雙繞組無軸承磁通切換電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向懸浮滑?？刂蒲芯?/h1>
2021-05-23 11:38:04周揚(yáng)忠黃政凱
微特電機(jī) 2021年4期
張 競(jìng)，周揚(yáng)忠，黃政凱
（福州大學(xué) 福建省新能源發(fā)電與電能變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州350108）
0 引 言
無軸承電機(jī)是依據(jù)磁軸承和傳統(tǒng)交流電機(jī)結(jié)構(gòu)的相似性，將無軸承技術(shù)和電機(jī)相結(jié)合的一種新型電機(jī)，因其具有無機(jī)械接觸、易實(shí)現(xiàn)更高的轉(zhuǎn)速與更大的功率密度等特點(diǎn)，在航空航天、儀器儀表、生物醫(yī)藥、化學(xué)化工等行業(yè)有廣闊的發(fā)展前景［1?2］。
雙繞組無軸承磁通切換電機(jī)（以下簡(jiǎn)稱BF?SPMM）是無軸承電機(jī)的一種，其既具有無軸承電機(jī)無機(jī)械接觸、無磨損、無需潤滑的特點(diǎn)，又具有磁通切換電機(jī)轉(zhuǎn)子無永磁體、空載反電動(dòng)勢(shì)正弦度高、轉(zhuǎn)矩密度高等特點(diǎn)［3］。
目前，關(guān)于BFSPMM的研究絕大多數(shù)集中在電機(jī)本體上，而對(duì)BFSPMM驅(qū)動(dòng)控制策略研究較少，尤其是轉(zhuǎn)子徑向懸浮控制策略。文獻(xiàn)［4］提出了一種兩段隔離轉(zhuǎn)子的新型無軸承電機(jī)，轉(zhuǎn)子所受懸浮力的大小和方向分別通過懸浮電流的幅值和相位來控制，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)［5］通過對(duì)電機(jī)磁路模型的簡(jiǎn)化，推導(dǎo)了懸浮力的數(shù)學(xué)模型，并將轉(zhuǎn)子位置劃分為6個(gè)區(qū)間，分別制定不同的控制策略，實(shí)現(xiàn)電機(jī)懸浮控制。
在已有文獻(xiàn)中，轉(zhuǎn)子懸浮控制系統(tǒng)通常利用徑向位移閉環(huán)控制中的PI控制器來產(chǎn)生徑向懸浮力給定。雖然PI控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作可靠，但其受電機(jī)參數(shù)影響大、抗干擾能力差，且這種控制方法建立在轉(zhuǎn)子無偏心情況下，實(shí)際運(yùn)行中轉(zhuǎn)子會(huì)發(fā)生偏心，且電機(jī)存在模型不精確的情況。針對(duì)這些問題，本文基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想［6?7］，提出構(gòu)建徑向懸浮滑?？刂破鱽泶娆F(xiàn)有徑向位移閉環(huán)控制中的PI控制器的控制方法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮快速穩(wěn)定控制。
1 雙繞組BFSPMM結(jié)構(gòu)及懸浮原理
1.1 雙繞組BFSPMM結(jié)構(gòu)
雙繞組BFSPMM橫截面及繞組連接示意圖如圖1所示。其轉(zhuǎn)子為凸極鐵心結(jié)構(gòu)，共有10個(gè)齒，轉(zhuǎn)子上無永磁體和繞組。定子由12個(gè)“U”形鐵心構(gòu)成，定子上還有mA，mB，mC三相功率繞組和sa，sb，sc三相懸浮繞組，每相功率繞組和每相懸浮繞組均由4個(gè)線圈按照?qǐng)D1中的連接方式串聯(lián)構(gòu)成；imA，imB，imC為三相功率繞組電流，功率繞組中通入電流產(chǎn)生切向電磁轉(zhuǎn)矩；isa，isb，isc為三相懸浮繞組電流，懸浮繞組中通入電流后產(chǎn)生的磁場(chǎng)會(huì)打破原有磁場(chǎng)的對(duì)稱性，從而產(chǎn)生徑向懸浮力。
圖1 雙繞組BFSPMM橫截面及繞組連接示意圖
1.2 懸浮原理
如圖1所示，定義與功率繞組線圈A1、A3同軸線的水平軸為x軸，超前x軸90°的豎直軸為y軸，圖1中所標(biāo)電流方向?yàn)檎较?，氣隙①、②處所?biāo)箭頭為空載情況下永磁磁通φPM方向。根據(jù)文獻(xiàn)［8］研究結(jié)果表明，在懸浮繞組中通入合適的電流即可產(chǎn)生轉(zhuǎn)子徑向懸浮所需要的懸浮力，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮。三相懸浮繞組通入電流產(chǎn)生的懸浮力可用矢量圖表示，如圖2所示。
圖2 懸浮繞組電流與懸浮力關(guān)系
1．3 數(shù)學(xué)模型
1．3．1 坐標(biāo)系定義
BFSPMM的坐標(biāo)系定義如圖3所示。
圖3 坐標(biāo)系定義
圖3（a）為轉(zhuǎn)矩平面坐標(biāo)系定義。mα，mβ為兩相靜止坐標(biāo)系，mα與mA的軸線重合；md，mq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；mA，mB，mC為三相功率繞組軸線，imA，imB，imC為三相功率繞組電流，通過對(duì)三相功率繞組電流進(jìn)行矢量合成得到功率繞組的電流矢量im；im在mα，m坐標(biāo)β軸上的投影分別為imα，imβ，im在md，mq坐標(biāo)軸的投影分別為imd，imq。md與mα夾角為θr，ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電角速度。
圖3（b）為懸浮平面坐標(biāo)系定義。x，y為水平－垂直直角坐標(biāo)系，其中x，y軸的方向已在圖1中給出。sa，sb，sc為三相懸浮繞組軸線，isa，isb，isc為三相懸浮繞組電流，懸浮繞組的電流矢量is由isa，isb，isc矢量合成得到；sα，sβ為兩相靜止坐標(biāo)系，sα與sa的軸線重合；x，y坐標(biāo)系滯后sα，sβ坐標(biāo)系30°；is在sα，sβ軸上投影分別為isα，isβ；懸浮繞組電流矢量is產(chǎn)生的懸浮力為F∑。
1．3．2 懸浮力數(shù)學(xué)模型
實(shí)際運(yùn)行過程中，BFSPMM轉(zhuǎn)子會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)偏心，造成氣隙磁路不對(duì)稱，從而引起繞組電感、繞組耦合的永磁磁鏈發(fā)生改變。本文通過有限元方法，對(duì)偏心情況下的繞組電感、繞組耦合的永磁磁鏈進(jìn)行分析。圖4為轉(zhuǎn)子偏心示意圖，以水平向右的方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系x軸的正方向，以垂直向上的方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)子的圓心由原來的O點(diǎn)偏移至點(diǎn)O′，點(diǎn)O′坐標(biāo)為（x，y），總的偏移量e可表示：e＝（x2＋y2）1／2；偏心角度φ＝tan－1（y／x）。
圖4 轉(zhuǎn)子偏心示意圖
通過有限元分析，轉(zhuǎn)子偏心情況下僅功率繞組與懸浮繞組間的互電感Mms以及永磁體匝鏈到懸浮繞組中的磁鏈ψfm與轉(zhuǎn)子偏心位移有關(guān)，則有：
式中：Mmm為功率繞組電感；Mss為懸浮繞組電感；ψfm為功率繞組耦合的永磁體磁鏈。
根據(jù)虛位移原理，轉(zhuǎn)子所受的徑向懸浮力等于磁共能Wm對(duì)徑向位移的偏導(dǎo)數(shù)，即徑向懸浮力Fx，F(xiàn)y可表示：
利用有限元分析結(jié)果以及對(duì)繞組電流進(jìn)行坐標(biāo)變換，對(duì)式（2）、式（3）進(jìn)一步推導(dǎo)得到懸浮力表達(dá)式：
電磁轉(zhuǎn)矩Te的表達(dá)式［8］：
式中：pr為電機(jī)極對(duì)數(shù)。
2 BFSPMM懸浮運(yùn)行控制策略
2．1 BFSPMM的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型
本文所用BFSPMM為兩自由度結(jié)構(gòu)（2?DOF），轉(zhuǎn)軸一端固定而一端實(shí)現(xiàn)自由懸浮。但是，在實(shí)際電機(jī)工作中，特別在轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)下，在轉(zhuǎn)子上施加徑向力時(shí)需要考慮到徑向兩個(gè)軸之間由于陀螺效應(yīng)引起的耦合，及實(shí)際電機(jī)由于偏心旋轉(zhuǎn)帶來的離心力。
圖5為實(shí)際工作過程中的轉(zhuǎn)子狀態(tài)，定義靜止坐標(biāo)系x，y，z及轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系i，j，k，其中k軸與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸重合，轉(zhuǎn)子底部由調(diào)心軸承固定。定義轉(zhuǎn)子繞i，j，k三個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii，Ij，Ik。由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)對(duì)稱，故Ii＝Ij。
圖5 實(shí)際工作過程中轉(zhuǎn)子狀態(tài)
參考文獻(xiàn)［9?10］中提出的磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，推出BFPSMM的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程：
式中：Tx及Ty為轉(zhuǎn)子受到的力矩；θx，θy為轉(zhuǎn)軸與x，y軸的夾角；ωrm為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。在BFSPMM中，轉(zhuǎn)子受到的力矩主要由三部分組成，分別為偏心下由重力產(chǎn)生的力矩（垂直放置）、偏心時(shí)轉(zhuǎn)子受到的單邊磁拉力矩以及由懸浮電流產(chǎn)生的懸浮力力矩。
1）偏心轉(zhuǎn)子受到的重力矩：
式中：h為轉(zhuǎn)軸質(zhì)心的高度；lrt為轉(zhuǎn)軸的長(zhǎng)度；x和y為轉(zhuǎn)子徑向偏移量。
2）單邊磁拉力力矩：
式中：kx（θr）和ky（θr）是x，y方向上的單邊磁拉力系數(shù)。在BFSPMM中，轉(zhuǎn)子在偏心時(shí)的單邊磁拉力不相等，且與轉(zhuǎn)子位置角θr相關(guān)。
3）懸浮力力矩：
式中：Fx和Fy分別為轉(zhuǎn)子上在x，y方向上產(chǎn)生的懸浮力。
結(jié)合式（7）～式（10）可得本文的雙繞組BF?SPMM在豎置狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型：
2．2 滑模變結(jié)構(gòu)控制策略
BFSPMM是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，其控制方法的有效性直接關(guān)系到電機(jī)的工作性能。為了提高徑向懸浮控制的穩(wěn)定性、抗干擾能力，本文根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型及懸浮系統(tǒng)狀態(tài)變量，得到徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程，在徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想，設(shè)計(jì)徑向懸浮滑?？刂破鳎刂破鞯妮斎霝閷?shí)際測(cè)得位移信號(hào)x，y與給定的位移信號(hào)x?＝0，y?＝0的偏差ex，ey，輸出為徑向懸浮力給定
徑向懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義如下：
式中：ex，ey為轉(zhuǎn)子徑向位移誤差。
結(jié)合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型式（11）以及懸浮系統(tǒng)狀態(tài)變量，得到徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程：
根據(jù)滑?？刂破鞯妮斎?，選取滑模切換面函數(shù)：
式中：c1，c2，c3，c4為常數(shù)，且都大于0。
結(jié)合式（13），對(duì)選取的切換面函數(shù)求導(dǎo)，得：
為了保證系統(tǒng)良好的動(dòng)態(tài)性能和減小抖振，在設(shè)計(jì)控制器的過程中還需要采用趨近律［11］，趨近律表達(dá)式如下：
通過調(diào)節(jié)趨近律的參數(shù)ε和k，既可以保證滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)過程的動(dòng)態(tài)性能，又可以減小系統(tǒng)的抖振。
再結(jié)合式（15）與式（16），得到x軸、y軸懸浮力給定
由式（19）可知，若取ε1＞0，k1＞0，ε2＞0，k2＞0，則：
下面運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明徑向懸浮滑模控制器的穩(wěn)定性。
選取Lyapunov函數(shù)：
所以，設(shè)計(jì)的滑?？刂破髟贚yapunov函數(shù)下是漸近穩(wěn)定的。
2.3 BFSPMM系統(tǒng)控制框圖
基于上述理論分析，構(gòu)建整個(gè)雙繞組BFSPMM系統(tǒng)控制框圖如圖6所示。通過轉(zhuǎn)子徑向位移傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)子徑向位移實(shí)際值x，y，將轉(zhuǎn)子徑向位移給定值x?，y?與轉(zhuǎn)子徑向位移實(shí)際值x，y進(jìn)行誤差計(jì)算，得到轉(zhuǎn)子徑向位移誤差ex，ey；將轉(zhuǎn)子徑向位移誤差ex，ey送入徑向懸浮滑?？刂破鳎玫綇较驊腋×o定值再根據(jù)懸浮平面坐標(biāo)系的定
對(duì)其求導(dǎo)可得：義，利用sα，sβ坐標(biāo)系超前xy坐標(biāo)系30°，將進(jìn)行坐標(biāo)變換得到利用2／3變換，將進(jìn)行坐標(biāo)變換得到三相懸浮繞組電流給定再將和isa，isb，isc送給電流滯環(huán)比較環(huán)節(jié)，輸出控制三相逆變橋臂控制信號(hào)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮。功率繞組采用矢量控制策略，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子切向旋轉(zhuǎn)控制。
圖6 雙繞組BFSPMM系統(tǒng)控制框圖
3 仿真研究
根據(jù)圖6在MATLAB／Simulink中搭建雙繞組BFSPMM控制系統(tǒng)的仿真模型，電機(jī)參數(shù)如表1所示。
為了驗(yàn)證本文控制策略的有效性，對(duì)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制策略和采用傳統(tǒng)PI控制策略的徑向懸浮系統(tǒng)進(jìn)行仿真對(duì)照。電機(jī)給定轉(zhuǎn)速為1 500 r／min，切向負(fù)載5 N·m，x方向帶100 N徑向負(fù)載，0.5 s時(shí)x方向帶載由100 N突卸至0。仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。
表1 電機(jī)參數(shù)
圖7 采用滑?？刂撇呗缘姆抡娼Y(jié)果波形
圖8 采用PI控制策略的仿真結(jié)果波形
圖7為采用滑?？刂撇呗缘姆抡娼Y(jié)果波形，圖8為采用PI控制策略的仿真結(jié)果波形。從圖7與圖8的控制對(duì)比仿真結(jié)果可見：
（1）在起動(dòng)過程中，滑?？刂葡到y(tǒng)x，y方向徑向位移脈動(dòng)很快控制為0，但PI控制系統(tǒng)x，y方向徑向位移脈動(dòng)需要長(zhǎng)達(dá)0．2 s才收斂到0附近，表明滑?？刂葡到y(tǒng)切向旋轉(zhuǎn)與徑向懸浮之間解耦性能更好；
（2）0.5 s時(shí)突卸徑向負(fù)載，滑?？刂葡到y(tǒng)x方向徑向位移超調(diào)基本為0，而PI控制系統(tǒng)x方向徑向位移超調(diào)了0．006 mm，表明滑?？刂葡到y(tǒng)徑向位移控制特性更硬；
（3）徑向負(fù)載越大，PI控制系統(tǒng)徑向位移脈動(dòng)明顯大于滑?？刂葡到y(tǒng)，表明滑?？刂葡到y(tǒng)具有更優(yōu)良的穩(wěn)定性能。
4 結(jié) 語
本文針對(duì)雙繞組BFSPMM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想，提出了一種轉(zhuǎn)子徑向懸浮控制方法，理論分析與仿真結(jié)果表明：與傳統(tǒng)PI控制方法相比，采用滑?？刂品椒?，有效地降低了轉(zhuǎn)子徑向偏移量、徑向偏移脈動(dòng)，提高了系統(tǒng)響應(yīng)速度以及抗干擾能力，整體控制效果更好。
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雙繞組無軸承磁通切換電機(jī)（以下簡(jiǎn)稱BF?SPMM）是無軸承電機(jī)的一種，其既具有無軸承電機(jī)無機(jī)械接觸、無磨損、無需潤滑的特點(diǎn)，又具有磁通切換電機(jī)轉(zhuǎn)子無永磁體、空載反電動(dòng)勢(shì)正弦度高、轉(zhuǎn)矩密度高等特點(diǎn)［3］。
目前，關(guān)于BFSPMM的研究絕大多數(shù)集中在電機(jī)本體上，而對(duì)BFSPMM驅(qū)動(dòng)控制策略研究較少，尤其是轉(zhuǎn)子徑向懸浮控制策略。文獻(xiàn)［4］提出了一種兩段隔離轉(zhuǎn)子的新型無軸承電機(jī)，轉(zhuǎn)子所受懸浮力的大小和方向分別通過懸浮電流的幅值和相位來控制，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)［5］通過對(duì)電機(jī)磁路模型的簡(jiǎn)化，推導(dǎo)了懸浮力的數(shù)學(xué)模型，并將轉(zhuǎn)子位置劃分為6個(gè)區(qū)間，分別制定不同的控制策略，實(shí)現(xiàn)電機(jī)懸浮控制。
在已有文獻(xiàn)中，轉(zhuǎn)子懸浮控制系統(tǒng)通常利用徑向位移閉環(huán)控制中的PI控制器來產(chǎn)生徑向懸浮力給定。雖然PI控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作可靠，但其受電機(jī)參數(shù)影響大、抗干擾能力差，且這種控制方法建立在轉(zhuǎn)子無偏心情況下，實(shí)際運(yùn)行中轉(zhuǎn)子會(huì)發(fā)生偏心，且電機(jī)存在模型不精確的情況。針對(duì)這些問題，本文基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想［6?7］，提出構(gòu)建徑向懸浮滑?？刂破鱽泶娆F(xiàn)有徑向位移閉環(huán)控制中的PI控制器的控制方法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮快速穩(wěn)定控制。
1 雙繞組BFSPMM結(jié)構(gòu)及懸浮原理
1.1 雙繞組BFSPMM結(jié)構(gòu)
雙繞組BFSPMM橫截面及繞組連接示意圖如圖1所示。其轉(zhuǎn)子為凸極鐵心結(jié)構(gòu)，共有10個(gè)齒，轉(zhuǎn)子上無永磁體和繞組。定子由12個(gè)“U”形鐵心構(gòu)成，定子上還有mA，mB，mC三相功率繞組和sa，sb，sc三相懸浮繞組，每相功率繞組和每相懸浮繞組均由4個(gè)線圈按照?qǐng)D1中的連接方式串聯(lián)構(gòu)成；imA，imB，imC為三相功率繞組電流，功率繞組中通入電流產(chǎn)生切向電磁轉(zhuǎn)矩；isa，isb，isc為三相懸浮繞組電流，懸浮繞組中通入電流后產(chǎn)生的磁場(chǎng)會(huì)打破原有磁場(chǎng)的對(duì)稱性，從而產(chǎn)生徑向懸浮力。
圖1 雙繞組BFSPMM橫截面及繞組連接示意圖
1.2 懸浮原理
如圖1所示，定義與功率繞組線圈A1、A3同軸線的水平軸為x軸，超前x軸90°的豎直軸為y軸，圖1中所標(biāo)電流方向?yàn)檎较?，氣隙①、②處所?biāo)箭頭為空載情況下永磁磁通φPM方向。根據(jù)文獻(xiàn)［8］研究結(jié)果表明，在懸浮繞組中通入合適的電流即可產(chǎn)生轉(zhuǎn)子徑向懸浮所需要的懸浮力，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮。三相懸浮繞組通入電流產(chǎn)生的懸浮力可用矢量圖表示，如圖2所示。
圖2 懸浮繞組電流與懸浮力關(guān)系
1．3 數(shù)學(xué)模型
1．3．1 坐標(biāo)系定義
BFSPMM的坐標(biāo)系定義如圖3所示。
圖3 坐標(biāo)系定義
圖3（a）為轉(zhuǎn)矩平面坐標(biāo)系定義。mα，mβ為兩相靜止坐標(biāo)系，mα與mA的軸線重合；md，mq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；mA，mB，mC為三相功率繞組軸線，imA，imB，imC為三相功率繞組電流，通過對(duì)三相功率繞組電流進(jìn)行矢量合成得到功率繞組的電流矢量im；im在mα，m坐標(biāo)β軸上的投影分別為imα，imβ，im在md，mq坐標(biāo)軸的投影分別為imd，imq。md與mα夾角為θr，ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電角速度。
圖3（b）為懸浮平面坐標(biāo)系定義。x，y為水平－垂直直角坐標(biāo)系，其中x，y軸的方向已在圖1中給出。sa，sb，sc為三相懸浮繞組軸線，isa，isb，isc為三相懸浮繞組電流，懸浮繞組的電流矢量is由isa，isb，isc矢量合成得到；sα，sβ為兩相靜止坐標(biāo)系，sα與sa的軸線重合；x，y坐標(biāo)系滯后sα，sβ坐標(biāo)系30°；is在sα，sβ軸上投影分別為isα，isβ；懸浮繞組電流矢量is產(chǎn)生的懸浮力為F∑。
1．3．2 懸浮力數(shù)學(xué)模型
實(shí)際運(yùn)行過程中，BFSPMM轉(zhuǎn)子會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)偏心，造成氣隙磁路不對(duì)稱，從而引起繞組電感、繞組耦合的永磁磁鏈發(fā)生改變。本文通過有限元方法，對(duì)偏心情況下的繞組電感、繞組耦合的永磁磁鏈進(jìn)行分析。圖4為轉(zhuǎn)子偏心示意圖，以水平向右的方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系x軸的正方向，以垂直向上的方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)子的圓心由原來的O點(diǎn)偏移至點(diǎn)O′，點(diǎn)O′坐標(biāo)為（x，y），總的偏移量e可表示：e＝（x2＋y2）1／2；偏心角度φ＝tan－1（y／x）。
圖4 轉(zhuǎn)子偏心示意圖
通過有限元分析，轉(zhuǎn)子偏心情況下僅功率繞組與懸浮繞組間的互電感Mms以及永磁體匝鏈到懸浮繞組中的磁鏈ψfm與轉(zhuǎn)子偏心位移有關(guān)，則有：
式中：Mmm為功率繞組電感；Mss為懸浮繞組電感；ψfm為功率繞組耦合的永磁體磁鏈。
根據(jù)虛位移原理，轉(zhuǎn)子所受的徑向懸浮力等于磁共能Wm對(duì)徑向位移的偏導(dǎo)數(shù)，即徑向懸浮力Fx，F(xiàn)y可表示：
利用有限元分析結(jié)果以及對(duì)繞組電流進(jìn)行坐標(biāo)變換，對(duì)式（2）、式（3）進(jìn)一步推導(dǎo)得到懸浮力表達(dá)式：
電磁轉(zhuǎn)矩Te的表達(dá)式［8］：
式中：pr為電機(jī)極對(duì)數(shù)。
2 BFSPMM懸浮運(yùn)行控制策略
2．1 BFSPMM的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型
本文所用BFSPMM為兩自由度結(jié)構(gòu)（2?DOF），轉(zhuǎn)軸一端固定而一端實(shí)現(xiàn)自由懸浮。但是，在實(shí)際電機(jī)工作中，特別在轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)下，在轉(zhuǎn)子上施加徑向力時(shí)需要考慮到徑向兩個(gè)軸之間由于陀螺效應(yīng)引起的耦合，及實(shí)際電機(jī)由于偏心旋轉(zhuǎn)帶來的離心力。
圖5為實(shí)際工作過程中的轉(zhuǎn)子狀態(tài)，定義靜止坐標(biāo)系x，y，z及轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系i，j，k，其中k軸與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸重合，轉(zhuǎn)子底部由調(diào)心軸承固定。定義轉(zhuǎn)子繞i，j，k三個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii，Ij，Ik。由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)對(duì)稱，故Ii＝Ij。
圖5 實(shí)際工作過程中轉(zhuǎn)子狀態(tài)
參考文獻(xiàn)［9?10］中提出的磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，推出BFPSMM的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程：
式中：Tx及Ty為轉(zhuǎn)子受到的力矩；θx，θy為轉(zhuǎn)軸與x，y軸的夾角；ωrm為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。在BFSPMM中，轉(zhuǎn)子受到的力矩主要由三部分組成，分別為偏心下由重力產(chǎn)生的力矩（垂直放置）、偏心時(shí)轉(zhuǎn)子受到的單邊磁拉力矩以及由懸浮電流產(chǎn)生的懸浮力力矩。
1）偏心轉(zhuǎn)子受到的重力矩：
式中：h為轉(zhuǎn)軸質(zhì)心的高度；lrt為轉(zhuǎn)軸的長(zhǎng)度；x和y為轉(zhuǎn)子徑向偏移量。
2）單邊磁拉力力矩：
式中：kx（θr）和ky（θr）是x，y方向上的單邊磁拉力系數(shù)。在BFSPMM中，轉(zhuǎn)子在偏心時(shí)的單邊磁拉力不相等，且與轉(zhuǎn)子位置角θr相關(guān)。
3）懸浮力力矩：
式中：Fx和Fy分別為轉(zhuǎn)子上在x，y方向上產(chǎn)生的懸浮力。
結(jié)合式（7）～式（10）可得本文的雙繞組BF?SPMM在豎置狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型：
2．2 滑模變結(jié)構(gòu)控制策略
BFSPMM是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，其控制方法的有效性直接關(guān)系到電機(jī)的工作性能。為了提高徑向懸浮控制的穩(wěn)定性、抗干擾能力，本文根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型及懸浮系統(tǒng)狀態(tài)變量，得到徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程，在徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想，設(shè)計(jì)徑向懸浮滑?？刂破鳎刂破鞯妮斎霝閷?shí)際測(cè)得位移信號(hào)x，y與給定的位移信號(hào)x?＝0，y?＝0的偏差ex，ey，輸出為徑向懸浮力給定
徑向懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義如下：
式中：ex，ey為轉(zhuǎn)子徑向位移誤差。
結(jié)合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型式（11）以及懸浮系統(tǒng)狀態(tài)變量，得到徑向懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程：
根據(jù)滑?？刂破鞯妮斎?，選取滑模切換面函數(shù)：
式中：c1，c2，c3，c4為常數(shù)，且都大于0。
結(jié)合式（13），對(duì)選取的切換面函數(shù)求導(dǎo)，得：
為了保證系統(tǒng)良好的動(dòng)態(tài)性能和減小抖振，在設(shè)計(jì)控制器的過程中還需要采用趨近律［11］，趨近律表達(dá)式如下：
通過調(diào)節(jié)趨近律的參數(shù)ε和k，既可以保證滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)過程的動(dòng)態(tài)性能，又可以減小系統(tǒng)的抖振。
再結(jié)合式（15）與式（16），得到x軸、y軸懸浮力給定
由式（19）可知，若取ε1＞0，k1＞0，ε2＞0，k2＞0，則：
下面運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明徑向懸浮滑模控制器的穩(wěn)定性。
選取Lyapunov函數(shù)：
所以，設(shè)計(jì)的滑?？刂破髟贚yapunov函數(shù)下是漸近穩(wěn)定的。
2.3 BFSPMM系統(tǒng)控制框圖
基于上述理論分析，構(gòu)建整個(gè)雙繞組BFSPMM系統(tǒng)控制框圖如圖6所示。通過轉(zhuǎn)子徑向位移傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)子徑向位移實(shí)際值x，y，將轉(zhuǎn)子徑向位移給定值x?，y?與轉(zhuǎn)子徑向位移實(shí)際值x，y進(jìn)行誤差計(jì)算，得到轉(zhuǎn)子徑向位移誤差ex，ey；將轉(zhuǎn)子徑向位移誤差ex，ey送入徑向懸浮滑?？刂破鳎玫綇较驊腋×o定值再根據(jù)懸浮平面坐標(biāo)系的定
對(duì)其求導(dǎo)可得：義，利用sα，sβ坐標(biāo)系超前xy坐標(biāo)系30°，將進(jìn)行坐標(biāo)變換得到利用2／3變換，將進(jìn)行坐標(biāo)變換得到三相懸浮繞組電流給定再將和isa，isb，isc送給電流滯環(huán)比較環(huán)節(jié)，輸出控制三相逆變橋臂控制信號(hào)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向懸浮。功率繞組采用矢量控制策略，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子切向旋轉(zhuǎn)控制。
圖6 雙繞組BFSPMM系統(tǒng)控制框圖
3 仿真研究
根據(jù)圖6在MATLAB／Simulink中搭建雙繞組BFSPMM控制系統(tǒng)的仿真模型，電機(jī)參數(shù)如表1所示。
為了驗(yàn)證本文控制策略的有效性，對(duì)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制策略和采用傳統(tǒng)PI控制策略的徑向懸浮系統(tǒng)進(jìn)行仿真對(duì)照。電機(jī)給定轉(zhuǎn)速為1 500 r／min，切向負(fù)載5 N·m，x方向帶100 N徑向負(fù)載，0.5 s時(shí)x方向帶載由100 N突卸至0。仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。
表1 電機(jī)參數(shù)
圖7 采用滑?？刂撇呗缘姆抡娼Y(jié)果波形
圖8 采用PI控制策略的仿真結(jié)果波形
圖7為采用滑?？刂撇呗缘姆抡娼Y(jié)果波形，圖8為采用PI控制策略的仿真結(jié)果波形。從圖7與圖8的控制對(duì)比仿真結(jié)果可見：
（1）在起動(dòng)過程中，滑?？刂葡到y(tǒng)x，y方向徑向位移脈動(dòng)很快控制為0，但PI控制系統(tǒng)x，y方向徑向位移脈動(dòng)需要長(zhǎng)達(dá)0．2 s才收斂到0附近，表明滑?？刂葡到y(tǒng)切向旋轉(zhuǎn)與徑向懸浮之間解耦性能更好；
（2）0.5 s時(shí)突卸徑向負(fù)載，滑?？刂葡到y(tǒng)x方向徑向位移超調(diào)基本為0，而PI控制系統(tǒng)x方向徑向位移超調(diào)了0．006 mm，表明滑?？刂葡到y(tǒng)徑向位移控制特性更硬；
（3）徑向負(fù)載越大，PI控制系統(tǒng)徑向位移脈動(dòng)明顯大于滑?？刂葡到y(tǒng)，表明滑?？刂葡到y(tǒng)具有更優(yōu)良的穩(wěn)定性能。
4 結(jié) 語
本文針對(duì)雙繞組BFSPMM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制思想，提出了一種轉(zhuǎn)子徑向懸浮控制方法，理論分析與仿真結(jié)果表明：與傳統(tǒng)PI控制方法相比，采用滑?？刂品椒?，有效地降低了轉(zhuǎn)子徑向偏移量、徑向偏移脈動(dòng)，提高了系統(tǒng)響應(yīng)速度以及抗干擾能力，整體控制效果更好。
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