抓住函數(shù)性質　研究圖形特征

顧宏萍

中考對函數(shù)內容的考查，除了考查函數(shù)的圖像與性質及其應用等基礎知識外，還會將函數(shù)與圖形結合，考查同學們綜合運用相關知識及數(shù)學思想解決多知識點融合問題的能力。

例1 （2020·四川涼山）如圖1，矩形OABC的面積為[1003]，對角線OB與雙曲線y=[kx]（k>0，x>0）相交于點D，且OB∶OD=5∶3，則k的值為。

【分析】反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）圖像上任意一點（m，n）與k滿足k=mn的關系，過反比例函數(shù)圖像上的點D作DH⊥OA于點H，則k=2S△ODH。通過研究圖形特征，利用矩形和相似三角形的性質求出△ODH的面積，從而求得k的值。

解：過點D作DH⊥OA于點H。

∵矩形OABC的面積為[1003]，OB是對角線，∴S△OBA=[503]。

∵DH∥AB，∴△ODH∽△OBA，

∴S△ODH∶S△OBA=9∶25，則S△ODH=6。

設點D的坐標是（m，n），則S△ODH=[12]mn=6，∴mn=12。

把D的坐標代入函數(shù)表達式y(tǒng)=[kx]，則k=mn=12。

【點評】解答反比例函數(shù)表達式的題目，多數(shù)可以運用反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義求解。

例2 （2020·四川成都）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=[mx]（x>0）的圖像經(jīng)過點A（3，4），過點A的直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B、C兩點。

（1）求反比例函數(shù)的表達式;

（2）若△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，求此直線的函數(shù)表達式。

【分析】（1）把A（3，4）代入y=[mx]（x>0）即可得到結果。

（2）根據(jù)題意，可知△AOB和△BOC都可以看作以BO為底邊的三角形。根據(jù)等底的兩個三角形面積之比等于他們的高之比，結合畫出的圖形，可以直接得到y(tǒng)軸上點C的坐標，再將點A（3，4）和點C的坐標代入y=kx+b即可求出此直線的函數(shù)表達式。

當然，我們也可以直接根據(jù)直線表達式得到點B（[-bk]，0）、點C（0，b），再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結果。

解：（1）∵反比例函數(shù)y=[mx]（x>0）的圖像經(jīng)過點A（3，4），

∴m=3×4=12，

∴反比例函數(shù)的表達式為y=[12x]。

（2）∵直線y=kx+b過點A，∴3k+b=4。

∵過點A的直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B、C兩點，

∴B（[-bk]，0），C（0，b）。

∵△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，

∴[12]×4×[-bk]=2×[12]×[-bk]×[b]，

∴b=±2，

當b=2時，k=[23];當b=-2時，k=2。

∴直線的函數(shù)表達式為y=[23x]+2或y=2x-2。

【點評】本題的第（2）問雖然給出的是兩個三角形面積的關系，但圖中并沒有給出滿足條件的圖形，這就需要同學們根據(jù)條件自主畫圖?？梢詮膱D形角度進行分析，獲得線段之間的數(shù)量關系，即將所得的平行于坐標軸的線段長轉化為坐標代入一次函數(shù)表達式求解，經(jīng)歷從形到數(shù)的轉化過程;也可以直接從一次函數(shù)表達式入手，通過待定系數(shù)法，用k、b的代數(shù)式表示相關點的坐標，將坐標轉化為線段，再通過兩個三角形面積的關系構造方程求解。

在平面直角坐標系中，我們要關注坐標與線段的轉換，求點的坐標很多時候是通過求平行于坐標軸的線段長度來解決的。本題充分展現(xiàn)了函數(shù)題中利用數(shù)與形相互轉換的解題思路。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學）