林志強(qiáng)

( 福州理工學(xué)院,福建 福州 350506 )

0 引言

在文獻(xiàn)[1]中，作者研究了帶有固定局部化源的拋物型方程組

得到了該方程組唯一非負(fù)古典解的存在性以及解的全局存在性的充分條件和該方程組在有限時間解的爆破性，并證明了在某一適當(dāng)?shù)臈l件下解的爆破集是整個區(qū)域.在文獻(xiàn)[2]中，作者研究了如下帶有非局部源的拋物型方程組：

作者得到了該方程組局部解的存在唯一性，并用上下解的方法得到了該方程組解的整體存在性和有限時刻爆破的充分條件.在文獻(xiàn)[3]中，作者研究了帶有局部源的拋物型方程整體解的存在性和解的爆破性.在文獻(xiàn)[4]中，作者研究了帶有非線性局部源的拋物型方程組解的一致爆破模式和邊界層問題.在文獻(xiàn)[5]中，作者研究了帶有局部源的滲流方程整體解的有界性.在文獻(xiàn)[6]中，作者研究了帶局部源的退化拋物方程(滲流方程)解的爆破性.在文獻(xiàn)[7]中，作者研究了帶局部源的退化和奇異的拋物方程解的爆破性.在文獻(xiàn)[8]中，作者研究了帶局部源的弱耦合退化和奇異拋物方程組整體解的存在性和解的爆破性.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文討論下列方程組：

(1)

問題(1)不僅可以用于描述帶有內(nèi)部局部源項(xiàng)的幾何體的熱傳導(dǎo)問題[9]，還可以用于描述某些動力系統(tǒng)發(fā)生在一點(diǎn)、幾點(diǎn)甚至某曲線處的物理現(xiàn)象[10-11]，因此研究問題(1)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 比較原理

為討論問題(1)的非負(fù)古典解的唯一性，首先給出問題(1)上下解的定義.

定義1稱非負(fù)函數(shù)(u(x,t),v(x,t))為問題(1)的上解，如果(u(x,t),v(x,t))∈[C([0,a]×[0,T))∩C2,1((0,a)×(0,T))]2且滿足

(2)

類似地,如果(u(x,t),v(x,t))∈[C([0,a]×[0,T))∩C2,1((0,a)×(0,T))]2滿足問題(2)的反向不等式，則稱其為問題(1)的下解.

ut-(xαux)x≥μ1(t)λ1(x0(t),t)u(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)v(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,T);

vt-(xβvx)x≥μ2(t)λ2(x0(t),t)v(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)u(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,T);

u(0,t)≥0,u(a,t)≥0,v(0,t)≥0,v(a,t)≥0,t∈(0,T);

u(x,0)≥0,v(x,0)≥0,x∈[0,a],

則有u(x,t)≥0,v(x,t)≥0,(x,t)∈[0,a]×[0,T).

(3)

則

w(x,t)≥0,z(x,t)≥0,(x,t)∈Ωr.

(4)

令w(x,t)=u(x,t)+ηec t,z(x,t)=v(x,t)+ηec t，其中η(η>0)充分小，C是待定的常數(shù),則在Ωr邊界上有w(x,t)>0,z(x,t)>0,且

wt-(xαwx)x-μ1(t)λ1(x0(t),t)w(x0(t),t)-ν1(t)θ1(x0(t),t)z(x0(t),t)≥

ηec t(c-μ1(t)λ1(x0(t),t)-ν1(t)θ1(x0(t),t));

zt-(xβzx)x-μ2(t)λ2(x0(t),t)z(x0(t),t)-ν2(t)θ2(x0(t),t)w(x0(t),t)≥

ηec t(c-μ2(t)λ2(x0(t),t)-ν2(t)θ2(x0(t),t)).

(5)

則(w(x,t),z(x,t))≥(≤)(u(x,t),v(x,t))，(x,t)∈[0,a]×[0,T).式(5)中r∈(0,T).

證明首先證明“ ≥ ”的情況.令φ1(x,t)=w(x,t)-u(x,t),φ2(x,t)=z(x,t)-v(x,t)，并將方程(5)減去問題(1)，則根據(jù)中值定理有：

φ1t-(xαφ1x)x≥emw(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)=emw(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-

em u(x0(t),t)+n z(x0(t),t)+em u(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)=en z(x0(t),t)[emw(x0(t),t)-em u(x0(t),t)]+

em u(x0(t),t)[en z(x0(t),t)-en v(x0(t),t)]=en z(x0(t),t)mem η1φ1(x0(t),t)+em u(x0(t),t)nen η2φ2(x0(t),t)=∶

μ1(t)λ1(x0(t),t)φ1(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)φ2(x0(t),t),

φ2t-(xβφ2x)x≥eq z(x0(t),t)+p w(x0(t),t)-eq v(x0(t),t)+p u(x0(t),t)=eq z(x0(t),t)+p w(x0(t),t)-

ep w(x0(t),t)+q v(x0(t),t)+ep w(x0(t),t)+q v(x0(t),t)-eq v(x0(t),t)+p u(x0(t),t)=(eq z(x0(t),t)-eq v(x0(t),t))ep w(x0(t),t)+

(ep w(x0(t),t)-ep u(x0(t),t))eq v(x0(t),t)=ep w(x0(t),t)qeq η3φ2(x0(t),t)+eq v(x0(t),t)pep η4φ1(x0(t),t)=∶

μ2(t)λ2(x0(t),t)φ2(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)φ1(x0(t),t).

其中η1和η3是u和w的中間值,η2和η4是v和z的中間值.由上述可知φ1(x,t)和φ2(x,t)滿足:

φ1t-(xαφ1x)x≥μ1(t)λ1(x0(t),t)φ1(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)φ2(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,r);

φ2t-(xβφ2x)x≥μ2(t)λ2(x0(t),t)φ2(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)φ1(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,r);

φ1(0,t)≥0,φ1(a,t)≥0,φ2(0,t)≥0,φ2(a,t)≥0,t∈(0,r);

φ1(x,0)≥0,φ2(x,0)≥0,x∈[0,a].

對任意r∈(0,T),由引理1知(φ1(x,t),φ2(x,t))≥(0,0)，所以在[0,a]×[0,T)上有w(x,t)≥u(x,t),z(x,t)≥v(x,t).因“ ≤ ”的證明與“ ≥ ”的情況類似,故省略.綜上,引理2得證.

2 解的有限時間爆破性

定理1假定(u,v)是問題(1)的非負(fù)解，則(u,v)在有限時刻爆破，且爆破集為(0,a).

3 解的同時爆破性

為了證明問題(1)的解存在全局爆破和爆破集，本文假設(shè)：

(H)α,β∈(0,1),且對于常數(shù)M1和M2有(xαu0x)x≤M1,(xαv0x)x≤M2,x∈(0,a).

引理3令假設(shè)(H)成立，則問題(1)的解(u(x,t),v(x,t))滿足

(xαux)x≤M1,(xαvx)x≤M2,(x,t)∈(0,a)×(0,T).

(6)

證明因引理3的證明與文獻(xiàn)[8]中的證明類似,故略.

引理4令假設(shè)(H)成立，并假定問題(1)的解(u(x,t),v(x,t))在有限時刻T同時爆破，則

證明因引理4的證明與文獻(xiàn)[8]中的證明類似,故略.

引理5令假設(shè)(H)成立，并假定問題(1)的解(u(x,t),v(x,t))在有限時刻T同時爆破，則

(7)

在任意子集[c,d]?(0,a)一致成立.

證明因引理5的證明與文獻(xiàn)[8]中的證明類似,故略.

定理2假定(u,v)是問題(1)的非負(fù)解，則以下結(jié)論成立：

(i)當(dāng)p≥m,n≥q時，u和v同時爆破；

(ii)當(dāng)p

證明i)假定u在有限時刻T爆破，而v在(0,a)×(0,T)上保持有界，則下列式子在(0,a)上的任意子集一致成立:

G′1(t)=g1(t)=em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)?em G1(t)+n v(x0(t),t),t→T;

G′2(t)=g2(t)=ep u(x0(t),t)+q v(x0(t),t)?ep G1(t)+q v(x0(t),t),t→T.

由于u0(x),v0(x),v(x,t)是(0,a)×(0,T)上的有界非負(fù)函數(shù)，所以存在4個正的有界函數(shù)ki(t),i=1,2,3,4,且同時有

k1(t)em G1(t)≤G′1(t)≤k2(t)em G1(t),t→T;

k3(t)ep G1(t)≤G′2(t)≤k4(t)ep G1(t),t→T.

(8)

由式(8)可得

(9)

(10)

k0(G1(t2)-G1(t1))≤G2(t2)-G2(t1),p=m.

(11)

假定v在有限時刻T爆破,u在(0,a)×(0,T)上保持有界，則當(dāng)n≥q時利用類似于上述的方法可得到u和v同時爆破.

ii)首先考慮p

(12)

(13)

(14)

當(dāng)pq時，在[0,t]上對式(14)進(jìn)行積分可得

(15)

(16)

4 解的爆破速率

定理3假定(u,v)是問題(1)的古典解，且(u,v)在有限時間T爆破.若α,β∈(0,1)且對于常數(shù)M1和M2有(xαu0x)x≤M1,(xαv0x)x≤M2,x∈(0,a),則下列結(jié)論成立：

(iv)當(dāng)p=m≥0且n=q≥0時，存在常數(shù)C(C>0)使得：

-cln(T-t)-C≤u(x,t)≤-Cln(T-t)+C,x∈(0,a),t→T;

-cln(T-t)-C≤v(x,t)≤-Cln(T-t)+C,x∈(0,a),t→T.

證明由定理2的證明可知,u和v在同一時刻T爆破.由引理5可得:

(17)

(18)

其中C>0,x∈(0,a),t足夠接近于T.由式(17)可得:

G′1(t)=g1(t)=em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)?em G1(t)+n G2(t),t→T;

(19)

G′2(t)=g2(t)=ep u(x0(t),t)+q v(x0(t),t)?ep G1(t)+q G2(t),t→T.

(20)

聯(lián)立式(19)和式(20)可得

(21)

i)由式(21)可得:

(22)

(23)

再由式(18)、(20)、(22)和式(23)可得:

(24)

(25)

再由式(7)即可得結(jié)論(i)成立.

ii)由式(8)得

(26)

(27)

(28)

由式(27)和式(28)可得

(29)

iii) (iii)的證明與(ii)的證明類似,故略.

(30)