高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子法

朱美玲

【摘要】微分算子法是求解常系數(shù)微分方程的一種方法，本文利用算子性質(zhì)推導出求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種方法，并給出三種常見類型的常系數(shù)非齊次線性微分方程的具體解法.

【關鍵詞】比較系數(shù)法;常微分方程;算子;特解

常微分方程在當代數(shù)學中是極其重要的一個分支，實用價值很高.微分方程在運動學、動力學、電子技術等學科中具有十分廣泛的應用，比如電子裝置的設計、自動控制系統(tǒng)的開發(fā)、彈道軌跡的計算及飛機、導彈等飛行穩(wěn)定性的研究等.這些問題通過建立數(shù)學模型都可以轉(zhuǎn)化為常微分方程的解，或者研究其解的性質(zhì)問題.雖然常微分方程的應用已經(jīng)取得了很大進展，但還有許多方面有待進一步研究，其中常微分方程的解法就是其中的一個方面.單從數(shù)學教學方面來講，常微分方程的求解是高等數(shù)學中的難點和重點之一，其中求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解又是線性微分方程理論的重要組成部分.高等數(shù)學教學中求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的常用方法是比較系數(shù)法，即先設出原方程的特解，然后再代入原方程，最后通過比較方程兩端同類項的系數(shù)，從而求得特解.因為求解過程中涉及求導計算和解方程組的運算，所以求解過程比較復雜，計算比較繁瑣，容易出錯.但用拉普拉斯變換或傅立葉變換求特解需要大量的復變函數(shù)的知識，對于初學者來說又有一定的難度.因此本文從微分算子的概念出發(fā)，結(jié)合微分算子的性質(zhì)，給出了用微分算子法求幾類微分方程的特解的方法，通過將微分算子法與比較系數(shù)法對比可知，微分算子法沒有繁瑣的求導解方程的過程，計算比較簡潔，易于學生掌握.

四、總結(jié)

常微分方程在許多領域都具有廣泛的應用，對常微分方程解法的學習及研究對教學和實際應用都有很大的價值.本文從微分算子概念出發(fā)，結(jié)合微分算子的性質(zhì)，給出了用微分算子法求幾類微分方程的特解，與比較系數(shù)法相比，微分算子法沒有繁瑣的求導解方程的過程，計算比較簡潔，相對于拉普拉斯變換，微分算子法易于理解和掌握，對于高職高專一些應用性較強的專業(yè)的學生來說，這種方法既簡便又實用，當然它也有一定的適用范圍，對于其他解法還需要更深一步的研究.

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