鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正截面承載力統(tǒng)一算法研究

張 泉

[上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市200092]

0 引 言

現(xiàn)行《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3362—2018）（簡稱《規(guī)范》）第5.2～5.4條文，針對(duì)不同受力狀態(tài)，規(guī)定了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正截面承載力算法，并且規(guī)定在計(jì)算分析時(shí)應(yīng)首先區(qū)分受力狀態(tài)，確定適用規(guī)范條文后再進(jìn)行計(jì)算。

在不同計(jì)算工況下，同一個(gè)計(jì)算截面可能會(huì)有不同的受力狀態(tài)，若根據(jù)受力狀態(tài)分情況計(jì)算，則計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣?！兑?guī)范》算法適用較規(guī)則截面，如矩形、T 形、I 形、圓形，當(dāng)遇到不規(guī)則截面時(shí)就不能直接計(jì)算。為解決這些問題，曾有研究者由基本計(jì)算假定出發(fā)，根據(jù)材料的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在不同受力狀態(tài)下的正截面承載力統(tǒng)一算法[1]。

1 現(xiàn)行規(guī)范算法

根據(jù)《規(guī)范》第5.2～5.4 條文規(guī)定，不同受力狀態(tài)下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正截面承載力計(jì)算公式如下所示：

（1）對(duì)于矩形截面受彎構(gòu)件：

式中：γ0為結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)；Md為彎矩設(shè)計(jì)值；fcd為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；b為截面寬度；x為截面受壓區(qū)高度；f"sd為普通鋼筋受壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；為受壓區(qū)普通鋼筋截面面積；h0為截面有效高度；a"s為受壓區(qū)普通鋼筋合力點(diǎn)至受壓區(qū)邊緣距離；f"pd為預(yù)應(yīng)力鋼筋受壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；σ"p0為受壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力點(diǎn)處混凝土法向應(yīng)力等于零時(shí)預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力；A"p為受壓區(qū)縱向預(yù)應(yīng)力鋼筋截面面積；a"p為受壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力點(diǎn)至受壓區(qū)邊緣距離。

（2）對(duì)于軸心受壓構(gòu)件：

式中：Nd為軸向力設(shè)計(jì)值；φ 為軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)；A為軸壓構(gòu)件毛截面面積。

（3）對(duì)于矩形截面偏心受壓構(gòu)件：

式中：σs為截面受拉邊縱向鋼筋應(yīng)力；As為截面受拉邊縱向鋼筋截面積；e為軸向力作用點(diǎn)至受拉邊或受壓較小邊縱向鋼筋合力點(diǎn)的距離。

采用規(guī)范條文對(duì)偏心受壓構(gòu)件進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，式（3）、式（4）需同時(shí)滿足。式（3）用于驗(yàn)算截面軸力，式（4）用于驗(yàn)算截面彎矩。下述偏心受拉構(gòu)件的驗(yàn)算與此同理。

（4）對(duì)于軸心受拉構(gòu)件：

式中：Nud為構(gòu)件截面軸心受拉承載力；fpd為預(yù)應(yīng)力鋼筋受拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Ap為預(yù)應(yīng)力鋼筋截面積；fsd為普通鋼筋受拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

（5）對(duì)于矩形截面偏心受拉構(gòu)件：

a. 小偏心受拉構(gòu)件：

式中：e" 為軸拉力距受拉較小側(cè)鋼筋合力點(diǎn)距離；為受拉較小側(cè)截面有效高度；as為受拉較大側(cè)普通鋼筋合力中心距截面邊緣距離；ap為受拉較大側(cè)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力中心距截面邊緣距離。

式（6）、式（7）的適用條件與式（3）、式（4）相同。

b. 大偏心受拉構(gòu)件：

除上述公式之外，還有一些適用于特定情況的計(jì)算公式，詳見《規(guī)范》。

2 計(jì)算假定

根據(jù)《規(guī)范》第5.1.3 條規(guī)定，構(gòu)件正截面承載力計(jì)算應(yīng)滿足以下假定[3]：

（1）構(gòu)件彎曲后，其截面仍保持平面。

（2）截面受拉混凝土的抗拉強(qiáng)度不予考慮。

（3）縱向體內(nèi)鋼筋的應(yīng)力等于鋼筋應(yīng)變與其彈性模量的乘積。

另外，因本文討論鋼筋混凝土構(gòu)件，補(bǔ)充如下約定：截面無預(yù)應(yīng)力鋼筋及預(yù)應(yīng)力鋼束布置。

3 材料本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]第6.2.1 條規(guī)定，取混凝土及鋼筋材料本構(gòu)關(guān)系如下[4]。

（1）對(duì)于混凝土材料：

式中：σc為截面混凝土應(yīng)力；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；εc為截面混凝土應(yīng)變；ε0為混凝土壓應(yīng)力達(dá)到fc時(shí)的壓應(yīng)變，ε0=0.002+0.5（fcu，k-50）×10-5；εcu為混凝土極限壓應(yīng)變，εcu=0.003 3-（fcu，k-50）×10-5，其中 的fcu，k為混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值，fcu，k≥50；n=2.0-（fcu，k-50）/60。

混凝土材料本構(gòu)關(guān)系見圖1，圖中σ 為混凝土應(yīng)力。

（2）對(duì)于鋼筋材料：

圖1 混凝土本構(gòu)關(guān)系

式中：fy為鋼筋抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；其余參數(shù)含義見《規(guī)范》。

鋼筋材料本構(gòu)關(guān)系見圖2。

圖2 鋼筋本構(gòu)關(guān)系

4 計(jì)算理論

4.1 承載力計(jì)算

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]E.0.1 計(jì)算理論，以外力作用點(diǎn)為原點(diǎn)計(jì)算混凝土截面的應(yīng)力積分，并疊加所有鋼筋在原點(diǎn)處的內(nèi)力計(jì)算值作為截面抗力，分別列出Nx、My、Mz內(nèi)力平衡方程，得出截面極限承載力。截面形狀及內(nèi)力示意圖見圖3；截面應(yīng)力和應(yīng)變分布見圖4。

圖3 截面形狀及內(nèi)力示意圖

圖4 截面應(yīng)力和應(yīng)變分布

極限承載力Nxu、Myu、Mzu計(jì)算式為：

式中：dA為混凝土積分面積微元；σsi為第i根鋼筋應(yīng)力；Asi為第i根鋼筋截面積；z為混凝土積分面積微元中心z向坐標(biāo)；zi為第i根鋼筋中心z向坐標(biāo)；y為混凝土積分面積微元中心y向坐標(biāo)；yi為第i根鋼筋中心y向坐標(biāo)。

對(duì)任意形狀的混凝土截面，作用荷載（Nx、My、Mz），對(duì)雙向彎矩進(jìn)行合成計(jì)算如下：

式中：M為單向偏心受壓計(jì)算截面彎矩。

同時(shí)旋轉(zhuǎn)截面，使M方向指向z軸負(fù)向，如圖3所示，則可將雙向偏心受力構(gòu)件轉(zhuǎn)換為單向偏心受力構(gòu)件。

此時(shí)，承載力計(jì)算公式為式（13）、式（15）。

計(jì)算承載力時(shí)，按等偏心距原則確定極限狀態(tài)，即：

4.2 混凝土截面應(yīng)力積分計(jì)算

4.2.1 規(guī)范算法介紹

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]E.0.1 中，將混凝土截面細(xì)分為多個(gè)面積微元，計(jì)算各面積微元中心點(diǎn)的應(yīng)力，累加后作為整個(gè)截面的應(yīng)力積分。

這種計(jì)算方法比較直觀，容易操作，但其缺點(diǎn)為：

（1）計(jì)算精度與截面細(xì)分程度相關(guān)，若截面劃分精細(xì)，則計(jì)算精度高，計(jì)算量大；截面劃分粗糙，則計(jì)算精度低，計(jì)算量小。

（2）以面積微元中心點(diǎn)應(yīng)力代替整個(gè)面積微元應(yīng)力分布，會(huì)帶來計(jì)算誤差。

（3）計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)大量不必要的重復(fù)計(jì)算。當(dāng)2 個(gè)面積微元處于截面同一高度處，且應(yīng)力應(yīng)變相同時(shí)，仍需分別進(jìn)行計(jì)算。

為解決以上問題，經(jīng)過對(duì)規(guī)范算法的研究，提出分域積分算法來計(jì)算截面應(yīng)力積分。

4.2.2 分域積分算法

假定混凝土截面為直邊多邊形，即邊界線均由直線段構(gòu)成。對(duì)于一般截面，其中的曲線段(圓、圓弧、樣條曲線）均可細(xì)分轉(zhuǎn)換為直線段，從而滿足前述條件。

取任意一截面，假定y+ 區(qū)域受壓，y- 區(qū)域受拉，其計(jì)算截面、截面應(yīng)變和應(yīng)力分布見圖5。

由圖5 可知，混凝土截面分為3 個(gè)區(qū)域：最大應(yīng)力區(qū)A；梯度應(yīng)力區(qū)B；受拉區(qū)C。

A 區(qū)域應(yīng)力積分計(jì)算為：

圖5 截面形狀及應(yīng)力應(yīng)變分布

4.2.3 梯度區(qū)應(yīng)力積分計(jì)算

設(shè)該區(qū)域邊界有節(jié)點(diǎn)P1～Pn，其中Pi、Pi+1與Y軸構(gòu)成梯形子域Bi，如圖6 所示。

圖6 梯度區(qū)及應(yīng)力應(yīng)變分布

遍歷B 區(qū)所有邊界節(jié)點(diǎn)，可形成子域B1～Bn，其中Bn的邊界節(jié)點(diǎn)為Pn、P1。

設(shè)Pi坐標(biāo)（z2，y2），Pi+1 坐標(biāo)（z1，y1），計(jì)算Bi積分結(jié)果如下：

4.2.4 極限承載力計(jì)算

綜合上述計(jì)算式，可得鋼筋混凝土構(gòu)件正截面極限承載力計(jì)算公式為：

4.3 關(guān)鍵參數(shù)計(jì)算

在以上計(jì)算過程中，給定中性軸位置及截面轉(zhuǎn)角φ，可以得到1 組對(duì)應(yīng)的承載力計(jì)算結(jié)果。

4.3.1 中性軸范圍計(jì)算

設(shè)截面頂?shù)拙変摻钗恢梅謩e為y1，y2，則中性軸位置上限的條件是：y1處鋼筋應(yīng)變?yōu)棣舠u，且y2處鋼筋應(yīng)變?yōu)棣舠o；中性軸位置下限的條件是：y1處鋼筋應(yīng)變?yōu)棣舠o，且y2處鋼筋應(yīng)變?yōu)棣舠u。則計(jì)算中性軸上下限位置如下所示：

當(dāng)中性軸在yb～yt之間變動(dòng)時(shí)，截面承載力可以表現(xiàn)出軸心受拉、偏心受拉、偏心受壓、受彎狀態(tài)的特征，即偏心距e∈（-∞，+∞）。

4.3.2 截面轉(zhuǎn)角計(jì)算

給定中性軸位置后，按如下原則確定極限承載狀態(tài)下截面轉(zhuǎn)角φ：

（1）受壓側(cè)混凝土最大應(yīng)變?yōu)棣與u。

（2）受壓側(cè)鋼筋最大應(yīng)變?yōu)?0.01。

（3）受拉側(cè)鋼筋最大應(yīng)變?yōu)?.01。分別根據(jù)以上原則計(jì)算截面轉(zhuǎn)角并取最小值作為計(jì)算參數(shù)φ。

4.3.3 中性軸位置計(jì)算

由于無法以解析形式直接得出中性軸位置，可以在（yb，yy）范圍內(nèi)以二分試算方式尋找中性軸位置。判別條件如下：

（1）Nxu與Nx方向相同；（2）計(jì)算出（Nxu，Mzu）與（Nx，Mz）偏心距一致，即滿足式（17）條件。

5 計(jì)算中需注意的特殊情況

以上計(jì)算過程考慮鋼筋混凝土構(gòu)件的截面尺寸、材料特性、鋼筋布置、本構(gòu)關(guān)系、力學(xué)平衡等因素。另有一些特殊因素需考慮，在計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)這些因素對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正。

5.1 不計(jì)入間接鋼筋的軸心受壓構(gòu)件

根據(jù)《規(guī)范》第5.3.1 條規(guī)定，當(dāng)不計(jì)間接鋼筋作用時(shí)，軸心受壓構(gòu)件承載力按下式驗(yàn)算：

其中φ 為軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)。

為使前述算法仍適用于軸心受壓構(gòu)件，對(duì)上式進(jìn)行變形：

其中：fc=0.9φfcd；f"s=0.9φf"sd。

當(dāng)作用荷載（Nx，My，Mz）時(shí)，My=0，Mz=0，且Nx為壓力，可判別為軸心受壓構(gòu)件，應(yīng)對(duì)混凝土及鋼筋材料參數(shù)按式（30）修正，則得到的截面承載力滿足《規(guī)范》第5.3.1 條要求。

5.2 計(jì)入間接鋼筋的軸心受壓構(gòu)件

根據(jù)《規(guī)范》第5.3.2 條規(guī)定，軸心受壓構(gòu)件計(jì)入間接鋼筋作用，需滿足以下條件：

（1）鋼筋混凝土構(gòu)件；（2）圓形截面；（3）構(gòu)件長細(xì)比l0/i≤48；（4）配置螺旋式或焊接環(huán)式間接鋼筋；（5）間接鋼筋換算截面積≥全部縱向鋼筋截面積的25%；（6） 間接鋼筋間距不大于80 mm 且不大于dcor/5。

由以上條件可看出，《規(guī)范》第5.3.2 條中的算法是針對(duì)一種特定構(gòu)件的計(jì)算方法。因此，當(dāng)遇到這種情況時(shí)，可直接按照《規(guī)范》第5.3.2 條中的公式計(jì)算。

5.3 高配筋率構(gòu)件

在以上計(jì)算混凝土截面應(yīng)力積分時(shí)，采用混凝土毛截面，未扣除鋼筋面積。當(dāng)構(gòu)件配筋率較低（ρ≤1%）時(shí)，不會(huì)引起較大誤差。隨著配筋率提高，該誤差將不斷增大。

因此，對(duì)高配筋率構(gòu)件（ρ＞1%），需對(duì)式（27）中鋼筋內(nèi)力計(jì)算項(xiàng)修正如下：

式中：σci為第i根鋼筋中心處的混凝土應(yīng)力。

6 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

根據(jù)前述計(jì)算理論，以JAVA 1.8.0_191 實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程。在程序中引入第三方工具包jts-1.14.jar，對(duì)直邊平面域進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、剖切等操作。

選取空心板梁跨中截面如圖7 所示。

圖7 驗(yàn)算截面（單位：mm）

混凝土材料C40，材料參數(shù)如下：

鋼筋材料HRB400，材料參數(shù)如下：

設(shè)構(gòu)件的軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)φ=0.81。

坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在截面中心，計(jì)算得：

計(jì)算如表1 所示工況下的構(gòu)件承載力。

表1 中，軸力以壓力為正，彎矩以y+ 區(qū)域受壓為正。

將截面、材料、荷載信息輸入《橋梁博士V3.5》[5]軟件中計(jì)算，結(jié)果對(duì)比如表2 所示。

表1 計(jì)算工況

由表2 可看出，程序計(jì)算結(jié)果與《橋梁博士V3.5》計(jì)算結(jié)果一致，且程序計(jì)算結(jié)果略大于《橋梁博士V3.5》結(jié)果。原因是本文算法在計(jì)算混凝土域應(yīng)力積分時(shí)采用分區(qū)積分算法，計(jì)算結(jié)果精度更高。

表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

7 結(jié) 語

本文參考《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（2015 年版）》（GB 50010—2010）E.0.1 中的計(jì)算方法，通過改進(jìn)混凝土域應(yīng)力積分算法，提出了鋼筋混凝土構(gòu)件截面承載力計(jì)算統(tǒng)一算法。該算法可適應(yīng)任意受力狀態(tài)、任意截面形狀及配筋形式。

以JAVA 語言實(shí)現(xiàn)該算法，通過對(duì)一空心板截面進(jìn)行計(jì)算并與《橋梁博士V3.5》計(jì)算結(jié)果對(duì)比，說明算法結(jié)果準(zhǔn)確可靠。

該算法應(yīng)用于橋梁設(shè)計(jì)工作，可提高工作效率，降低手算工作量，對(duì)設(shè)計(jì)工作有較大幫助。