一類擬線性薛定諤方程的H2(RN)-解的爆破現(xiàn)象

林振生, 龍群飛

( 1.福建工程學院 計算機科學與數(shù)學學院，福建 福州 350118；2.貴州師范大學 數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550025 )

0 引言

本文將考慮如下一類擬線性薛定諤方程

(1)

(2)

受到文獻[8]以及不等式(2)的啟發(fā)，本文在β∈R,θ∈R,2

1 主要結果及其證明

定理1設u(x,t)∈H2(RN)(N≥1)是方程(1)的解，并且滿足：

假設參數(shù)滿足下列條件之一：

注記3定理1中的條件(VI)也是文獻[8]中的關鍵性條件，且本文采用的引入附加參數(shù)及逼近的證明方法同樣適用于文獻[8]中的定理1.1.

在證明定理1之前，首先給出引理1.

引理1設u是方程(1)在0≤t

(3)

(4)

(5)

(6)

為了證明方便，記：

(7)

(8)

由上式可得：

由上式可得：

對上式取實部即可證得引理1中的(II).

由上式可得：

對上式取虛部即可證得引理1中的(III).

4)由于u是方程(1)的解，則對式(8)關于t求一次導數(shù)可得：

(9)

由于

(10)

(11)

(12)

因此將式(10)、(11)及式(12)代入式(9)即得式(6),由此可知引理1中的(IV)得證.

下面驗證E(0)≤0.根據(jù)檢驗函數(shù)u(x)的定義和引理1中的(II)有：

(13)

由以上可知，可以在不同允許取值參數(shù)范圍內(nèi)對E(0)≤0進行討論.

第2種情形 因為β>0,θ<0，所以式(13)中的第2個和第3個積分項都是非正的，并且第3個積分項恒負.而p>2，故當λ足夠大時，E(0)≤0成立.

第3種情形 因為β>0,θ≥0，所以在式(13)中只有第2個積分項是負的.而p>4，故當λ足夠大時，E(0)≤0成立.

定理1的證明根據(jù)E(0)≤0的爆破理論，需要從式(6)中得到如下不等式：

(14)

為了能使爆破指數(shù)p在定理1中的3種假設((IV)、(V)和(VI))條件下均能使式(14)成立，本文引入了一個參數(shù)α(α>0).于是由式(6)可得：

(15)

由式(15)可知，只需得到式(16)即可得到式(14).

(16)

由于引入的常數(shù)α與方程(1)無關，所以不能將定理1的條件直接代入式(15)進行驗算.因此，在滿足式(16)的條件下，本文利用式(15)對p的取值范圍進行如下分析：

根據(jù)D(t)、D1(t)的定義以及式(6)、(16)、柯西-施瓦茲不等式和變量分離法可得：

(17)

(18)

由式(18)可知，方程(1)的解在有限時間爆破.

推論1的證明根據(jù)定理1的證明可以得

(19)