何雪晴,韋煜明
(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541000)
(1)
其中S(t)為t時(shí)刻的易感者數(shù),I(t)為t時(shí)刻的染病者數(shù),R(t)為t時(shí)刻染病者恢復(fù)數(shù),μ為出生率和死亡率,p是成功接種者的比例(經(jīng)常接種疫苗可降低易感者的出生率),m是受感染父母的后代中易感個(gè)體的比例,n是受感染父母的后代中也患病的比例,m+n=1,γ為恢復(fù)率,λ為免疫喪失率.
易知模型(1)的確定性模型為
(2)
證明模型(1)中的系數(shù)是局部Lipschitz連續(xù)的,故在[0,τε)上存在唯一的局部解,τε是爆破時(shí)刻.下證τε=∞ a.s..令ε0>0使得S0>ε0,I0>ε0,R0>ε0.對(duì)任意正數(shù)ε≤ε0,定義停時(shí)τε:
τε=inf{t∈[0,τε):S(t)≤ε或I(t)≤ε},
V(S(t),I(t),R(t))=-lnS(t)-lnI(t)-lnR(t).
顯然V是正定的.由It公式,有
其中
于是
p+2μ+γ+λ+β+σ2∶=C,
所以
(3)
對(duì)式(3)兩邊從0到τε∧T積分并取期望,得到
EV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))≤V(S0,I0,R0)+CT.
(4)
令Ωε={τε∧T},對(duì)?ε≤ε1,則P(Ωε)>δ.即,對(duì)?ω∈Ωε,S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω)中至少有一個(gè)等于ε,所以
V(S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω))≥-lnε.
(5)
由(4),(5)可得
V(S0,I0,R0)+CT≥E[IΩεV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))]=
P(Ωε)V(S(τε),I(τε),R(τε))>-δlnε,
其中IΩε是Ωε的示性函數(shù).令ε→0,則有
∞>V(S0,I0,R0)+CT=∞,
故τ0=∞ a.s.,引理2.1得證.
根據(jù)引理2.1,可設(shè)一個(gè)正不變集Γ,對(duì)任意初始值(S0,I0,R0)∈Γ,
由此可給出如下引理.
引理2.2 令(S(t),I(t),R(t))是模型(1)的解,(S0,I0,R0)∈Γ,則
其中k為有限常數(shù).再由Borel-Cantelli引理[13],對(duì)幾乎所有的ω∈Ω,可以得到
P(Ωε)≥1-ε,t≥T(ω),ω∈Ωε,
因此
故引理2.2得證.
本節(jié)給出疾病幾乎必然滅絕的一個(gè)充分條件.令
證明設(shè)(S(t),I(t),R(t))是模型(2)的解,初值(S0,I0,R0)∈Γ.對(duì)模型(2)的第二個(gè)等式利用It公式得
(6)
對(duì)式(6)兩邊從0到t積分,有
(nμ-γ-μ)t+M(t)+lnI(0),
(7)
(8)
對(duì)式(8)兩邊同時(shí)除以t,得
(9)
(10)
進(jìn)而有
(11)
對(duì)式(11)兩邊同時(shí)取上極限得
綜上所述,定理3.1得證.
證明對(duì)模型(1)中的第三個(gè)等式的兩邊進(jìn)行從0到t積分,并且同時(shí)除以t得到
(12)
由S(t)+I(t)+R(t)=1,可知〈S(t)〉+〈I(t)〉+〈R(t)〉=1,從而
又由(6)可知
(13)
對(duì)式(13)兩端從0到t進(jìn)行積分,并且同時(shí)除以t有
故
(14)
又因?yàn)镽(t),I(t)≤1,故有
所以由式(12)可知
對(duì)式(14)兩端同時(shí)取下極限,得到
因此定理4.1得證.
為了驗(yàn)證得出的結(jié)果,下面通過(guò)使用 Euler Maruyama(EM)方法[13],對(duì)模型(1)和(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.為了驗(yàn)證得出的結(jié)果,取g(I)=0.001,初始值為(S0,I0,R0)=(0.7,0.5.0.3).當(dāng)σ=0時(shí),對(duì)應(yīng)確定性模型(2)選取β=0.07,γ=0.113,m=0.04,n=0.96,μ=0.008,P=0.001,λ=0.002,α=0.001,則R0≈0.56<1,無(wú)病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的,如圖1;若β=0.15,則R0≈1.60>1,地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的,如圖2.
圖 1 圖 2
圖 3 圖 4
圖 5