佛光現(xiàn)象的研究與模擬

許清瀅 賈嘉琪 黃 振 吳青林

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430079)

佛光是生活中一種常見的大氣光學(xué)現(xiàn)象.在太陽光的照射下，當(dāng)觀察者站在峰頂背對太陽時，如果視線前方的山谷有大量云霧，就可能觀察到一圈或數(shù)圈明亮的同心彩色圓環(huán)，觀察者的頭部的影子位于彩色圓環(huán)的正中間，這就是所謂的佛光.佛光在我國的峨眉山、黃山等地最為常見，也稱為峨眉佛光.南宋范成大所著的《吳船錄》中將峨眉山光明巖的佛光現(xiàn)象描述為“俯視巖腹,有大圓光，偃臥平云之上.外暈三重，每重有青黃紅綠之色.光之正中，虛明凝湛，觀者各自見其形現(xiàn)于虛明之處，毫厘無隱，一如對鏡，舉手動足，影皆隨形而不見傍人”.佛光在歐洲的布羅肯峰也十分常見，因此被稱為布羅肯幽靈.從云層上的飛機有時也能觀察到佛光，其彩色圓環(huán)中央為飛機的影子.

佛光和彩虹、日暈等都是日常生活中常見的大氣光學(xué)現(xiàn)象.其中彩虹、日暈等都可以用幾何光學(xué)原理加以解釋，而佛光形成機制比較復(fù)雜，至今仍有多種解釋.本文以一次在飛機上觀察到的佛光為例，利用米散射理論和德拜級數(shù)模擬佛光，借助計算機仿真程序探究佛光的形成原理以及可以產(chǎn)生佛光的水滴尺寸范圍.并結(jié)合古斯-漢欣效應(yīng)分析了入射光線在球形液滴中的散射情況和佛光彩色光環(huán)的形成原因．

1 佛光的模擬

1.1 佛光的基本信息

本文討論的佛光如圖1所示，是筆者于2019年10月20日16:45拍攝于武漢飛往銀川的MF8237航班上.此時飛機位于隨州上空，東經(jīng)113.25°、北緯32.06°，高度為7 193.28 m，航向為326°.

圖1 在飛機上觀察到的佛光現(xiàn)象

從圖中可以看到此佛光有清晰可見的彩色光環(huán)，由內(nèi)向外依次是藍色、白色、黃色、橙色，佛光的正中心是拍攝者所在的座位(位于右側(cè)機翼的前方). 拍攝使用的設(shè)備是小米5x手機.根據(jù)幾何光學(xué)成像原理，可以估算出圖中佛光的視角范圍約為3.43～5.56°.

1.2 基于米散射模擬佛光現(xiàn)象

米散射理論是德國科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場中對平面波散射的精確解[1，2].米散射理論適用于任何尺寸的微粒散射, 一般把微粒直徑與入射光波長相當(dāng)?shù)奈⒘Ｋ纬傻纳⑸浞Q為米散射.云霧顆粒的尺寸一般在微米量級，因此太陽光被云霧散射的情形屬于米散射.

圖2給出了根據(jù)米散射理論模擬的佛光圖樣和真實的佛光照片對比，圖中下半部是模擬結(jié)果，上半部是實際的佛光圖片.米散射模擬選取的水滴尺寸為4.6 μm，尺寸分布范圍16%，折射率為1.33.從圖中可以看到，模擬的佛光彩色光環(huán)的視角范圍為3.2～5.6°，與實際測量的數(shù)值符合得很好，顏色排列順序也和實際情況一致.因此，米散射理論確實可以非常準(zhǔn)確地給出佛光模擬結(jié)果.

圖2 米散射模擬結(jié)果(下半部)和實際佛光照片(上半部)對比

由于形成此次佛光的云霧位于云層之上，因此實際云霧顆粒的尺寸無法直接測量，但是我們通過當(dāng)時飛機所處位置的衛(wèi)星云圖反演，結(jié)合歷史氣象資料，如圖3所示[3～5]，推斷出形成此次佛光的云霧顆粒尺寸在4～5 μm.這個尺寸與米散射模擬的結(jié)果比較一致，證明了米散射理論用于模擬佛光的可行性.

圖3 不同季節(jié)不同高度時的云滴尺寸[4]

圖4給出了根據(jù)米散射理論計算的白光入射到半徑4.6 μm的均質(zhì)球形水滴的散射光強[6]，橫坐標(biāo)為散射角，即散射光線方向相對于入射光方向的偏轉(zhuǎn)角.

圖4 米散射理論計算白光入射到半徑4.6 μm的水滴的散射光強分布情況

由圖4可知，隨著角度增加或減小，對應(yīng)的顏色也隨之變化.具體顏色變化見圖4上方的色彩條碼，最亮的光環(huán)出現(xiàn)在大約177°散射角處，顏色接近白色.隨著散射角度增大，會出現(xiàn)藍色環(huán)帶、灰色的暗環(huán)和中心亮斑.隨著散射角度減少，依次呈現(xiàn)黃色橙色環(huán)帶. 如圖1和2所示，上述計算結(jié)果和實際情況基本吻合.

盡管米散射可以精確地模擬佛光，但是由于米散射是散射光的無窮級數(shù)求和，無法從結(jié)果中判斷哪些級次的散射光才是形成佛光的主要因素，因此無法解釋佛光是如何形成的.解釋佛光的形成過程需要引入德拜級數(shù).

1.3 基于德拜級數(shù)模擬佛光

用德拜級數(shù)可以分別計算不同級次散射光強度[7]，因此可以具體研究某一級散射光對總散射光的影響，從而幫助我們找出形成佛光的是哪些級次的散射光.德拜級數(shù)p的定義如圖5所示.

圖5 散射光的德拜級數(shù)定義示意圖

圖6是德拜級數(shù)計算波長650 nm的單色光入射到半徑4.6 μm的水滴時，不同級次散射的光強.從圖中可以看出，佛光(散射角在170～180°之間)主要是由p=2的散射光形成的，更高級次p=6，7級的散射光也有貢獻，但影響較小.從圖中可以看到，在170～180°區(qū)間，光強出現(xiàn)了明顯的起伏，幾個光強極大值對應(yīng)的散射角依次是171.5°,176°,180°，和前面米散射模擬的結(jié)果基本一致.需要注意的是，這是波長為650 nm的單色光對應(yīng)的亮環(huán)的角度，并非白光產(chǎn)生的佛光亮環(huán).

圖6 利用德拜級數(shù)計算各個級次的散射光強，水滴半徑4.6 μm，波長650 nm

接下來我們利用德拜級數(shù)計算白光入射到半徑4.6 μm水滴的各級散射光強，如圖7所示，可以看到p=2級的散射光線，其強度和色彩變化規(guī)律與圖4米散射理論計算的結(jié)果完全一致，而且其強度比其他級次高出一個數(shù)量級以上，因此形成佛光彩色亮環(huán)的主要是p=2級散射光.由圖4可知在180°附近，高級次的散射光強度也有所增加，提高了佛光中心的亮度，因此佛光的中心總是亮斑，這和前面米散射理論計算結(jié)果一致.

圖7 用德拜級數(shù)計算的白光被半徑4.6 μm水滴散射的光強分布

2 佛光的形成機制探究

前面的計算結(jié)果表明，佛光主要是由p=2級的散射光形成的，那么這一級次的散射光是如何產(chǎn)生佛光的呢？首先我們討論幾何光學(xué)能否給出合理的解釋.如圖8所示，入射光線經(jīng)過一次內(nèi)反射后折射出水滴，散射角θ=180°+2α-4β，其中α為入射角，β為折射角.假設(shè)水滴的折射率n=1.33，半徑10 μm，入射角α由零逐漸增加到90°，散射角β先是由180°逐漸減小直至最小值——138°彩虹角，然后繼續(xù)增大到約165.6°(對應(yīng)入射角等于90°).計算出光強隨散射角的變化曲線如圖9所示，在170～180°區(qū)間，光強幾乎不變，不能產(chǎn)生佛光中心那樣明暗交替的光環(huán)，因此經(jīng)典的幾何光學(xué)理論無法解釋佛光是如何形成的.

圖8 幾何光學(xué)確定的p=2級散射光路示意圖，散射角θ=180°+2α-4β

圖9 幾何光學(xué)確定的散射光強-散射角[7]

2.1 佛光形成原理

文獻[8]認(rèn)為佛光是由入射角為90°的入射光線經(jīng)水滴散射形成的.如圖10(a)所示，根據(jù)折射定律，入射角等于90°時計算出散射角應(yīng)當(dāng)為165.6°.而佛光對應(yīng)的散射角一般位于170～180°區(qū)間，例如前面計算出波長650 nm紅光入射到半徑10 μm、折射率1.33的水滴形成的佛光的散射角為175°.為了解釋這一角度偏離現(xiàn)象，文獻[8]提出了表面波的概念，認(rèn)為光線先沿著水滴表面?zhèn)鬏斠欢尉嚯x后再折射出水滴，如圖10(b)水滴下方實線所示.在此基礎(chǔ)上，文獻[9]給出了佛光的形成機制，如圖10(c)所示，對于上方水滴，入射光從水滴上邊沿入射，經(jīng)水滴反射后再次折射，由于表面波效應(yīng)，此折射光線相對入射光線的偏轉(zhuǎn)角為175°，如圖中紅色實線1所示；對于下方水滴，入射光從水滴下邊沿入射，經(jīng)水滴反射后再次折射，此折射光線相對入射光線的偏轉(zhuǎn)角為360°-185°=175°，如圖中紅色實線2所示.由球體的旋轉(zhuǎn)對稱性，當(dāng)光線1和2的相位差等于2kπ時，兩束光干涉相長形成亮環(huán).

圖10 文獻[8]對佛光的解釋

van de Hulst等人的理論比較好地解釋了佛光現(xiàn)象，但仍然不夠清晰，例如圖10(b)中，為何光線會偏離幾何光學(xué)路徑？什么是表面波？表面波是如何產(chǎn)生和傳播的？圖10(c)中，上下兩個水滴出射光線的偏轉(zhuǎn)角為何不同？因此下面結(jié)合全反射現(xiàn)象對這些問題進一步展開探討.根據(jù)幾何光學(xué)理論，沿著水滴邊沿入射的光線，在水滴內(nèi)部會發(fā)生全反射，如圖11(a)所示.但是從波動光學(xué)的角度考慮，發(fā)生全反射時，入射波的能量不是在嚴(yán)格的界面上全部反射，而是穿透到光疏媒質(zhì)內(nèi)一定深度后逐漸反射的，如圖11(b)所示[10].這樣就產(chǎn)生了古斯-漢辛位移[11, 12]，即反射光線相對于入射光線有橫向偏移，位移大小取決于入射光的波長、入射角和折射率，因此不同偏振分量的偏移量不同，如圖11(c)所示.光線在水滴內(nèi)部發(fā)生全反射時，水滴內(nèi)部光場分布如圖11(d)所示[13].

圖11

由圖11(d)可知，對于一個孤立的水滴，由于在水滴內(nèi)部是全反射，光場能量集中在水滴內(nèi)部，外部只有少量的倏逝波，因此不會形成佛光.真實的佛光形成原理如圖12所示，當(dāng)兩個水滴靠的很近時，就可以將內(nèi)部光場耦合出來沿著球滴表面?zhèn)鬏?，形成一個散射區(qū)間，這就是van de Hulst提出的所謂表面波.對于任意相鄰的水滴，散射角相同的光線都可以發(fā)生干涉，但是只有相位差等于2kπ的光線，如圖中所示的光線1和2，才會干涉相長形成亮環(huán).當(dāng)水滴的尺寸給定時，干涉環(huán)的角度取決于入射光的波長，因此佛光的光環(huán)顏色是按照一定規(guī)律排列的.

圖12 散射角相同而且相位差為2kπ的光線和干涉相長形成佛光

2.2 云霧顆粒尺寸對佛光的影響

由前面的分析可知，其他條件不變的情況下，如果水滴的尺寸不一致，那么散射光的相位差很有可能不滿足干涉相長條件，從而導(dǎo)致佛光現(xiàn)象不明顯甚至消失.我們使用軟件定量分析了水滴尺寸變化對佛光的影響，如圖13所示.模擬結(jié)果表明單一尺寸水滴產(chǎn)生的佛光有4個或更多的清晰光環(huán)，10%的尺寸不一致會降低條紋對比度，如果尺寸不一致達到20%或更高，除了最內(nèi)層的光環(huán)以外，幾乎看不到彩環(huán).因此，環(huán)境中水滴尺寸不一致會導(dǎo)致佛光模糊不清，直至消失.

圖13 水滴尺寸不一致導(dǎo)致佛光模糊不清直至消失

下面考察能夠產(chǎn)生佛光的水滴尺寸范圍.如圖14(a)所示,佛光彩色條紋的亮度和干涉環(huán)的大小與水滴半徑成反比，即水滴半徑越大，佛光的可見度越低.如圖14(b)給出了不同尺寸水滴的散射光強隨散射角變化曲線，結(jié)合圖14(a)和14(b)可知，要形成人眼可見的佛光，水滴的尺寸必須在4～25 μm范圍之內(nèi).

圖14 產(chǎn)生佛光的水滴尺寸研究

2.3 對于峨眉與黃山的佛光分析

在上述理論分析的基礎(chǔ)之上，我們選取峨眉與黃山的佛光加以分析驗證，以證實理論的可行性．圖15(a)所示的是峨眉山金頂?shù)姆鸸庹掌撜掌臄z于2017年1月30日，拍攝高度為3 000 m，該佛光在該照片中所形成的視角約為2.6°. 圖15(b)為模擬結(jié)果，選取水滴尺寸為8.9 μm，尺寸分布范圍為5%.從模擬結(jié)果可看出佛光最亮白色光環(huán)的視角范圍為2.5°.由歷史氣象資料[3～5]可知，秋季北半球海拔3 000 m處的云滴尺寸為8～9 μm，與模擬數(shù)值相吻合.

(a)峨眉佛光[14]

(b)峨眉佛光模擬

下面采取同樣的方法分析黃山的佛光.圖16(a)拍攝于2017年3月21日，估算得到圖中佛光成像視角為1.7°.圖16(b)為模擬結(jié)果，選取水滴尺寸為11 μm，尺寸分布范圍為2%.模擬得到佛光白色最亮光環(huán)的視角范圍為1.8°，與估算值相差較小.

圖16 黃山的佛光

2.4 生活中觀察佛光的方法和技巧

從上文分析可知，觀察佛光需要背對太陽面向云霧，云霧顆粒的半徑在4～25 μm之間而且尺寸均勻.結(jié)合以上條件，在生活中以下幾種場景較容易觀察到佛光現(xiàn)象：

(1)濕度較大容易產(chǎn)生云霧的山區(qū)，例如峨眉山和黃山等.

(2)南北航向的飛機在云層上平穩(wěn)飛行時，上午西側(cè)或下午東側(cè)靠窗座位，待到航向接近180°或360°時向窗外觀察.

(3)跨海大橋或者海邊的山崖上，選擇合適的時間和方位，背對太陽面朝大海觀察.

3 總結(jié)與討論

本文首先利用米散射理論和德拜級數(shù)對佛光進行了模擬仿真，確定佛光是由于第二級散射光形成的.然后探討了佛光的形成機制，借助全反射和古斯-漢欣效應(yīng)對van de Hulst提出的表面波模型進行修正和補充.確認(rèn)了佛光是相鄰水滴的散射光線中，散射角相同而且相位差為2kπ的光線干涉相長形成的.通過模擬計算可知，產(chǎn)生人眼可見的佛光，需要云霧顆粒半徑在4～25 μm區(qū)間而且尺寸要盡量一致.

本文用該理論對峨眉山和黃山佛光的視場角和顆粒半徑進行模擬分析，結(jié)果和通過幾何光學(xué)得到的視場角與通過查詢歷史氣象數(shù)據(jù)得到的顆粒半徑大致相同，驗證了本文對于佛光成因分析的合理性.

最后本文給出了日常生活中觀察佛光的方法和技巧，幫助讀者尋找觀察佛光現(xiàn)象.由于佛光的形成機制比較復(fù)雜，本文對于佛光的探討尚處于定性或半定量的范疇，嚴(yán)格的定量計算和分析需要將雨霧水滴當(dāng)做微球腔，用光學(xué)微腔理論進行處理，這將是下一步將要開展的工作.