胡茂萍

( 重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331 )

0 引言

混沌系統(tǒng)廣泛存在于非線性系統(tǒng)中.由于混沌系統(tǒng)具有遍歷性、不確定性和無法預(yù)測性，因此學(xué)者們相繼提出了一些控制方法以實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和同步，如自適應(yīng)控制、滑模控制、脈沖控制等方法[1-3]，其中脈沖控制策略因具有成本低、效率高的優(yōu)勢被很多研究者所關(guān)注.目前，利用脈沖控制方法所研究的相關(guān)文獻(xiàn)[4-8]中大多是假設(shè)脈沖是在固定時刻發(fā)生的，而在實際運用中由于硬件的影響，脈沖期望注入的時刻和實際發(fā)生的時刻往往存在偏差，進(jìn)而會導(dǎo)致脈沖出現(xiàn)在脈沖時窗內(nèi)的任一時刻；因此，研究混沌系統(tǒng)在變時刻脈沖控制下的行為具有重要意義.文獻(xiàn)[9]的作者研究了有脈沖時窗的憶阻混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.文獻(xiàn)[10]的作者研究了帶脈沖時窗憶阻混沌系統(tǒng)的同步問題.文獻(xiàn)[11]的作者研究了如下一類混沌系統(tǒng)：

(1)

其中x1、x2和x3是狀態(tài)變量.在參數(shù)a=16,c=24,d=4的條件下，當(dāng)b<0時，系統(tǒng)(1)是廣義Lorenz系統(tǒng)族；當(dāng)b=0時，系統(tǒng)(1)是廣義Lü系統(tǒng)族；當(dāng)b>0時，系統(tǒng)(1)是廣義Chen系統(tǒng)族.文獻(xiàn)[11]的作者研究了系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為、自適應(yīng)穩(wěn)定控制與異結(jié)構(gòu)同步，但未能考慮該系統(tǒng)在變時刻脈沖控制下的穩(wěn)定與同步.為此，本文利用數(shù)學(xué)歸納法研究了帶脈沖時窗系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并探討了帶有擾動的主從系統(tǒng)的脈沖同步問題.

1 混沌系統(tǒng)的非固定時刻脈沖控制

固定時刻脈沖控制系統(tǒng)可描述為：

(2)

(3)

(4)

(5)

則有脈沖時窗的混沌系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.

證明首先構(gòu)造與系統(tǒng)狀態(tài)變量x有關(guān)的Lyapunov函數(shù)V(t)=xTx.當(dāng)t≠τk,t∈(τk-1,τk]時有

qxTx+2M|2x1x3|≤qxTx+2MxTx≤(q+2M)xTx=ηV(t).

若控制增益矩陣Ck為常數(shù)矩陣C時，有如下推論：

推論2假設(shè)q是(A+AT)的最大特征值，q+2M=η,其中M是混沌系統(tǒng)的一個界，d是CTC的最大特征值.如果存在常數(shù)ξ>1滿足ητk +2+ln(ξd)≤ητk +1,則有脈沖控制的混沌系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.

2 混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒同步

帶有擾動的系統(tǒng)(1)的主系統(tǒng)可描述為：

(6)

(7)

系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(7)的同步誤差系統(tǒng)為：

(8)

(9)

(10)

則系統(tǒng)(6)與系統(tǒng)(7)可實現(xiàn)脈沖魯棒同步.

證明首先構(gòu)造與誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量e有關(guān)的Lyapunov函數(shù)V(t)=eTe.當(dāng)t≠τk,t∈(τk-1,τk]時有

qeTe+2MeTe+MeTe+eTe+L2eTe=(q+1+L2+3M)V(t)=hV(t).

即當(dāng)t→∞時有V(t,e)→0.由此可知e→0,這表明此時誤差系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的，進(jìn)而知系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(7)在變時刻脈沖控制下能夠達(dá)到魯棒同步.

3 數(shù)值模擬

圖1 誤差系統(tǒng)(9)的狀態(tài)曲線