韓榮梅 內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

一、不變子群的基本理論

定理1：一個(gè)群G 的一個(gè)子群N 是一個(gè)不變子群的充分而且必要條件是

a 為G 中任意一個(gè)元。

證明：假設(shè)N 是不變子群，則對(duì)于群G 的任意元a 來(lái)說(shuō)，，所以有

假如對(duì)于G 的任何a 來(lái)說(shuō)

那么

N 是不變子群。

定理2：一個(gè)群G 的一個(gè)子群N 是一個(gè)不變子群的充分而且必要條件是

因此由定理1 得，N 是不變子群。

例1：證明：群G 的任意一個(gè)不變子群的交還是G 的一個(gè)不變子群。

證明：現(xiàn)只需要證，群G 中任意兩個(gè)不變子群的交還是群G 的不變子群。

設(shè)N1、N2為群G 的兩個(gè)不變子群，則有N1N2是G 的 子 群，則，并且，但N1、N2為群G 的兩個(gè)不變子群，故，所以

例2：設(shè)H，N 是群G 的兩個(gè)子群，證明：

（1）如果H，N 中有一個(gè)是不變子群，則HN 是群G 的一個(gè)子群；

（2）如果H，N 都是G 的不變子群，則HN 是群G 的一個(gè)不變子群。

證明：（1）若H，N 中有一個(gè)是不變子群，假如N 是群G 的一個(gè)不變子群，則在乘積HN 中任取兩個(gè)元素a，b，并令

則由于H 是G 的子群，而N 是群G 的一個(gè)不變子群，所以

從而HN 是群G 的一個(gè)子群。

（3）設(shè)H，N 都是G 的不變子群，由（1）可知，HN 是群G 的一個(gè)子群，

所以HN 是群G 的一個(gè)不變子群。

例3 指數(shù)是2 的子群一定是不變子群。

證明：方法一：

令N 是群G 的一個(gè)指數(shù)是2 的子群，并且

二、不變子群與商群

定義：群G 的不變子群N 的全體陪集對(duì)于陪集的乘法作成一個(gè)群，稱G 是關(guān)于N 的商群，用符號(hào)來(lái)表示。

商群的階數(shù)是N 在G 中的指數(shù)，若G是有限群，則

例4：證明：如果群G 只有一個(gè)n 階子群，那么這個(gè)n 階子群一定是G 的不變子群。

證明：設(shè)H 是群G 的一個(gè)n 階子群，則對(duì)于G 中任意元素a，也是群G 的一個(gè)n 階子群。

綜上所述，H 為群G 的不變子群。

例5：置換群S4的不變子群N={E,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，求它的陪集組成的商群

以上的K1， K2， …， K6已經(jīng)包含了S4中的所有元，現(xiàn)用S4的其他元素對(duì)N 作陪集，得到的結(jié)果與上面所得到結(jié)果相同。例如：

由上可制作如表一的商群的群表，例如：