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      如何正確運(yùn)用χ2檢驗(yàn)
      ——三種R×C列聯(lián)表資料的CMH χ2檢驗(yàn)

      2021-05-14 11:55:12胡純嚴(yán)胡良平
      四川精神衛(wèi)生 2021年2期
      關(guān)鍵詞:計(jì)算結(jié)果資料變量

      胡純嚴(yán) ,胡良平 ,2*

      (1.軍事科學(xué)院研究生院,北京 100850;2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì),北京 100029*通信作者:胡良平,E-mail:lphu927@163.com)

      在橫斷面設(shè)計(jì)的二維列聯(lián)表資料或稱為R×C列聯(lián)表資料中,根據(jù)兩變量是否為有序變量,可以歸納出三種不同的二維列聯(lián)表資料:①雙向無(wú)序R×C列聯(lián)表資料;②結(jié)果變量為有序變量R×C列聯(lián)表資料;③雙向有序且屬性不同R×C列聯(lián)表資料。對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法分別為“獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)”“秩和檢驗(yàn)”和“相關(guān)分析”,它們可以被概括成一種統(tǒng)計(jì)分析方法,即CMH χ2檢驗(yàn)。本文介紹廣義CMH χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其三種變形,并基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算。

      1 適合進(jìn)行CMH χ2檢驗(yàn)的三種R×C列聯(lián)表資料的實(shí)例

      1.1 雙向無(wú)序R×C列聯(lián)表資料的實(shí)例

      【例1】文獻(xiàn)[1]中有一個(gè)雙向無(wú)序R×C表資料(說(shuō)明:不考慮“時(shí)間”的有序性),見(jiàn)表1,試分析“條目”與“時(shí)間”之間是否存在關(guān)聯(lián)性。

      表1 基層精防醫(yī)護(hù)人員K6評(píng)定結(jié)果

      1.2 結(jié)果變量為有序變量R×C列聯(lián)表資料的實(shí)例

      【例2】文獻(xiàn)[2]給出了如下臨床資料:比較三種對(duì)肥厚性鼻炎(HR)治療方法的效果。將162例HR患者分為三組,A組(n=56)行下鼻甲骨黏骨膜下切除術(shù),B組(n=43)行下鼻甲部分切除術(shù),C組(n=63)行下鼻甲黏膜下微波熱凝術(shù)。治療效果見(jiàn)表2。試對(duì)三組治療效果進(jìn)行比較。

      表2 三組下鼻甲手術(shù)治療的臨床效果

      1.3 雙向有序R×C列聯(lián)表資料的實(shí)例

      【例3】在文獻(xiàn)[3]中,為探討新冠肺炎疫情期間居民急性應(yīng)激障礙(ASD)癥狀的檢出情況及影響因素,得到有效問(wèn)卷16 048份,有效問(wèn)卷回收率為72.83%。在該研究中,因素“媒體暴露情況(時(shí)間)”與結(jié)果變量(出現(xiàn)ASD癥狀的程度)之間的數(shù)量關(guān)系如表3所示。試分析“媒體暴露情況(時(shí)間)”與“ASD癥狀的程度”之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。

      表3 媒體暴露情況(時(shí)間)與ASD癥狀檢出情況的調(diào)查結(jié)果

      2 CMH χ2檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其三種變形

      2.1 “CMH”的含義

      “CMH”是“Cochran-Mantel-Haenszel”的縮寫(xiě),即采用三位作者姓名的第一個(gè)字母來(lái)命名該分析方法 ,實(shí)際上,Cochran、Mantel、Haenszel、Mantel、Birch、Landis、Heyman和Koch都對(duì)該分析方法做出過(guò)貢獻(xiàn)[4]。

      2.2 廣義CMH χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義

      一般來(lái)說(shuō),CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是為分析高維列聯(lián)表資料而構(gòu)造出來(lái)的。將高維列聯(lián)表資料按某一個(gè)或多個(gè)因素進(jìn)行分層,每層都應(yīng)該是規(guī)模相同的R×C列聯(lián)表資料。下面以表4形式表示第h層的R×C表,h=1、2、…、q。q為層數(shù),R為行數(shù),C為列數(shù)。

      表4 第h層R×C列聯(lián)表的列表格式

      廣義CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量[4]定義如下:

      需注意的是,當(dāng)各層間效應(yīng)方向不一致時(shí),CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效很低。

      2.3 廣義CMH χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的三種變形

      2.3.1 概述

      式(1)是以矩陣形式呈現(xiàn)的計(jì)算公式,很不直觀。由于它試圖達(dá)到高維列聯(lián)表資料的多種不同分析目的(例如獨(dú)立性分析、相關(guān)性分析、差異性分析),故其隱含諸多前提條件,包括“是否存在有序變量”“如何給有序變量賦值”。基于不同的前提條件,就會(huì)產(chǎn)生出不同的統(tǒng)計(jì)計(jì)算公式。為了直觀起見(jiàn),現(xiàn)假定只有一層,即一個(gè)二維R×C列聯(lián)表資料,基于不同的前提條件,將式(1)轉(zhuǎn)變成三種具體的、直觀的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

      2.3.2 與備擇假設(shè)為“非零相關(guān)”對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

      若擬分析的資料如本文表3(即雙向有序R×C列聯(lián)表資料)所示,此時(shí)式(1)就簡(jiǎn)化成下式:

      2.3.3 與備擇假設(shè)為“行平均評(píng)分不同”對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

      若擬分析的資料如本文表2(即結(jié)果變量為有序變量R×C列聯(lián)表資料)所示,此時(shí)式(1)就簡(jiǎn)化成下面兩個(gè)式子之一:

      在式(3)中,“∝”代表“呈正比”;當(dāng)給R×C列聯(lián)表的列變量(即結(jié)果變量)賦值或評(píng)分時(shí),若按“表評(píng)分”方式評(píng)分,就采用式(3)(即單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料方差分析)計(jì)算[4,7];否則[包括“rank(秩)評(píng)分”“Ridit評(píng)分”和“修正的Ridit評(píng)分”],就采用式(4)(即單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料Kruskal-Wallis’s H秩和檢驗(yàn))計(jì)算[4,7]。在式(4)中,ni與Mi分別代表第i組中的“樣本含量”與“秩和”。

      在式(3)中,可對(duì)F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行變換,見(jiàn)下式:

      通過(guò)對(duì)式(5)變形,可以得到下式[8-9]:

      式(6)的含義是:采用單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料方差分析得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值后,乘以組間自由度df組間所得到的結(jié)果,近似服從自由度為df組間的χ2分布。

      2.3.4 與備擇假設(shè)為“一般關(guān)聯(lián)性”對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

      若擬分析的資料如本文表1(即雙向無(wú)序R×C列聯(lián)表資料)所示,此時(shí)式(1)就簡(jiǎn)化成下式:

      3 CMH χ2檢驗(yàn)的SAS實(shí)現(xiàn)

      【例4】沿用例3的資料,試將其分別視為“雙向有序R×C列聯(lián)表資料”“結(jié)果變量為有序變量R×C列聯(lián)表資料”和“雙向無(wú)序R×C列聯(lián)表資料”,同時(shí)對(duì)其進(jìn)行CMHχ2檢驗(yàn)?;凇氨碓u(píng)分”算法所需要的SAS程序如下:

      以上是基于“表評(píng)分”算法所得CMH χ2檢驗(yàn)的三種計(jì)算結(jié)果,分別對(duì)應(yīng)三種不同的備擇假設(shè):第一種,“非零相關(guān)(即行、列兩有序變量之間具有非零的相關(guān)關(guān)系)”,=6.635,df=1,P=0.0100;第二種,“行評(píng)分均值不同(即各行上有序結(jié)果變量的評(píng)分值的平均數(shù)不等)”,=33.7083,d f=4,P<0.0001;第三種,“常規(guī)關(guān)聯(lián)(即行、列兩無(wú)序變量之間存在關(guān)聯(lián)性)”,=36.6435,df=8,P<0.0001。

      以上三種檢驗(yàn)都得出P<0.01,故接受備擇假設(shè)。對(duì)本例而言,可以認(rèn)為:①“媒體暴露情況(時(shí)間)”與“ASD程度”之間存在“非零相關(guān)”,具體地說(shuō),隨著媒體暴露時(shí)間延長(zhǎng),出現(xiàn)重度ASD癥狀的比例呈非線性上升趨勢(shì);②五種不同媒體暴露時(shí)間所對(duì)應(yīng)的平均ASD值是不相等的,除第2個(gè)時(shí)間段之外,其他4個(gè)時(shí)間段都隨著“暴露時(shí)間延長(zhǎng)”,平均ASD值變大(即ASD癥狀程度逐漸加重);③媒體暴露情況(時(shí)間)與ASD程度之間存在關(guān)聯(lián)性(前面的“①”和“②”可以清楚體現(xiàn)出兩變量之間是如何關(guān)聯(lián)的)。

      4 給有序變量評(píng)分的方法

      4.1 表評(píng)分方法

      在前面的SAS程序中,在“tables語(yǔ)句”中出現(xiàn)了選項(xiàng)“SCORES=table”,其含義是用表格里規(guī)定的方式給有序變量評(píng)分。這里的“表格”,其實(shí)是指SAS程序中如何給“行變量”或“列變量”賦值。“DO A=1 TO 5;”就是讓“行變量 A”依次取 1、2、3、4、5分;同理,“DO B=1 TO 3;”就是讓“列變量B”依次取1、2、3分。當(dāng)然,也可以給變量A或B賦任意的幾個(gè)由小到大的數(shù)值,例如“DO A=0.1,1.2,13.5,21.8,34.6;”。

      4.2 其他評(píng)分方法

      在SAS/STAT的FREQ過(guò)程中,還有另外三種評(píng)分方法,分別為“rank評(píng)分法”“ridit評(píng)分法”和“修正的ridit評(píng)分法”,對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)依次為“SCORES=rank”“SCORES=ridit”和“SCORES=modridit”。

      4.3 評(píng)分方法與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法之間的關(guān)系

      對(duì)“常規(guī)關(guān)聯(lián)”的計(jì)算結(jié)果而言,四種評(píng)分方法所得計(jì)算結(jié)果是完全相同的,因?yàn)橛?jì)算公式中不涉及“評(píng)分”;對(duì)“非零相關(guān)”的計(jì)算結(jié)果而言,“表評(píng)分法”(采用Pearson’s相關(guān)分析)與另外三種評(píng)分法(其結(jié)果是一樣的,采用Spearman’s秩相關(guān)分析)計(jì)算結(jié)果可能相差很大、甚至結(jié)論相反;對(duì)“行評(píng)分均值不同”的計(jì)算結(jié)果而言,“表評(píng)分法”(采用單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料方差分析)與另外三種評(píng)分法(其結(jié)果是一樣的,采用單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料Kruskal-Wallis’s H秩和檢驗(yàn))計(jì)算結(jié)果稍有差別。例如,例4“基于秩評(píng)分”的結(jié)果如下:

      【說(shuō)明】“ridit評(píng)分法”和“修正的ridit評(píng)分法”輸出結(jié)果與“基于秩評(píng)分”方法輸出結(jié)果相同,此處從略。

      注意:“非零相關(guān)”的結(jié)果與前面“基于表評(píng)分”的結(jié)果相反;四種評(píng)分法對(duì)應(yīng)的“常規(guī)關(guān)聯(lián)”結(jié)果都是χ2=36.6435、P<0.0001;四種評(píng)分法對(duì)應(yīng)的“行評(píng)分均值不同”有兩個(gè)不同的計(jì)算結(jié)果,分別為“χ2=33.7083[采用方差分析計(jì)算再基于式(6)轉(zhuǎn)換的結(jié)果]”與“χ2=31.2716(采用 Kruskal-Wallis’s H秩和檢驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果)”,但P值都小于0.0001。

      5 討論與小結(jié)

      5.1 討論

      在給“scores=”選項(xiàng)指定“table”或其他三種非參數(shù)評(píng)分法(即rank、ridit和modridit)時(shí),為什么“非零相關(guān)”有兩個(gè)完全相反的結(jié)果?原因在于:前者采用的是“Pearson’s相關(guān)分析”,而后者采用的是“Spearman’s秩相關(guān)分析”。就例3資料而言,分別基于“Pearson’s相關(guān)分析”與“Spearman’s秩相關(guān)分析”得到“r=0.02033”與“rs=0.00568”。依據(jù)式(2)可算出對(duì)應(yīng)的CMH χ2值分別為6.632368(與前面相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果6.6350很接近)和0.517715(與前面相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果0.5174很接近)。

      在“常規(guī)關(guān)聯(lián)”的分析中,將有序變量視為無(wú)序變量或名義變量,故給“scores=”選項(xiàng)指定四種內(nèi)容(即table、rank、ridit和modridit)時(shí),所得結(jié)果完全相同。就例3資料而言,。它在本質(zhì)上就是=36.6458(即Pearson’s擬合優(yōu)度χ2值),由式(7)可知:

      在備擇假設(shè)為“行評(píng)分均值不同”時(shí),SAS/STAT中FREQ過(guò)程將此時(shí)的資料視為“單因素R水平設(shè)計(jì)一元定量資料”。若采用“表評(píng)分(即scores=table)”,則SAS/STAT中FREQ過(guò)程采用“單因素方差分析”;若采用其他三種評(píng)分,SAS/STAT中FREQ過(guò)程采用Kruskal-Wallis’s秩和檢驗(yàn)。事實(shí)上,就是把結(jié)果變量B視為“定量變量”,因此,對(duì)結(jié)果變量B的賦值方法不同,將直接影響R×C列聯(lián)表資料各行上結(jié)果變量平均值的計(jì)算結(jié)果。四種評(píng)分方法對(duì)應(yīng)結(jié)果變量B的3個(gè)評(píng)分值如下:

      若直接采用SAS/STAT中ANOVA過(guò)程計(jì)算,得到F=8.44、df=4,基于式(6)可算得≈ 8.44 × 4=33.76,與“scores=table”對(duì)應(yīng)的“行評(píng)分均值不同”時(shí)的“=33.7083”比較接近;若直接采用SAS/STAT中NPAR1WAY過(guò)程計(jì)算,得到H=31.2716,與“scores=rank”對(duì)應(yīng)的“行評(píng)分均值不同”時(shí)的“=31.2716”完全相同。

      值得一提的是,在分析二維列聯(lián)表資料時(shí),三種非參數(shù)評(píng)分法輸出的三種檢驗(yàn)結(jié)果相同;但若是分析高維列聯(lián)表資料,情況就不盡相同了。因篇幅所限,此處從略。

      5.2 小結(jié)

      本文呈現(xiàn)了三種R×C列聯(lián)表資料的實(shí)例及其三種相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析方法,這些方法可概括成廣義CMH χ2檢驗(yàn);基于SAS/STAT中FREQ過(guò)程對(duì)R×C列聯(lián)表資料進(jìn)行分析時(shí),可同時(shí)輸出三種統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果;本文還詳細(xì)揭示了選取不同的“評(píng)分”方法,將會(huì)影響“非零相關(guān)”與“行評(píng)分均值不同”計(jì)算結(jié)果的真實(shí)原因。

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