的評估方法，通過對雷達最威脅路徑進行建模，將某點探測概率的倒數(shù)等價為目標通過該點的速度，探測概率越大，則目標通過該點花費的時間越多，反之則目標通過該處花費的時間越少，以此將威脅路徑的求解轉化為旅行用時最短問題。

本文采用快速行進法求解旅行用時最短滿足的離散的程函方程，將雷達所在處作為源點，每點的探測概率作為該點的速度，從源點到達任一點的最短用時滿足程函方程，將程函方程離散后并用快速行進法求解，得到了所有點到源點的最短用時，然后計算每點最短用時的梯度，利用梯度下降法，回溯找出目標點到源點的路徑，該路徑即為目標到源點的最短路徑。在雷達警戒區(qū)域的邊界上，每隔1°設置1個目標的初始點，計算出每點到達雷達源點的最短路徑，并對每條路徑進行探測概率積分求和，最小的對應著最威脅路徑，最威脅路徑所在的方位區(qū)域即為最威脅區(qū)域。

2 雷達的檢測概率

雷達的最威脅路徑的計算，可以等價為導彈的路徑規(guī)劃問題，即導彈從雷達的警戒區(qū)域的邊界上某點A飛向雷達，總存在一條路徑，相對于其他的路徑，使得導彈最不容易被雷達發(fā)現(xiàn)[11]，那么這條路徑就是導彈對應初始點A的最優(yōu)路徑。對于雷達來說，導彈的最優(yōu)路徑就是雷達的最威脅路徑。雷達在警戒區(qū)域的某點對導彈的發(fā)現(xiàn)能力通常用發(fā)現(xiàn)概率或者檢測概率 PD描述，檢測概率與目標的信噪比正相關。在加性高斯噪聲情況下，保持恒虛警率進行目標檢測時，目標檢測概率與信噪比的關系近似滿足式(1)(回波信號單幀檢測，不做積累等處理)[12]

其中， SNR 為以dB為單位的信噪比；PF為虛警率，一般取PF=10-6；PD為目標檢測概率，補余誤差函數(shù)為

檢測概率與雷達的信噪比正相關，雷達的信噪比越大則檢測概率越大，為了求出雷達在某處的檢測概率，需要求出雷達在此處的信噪比，文獻[13]給出了涵蓋目標態(tài)勢影響、環(huán)境態(tài)勢影響并考慮雷達接收機噪聲、系統(tǒng)損耗、脈沖積累的信號處理方式等主要因素的信噪比計算公式。

3 快速行進法計算雷達最威脅路徑

3.1 最威脅路徑

雷達的最威脅路徑，等價于來襲導彈的最優(yōu)路徑，即導彈沿著該路徑抵達雷達，最不容易被雷達發(fā)現(xiàn)。如果一條路徑檢測概率的積分小于另外一條路徑，則認為這條路徑對雷達來說的威脅度大于另外一條路徑，因此雷達的最威脅路徑可表示為在警戒區(qū)域φ 內 路徑c 的檢測概率積分最小

式(3)是典型的在區(qū)域內求極值問題，可用泛函的變分來求解，泛函的變分計算過程為

自變量x 在 區(qū)間[ a, b]內 存在一個函數(shù)y (x)，并且滿足邊界條件

并使泛函

取極值。

式(5)的泛函極值條件為δ V =0，即

根據(jù)式(5)，最威脅路徑的泛函可寫為

其中， g(x,y) 為在點( x,y) 的檢測概率，a 為雷達所在的點， b為導彈的位置，V 為整個路徑上檢測概率的積分，求得 V最小值對應的路徑即為導彈從b 飛向a 的最威脅路徑。

根據(jù)最小作用原理[11]

聯(lián)立式(13)和式(14)平方相加可得

計算出所有網(wǎng)格點的 V 后，利用梯度下降法可以 回溯出積分最短的路徑。

3.2 快速行進法求解程函方程

Sethian[14]于1996年首次提出快速行進法(fast marching method)，通過數(shù)值方法求解程函方程(eikonal equation)的近似解，以解決界面的傳播問題，將上節(jié)中的程函方程重寫為

其中， φ是2維或3維區(qū)域，τ 是區(qū)域邊界。在界面?zhèn)鞑栴}中，V (x)的 物理意義是到達點x 時 間，g(x)是界面在點 x處的局部傳播速度的倒數(shù)，也可以理解為在此點代價函數(shù)。在計算雷達的最短路徑中，V(x)為 源點到初始點的檢測概率積分，g (x)為檢測概率。

根據(jù)文獻[15]，利用差分法對式(17)進行離散可得

Δx, Δy 是在x 軸 和y 軸的網(wǎng)格寬度。

如果令

則離散的程函方程化簡為

快速行進法計算的流程如圖1所示[15,16]：(1)首先初始化源點O點的值，假設O點坐標為 x3,3；(2)將O點相鄰的節(jié)點即x2,3, x3,2, x3,4, x4,3移入窄帶區(qū)，用迎風法(upwind methods)計算窄帶區(qū)各節(jié)點的可能值[17]；(3)從窄帶區(qū)中找出值最小的節(jié)點(假設是節(jié)點 x3,2)，節(jié)點x3,2移入上風區(qū)；(4)將節(jié)點x3,4點 周圍的x3,1, x4,2, x2,2移入窄帶區(qū)，并計算其可能值；(5)從窄帶區(qū)中找出值最小的節(jié)點(假設是節(jié)點x2,3) ，移入上風區(qū)；(6)將節(jié)點x2,3點周圍的節(jié)點 x1,3, x2,4移 入窄帶區(qū)，并用節(jié)點x2,3的值計算其可 能值。

3.3 梯度下降法回溯最短路徑

圖1 快速行進法步驟

本文用于求解最威脅路徑的梯度下降法，也稱作最速下降法，是求解無約束優(yōu)化問題的經典方法?？梢詫⒇撎荻确较蜃鳛?維搜索的方向，用于解決優(yōu)化問題，因此這種方法被稱作梯度下降法。

考慮f(x)的泰勒展開式

如果函數(shù)值想要下降得最快，則需要?f(xk)Δxk取最小值，即

也就是說，此時x的變化方向(Δ xk的方向)跟梯度? f(xk)的方向恰好相反。

取步長為αk=α||?f(xk)||，于是牛頓迭代公式變?yōu)?/p>

此時 α是一個固定值，稱為學習率，通常取0 .1，該方法稱為固定學習率的梯度下降法。

4 仿真計算

4.1 檢測概率圖的生成

雷達的探測區(qū)域半徑為 300 km，雷達在坐標(300 km, 300 km)處，令Δ x, Δy 在x 軸 和y 軸的網(wǎng)格寬度為 Δ x=Δy =1 km，由于真實的雷達檢測概率涉及雷達的詳細參數(shù)，為了重點驗證算法的有效性，本文模擬生成雷達周圍的探測概率圖，警戒探測區(qū)每個網(wǎng)格點上的檢測概率設置為

其中， rand(1)為0～1之間的隨機數(shù)。在方位0°,90°, 180°和270°上設置了4個低檢測概率帶來模擬雷達的最威脅路徑，其檢測概率設置為

整個探測區(qū)域的檢測概率的分布如圖2所示。

5 快速行進法計算走時

利用第3節(jié)介紹的快速行進法計算從雷達源點開始到達任意點的走時V (x)， 網(wǎng)格上每點的V 值，如圖3所示，整個仿真區(qū)域為x(0 km, 600 km)，y(0 km, 600 km)，雷達位于(300 km, 300 km)，在圖中計算出的V 值范圍(0～300)用顏色灰度表示。

圖2 檢測概率分布

圖3 警戒區(qū)域每個網(wǎng)格點的V值

將每個網(wǎng)格點上的檢測概率設置為1，則 V的計算如圖4所示，當設置每個網(wǎng)格點的代價函數(shù)或者速度相同時，波面是按自由空間波傳播的形式向外傳播的，即離源點相同距離的網(wǎng)格點的V 值也相同。在圖5中，設置了每個網(wǎng)格點的代價函數(shù)不同，并且在4個方向，代價函數(shù)較小， V值在這幾個方向相同距離段上也較小，與實際情況也是相符的。檢測概率越小，波前行的代價越小，則對應的行進速度也越快。設置了4條低檢測概率的通道，從計算中可以看出，在4個方位上相同距離段上的走時最小。設置了導彈的初始點在坐標(520 km,560 km)，利用第4節(jié)介紹的最速下降法，回溯到雷達源點(300 km, 300 km)的最短路徑，路線結果如圖5所示。由圖5可以看出，導彈在接近雷達的過程中，會逐漸靠近0°這個低檢測概率帶，最后從方位0°方向到達雷達。

圖4 相同檢測概率的V 值

圖5 初始點(520, 560)的最短路徑

為了尋找雷達整個探測區(qū)域所有的威脅路徑以評估區(qū)域的威脅等級，在警戒區(qū)域的邊界上，按照方位1.5°間隔，設置了240個初始點，如圖6所示的圓上的點，圓心為雷達所在的位置，采用圖5計算出的 V值，利用最速下降法，求解這240個點最威脅路徑，圖6中的白線便是路徑，圖6的灰度值代表 V值與圖5相同，路徑大都匯聚在0°, 90°,180°和 270°這4個低檢測帶附近，與本文設置的低檢測概率通道一致，可以認為這4個通帶區(qū)域威脅度較高，需要雷達調配更多的時間和能量資源來探測。將每條路徑的檢測概率進行了求和，結果如圖7所示，在0°, 90°, 180°和 270°附近有區(qū)間的極小 值存在。

6 基于區(qū)域威脅度的資源調度仿真

具有2維相掃能力的相控陣雷達，如圖8所示，通過在方位上提前掃描和方位上回掃，可以在方位和仰角兩個維度上調配資源，資源調配的力度和靈活性更大。

圖6 所有方位上的最短路徑

圖7 每個方位上的威脅路徑檢測概率積分

圖8 波束偏掃示意圖

相比于固定面陣相控陣雷達，旋轉相控陣雷達有以下特點[17]：天線通過360°機械旋轉覆蓋整個探測區(qū)域，固定相控陣雷達采用3個或4個面陣共同覆蓋整個探測區(qū)域，因此旋轉相控陣雷達成本更低，功耗更小；對任一方位，旋轉相控陣雷達在2/3的時間天線波束照射不到，跟蹤的數(shù)據(jù)率不能連續(xù)漸變，只能離散取值。

為了提升旋轉相控陣雷達的作戰(zhàn)效能，需要根據(jù)其掃描特點，合理地設計工作方式和資源調度策略，在雷達的探測區(qū)域內，不同區(qū)域的雜波環(huán)境和態(tài)勢不同，為提升探測效果，可將探測區(qū)域在方位上分成若干個資源調度扇區(qū)，每個資源調度扇區(qū)分為若干個任務子扇區(qū)，同時根據(jù)第4節(jié)計算的任務子扇區(qū)的威脅度，不同的威脅度采用不同的數(shù)據(jù)率，或者根據(jù)威脅度分配不同的時間能量資源[2-4,18,19]。

在局部任務負載較重的情況下，較大的資源分區(qū)能夠使資源分配更優(yōu)化，使局部較大的負載量向兩邊釋放。天線勻速轉動，較大的分區(qū)必然要通過天線的偏掃來完成任務，天線的偏移量過多，會造成能量的損失和精度的下降。確定分區(qū)大小要考慮的因素：天線的轉速、警戒的數(shù)據(jù)率、調度間隔大小、波束偏移的限制[20,21]，分區(qū)大小計算如下。

相控陣雷達按照調度間隔編排任務，天線選擇一圈的時間為T_circle(通常為1 s, 2 s和4 s)，調度間隔T_interval(通常取值為50 ms, 100 ms)，每個調度間隔對應的任務區(qū)間φ 為

如果T_circle取值為4s，T_interval取值為100 ms，則一個調度間隔對應的天線轉過的區(qū)域為9°。每個資源調度扇區(qū)包含著整數(shù)個調度間隔，根據(jù)上面的分析，資源調度扇區(qū)大小要適中，所以每個資源扇區(qū)可選擇調度間隔數(shù)為：3, 4和5，對應著扇區(qū)大小為27°, 36°和45°，整個警戒區(qū)域360°對應的扇區(qū)數(shù)為360°/27°=13.3, 360°/36°=10,360°/45°=8。整個警戒區(qū)域的扇區(qū)數(shù)最好為整數(shù)，則扇區(qū)大小可選為：36°和45°。

綜合考慮計算的復雜度和調度的實時性，可取資源調度扇區(qū)大小為45°，每個資源調度扇區(qū)內包含調度間隔個數(shù)M=5。每個資源調度扇區(qū)再劃分為若干個任務子扇區(qū)，每個任務扇區(qū)單獨計算威脅度，然后根據(jù)威脅度確定搜索的數(shù)據(jù)率。考慮到工程的實現(xiàn)的簡單性要求的考慮，每個任務調度子扇區(qū)與調度間隔內天線轉過的角度可選擇一致，子扇區(qū)的大小為9°，即每個資源調度扇區(qū)包含著任務子扇區(qū)的個數(shù)為N=5，資源調度扇區(qū)和任務子扇區(qū)的關系如圖9所示。

圖9 扇區(qū)分區(qū)示意圖

如圖10所示，對旋轉相控陣雷達分區(qū)資源調度進行了仿真，系統(tǒng)按調度扇區(qū)分配時間資源，在搜索的方式下，每個調度扇區(qū)的總時間資源除去精跟、確認、失跟捕獲等高優(yōu)先級任務后，剩余的時間均勻地分配給任務子扇區(qū)，根據(jù)子扇區(qū)的威脅度確定搜索數(shù)據(jù)率，根據(jù)數(shù)據(jù)率確定本圈需要掃描的子扇區(qū)。若每個扇區(qū)預先留出突發(fā)任務的駐留時間，在無突發(fā)任務時又會造成極大的浪費，而且無法估計任務的個數(shù)，為此可采取扇區(qū)資源延遲補償策略，將本扇區(qū)的突發(fā)任務占有時間，移到下個扇區(qū)進行均衡。

圖10 資源調度仿真圖

7 結論

雷達警戒區(qū)的威脅度評估是旋轉相控陣雷達資源調度需要解決的關鍵問題之一，本文將雷達警戒區(qū)威脅度的評估問題，轉化為求解雷達最威脅路徑，進而轉化為最短路徑問題，即路徑上檢測概率的積分最小，利用快速行進法計算走時，然后通過最速下降法回溯出最威脅路徑，將威脅路徑所在的區(qū)域標記為最威脅區(qū)，通過增加威脅區(qū)的數(shù)據(jù)率來提高該區(qū)威脅目標的探測概率。經仿真驗證，威脅度評估方法合理有效，且在工程應用上有較強的現(xiàn)實意義；對于多功能相控陣雷達，可根據(jù)區(qū)域威脅度自適應調度波束實現(xiàn)對高威脅區(qū)進行加密搜索，從而實現(xiàn)對相控陣雷達資源的優(yōu)化管理。