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      圓錐曲線中的特殊韋達定理問題探究

      2021-05-30 10:44:00盧會玉
      數(shù)理化解題研究·高中版 2021年12期
      關(guān)鍵詞:二次方程圓錐曲線非對稱

      摘 要:在解析幾何或者二次函數(shù)中,遇到的絕大多數(shù)韋達定理問題,都可以將條件轉(zhuǎn)為s(x1+x2)+tx1x2+u的形式,即可以整理出的式子中x1,x2或y1,y2前的系數(shù)相同的情況,一般直接使用韋達定理即可化簡.但是,也會出現(xiàn)一些x1,x2或y1,y2前的系數(shù)并不相同,也就是出現(xiàn)并非對稱現(xiàn)象,這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續(xù).本文通過對x1=λx2,sx1+tx2+u=0,sx1+tx2+ux1x2+v=0,sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式的研究,總結(jié)出了解決相應(yīng)問題的應(yīng)對措施.

      關(guān)鍵詞:圓錐曲線;二次方程;韋達定理;非對稱

      中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)34-0042-02

      收稿日期:2021-09-05

      作者簡介:盧會玉(1981.7-),女,甘肅省天水人,本科,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

      每個高中的教師和學(xué)生都知道利用韋達定理解題時遇見的量通常為有關(guān)x1,x2或y1,y2的對稱量,比如x1+x2,x1x2,x21+x22,x1x2+x2x1,y1x1-2+y2x2-2等,是可以將條件轉(zhuǎn)為s(x1+x2)+tx1x2+u的形式,即可以直接使用韋達定理化簡的問題.但是,很顯然并不適用所有情況.在圓錐曲線中,若x1,x2或y1,y2前的系數(shù)并不相同,也就是出現(xiàn)非韋達對稱現(xiàn)象,這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續(xù).通常表現(xiàn)為x1=λx2,sx1+tx2+u=0,sx1+tx2+ux1x2+v=0,sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式.筆者通過研究,總結(jié)整理了幾種常見非對稱類型問題的應(yīng)對策略.

      一、出現(xiàn)x1=λx2問題

      解決方法 利用λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=(x1+x2)2x1x2轉(zhuǎn)化為s(x1+x2)+tx1x2+u形式,直接利用韋達定理解題.

      1.橢圓中的x1=λx2問題

      例1 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,過點M(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點, MA=λMB,且當(dāng)直線l垂直于x軸時,AB=2.

      (1)求橢圓C的方程;

      (2)若λ∈12,2,求弦長AB的取值范圍.

      解 (1)x22+y2=1,證明略.

      (2)當(dāng)直線l的斜率為0時,容易求得λ=3+22,但3+2212,2,故不合題意.

      則可設(shè)直線l的方程為x=my+1,由x22+y2=1x=my+1可得(m2+2)y2+2my-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.

      由于點M(1,0)在橢圓內(nèi)部,則有AM=λMB,即(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),所以y1=-λy2.則-λ+1-λ+2=(y1+y2)2y1y2=-4m2m2+2,即4m2m2+2=λ+1λ-2,

      因為λ∈12,2,所以4m2m2+2∈0,12,

      即4(m2+2)-8m2+2=4-8m2+2∈0,12,所以1m2+2∈716,12.

      又AB=1+m2×(y1+y2)2-4y1y2=22(m2+1)m2+2=22×(m2+2)-1m2+2=22×(1-1m2+2),

      所以AB∈2,928.

      2.雙曲線中的x1=λx2問題

      例2 已知雙曲線C:x2-y23=1,直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A,B兩點(A在B的上方),且與y軸交于點M,則MBMA的取值范圍為.

      解 由x2-y23=1y=-2x+m可得x2-4mx+m2+3=0,Δ=16m2-4(m2+3)>0,即m2>1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4m,x1x2=m2+3.

      令MBMA=λ,則x2x1=λ>1,

      則λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=(x1+x2)2x1x2=16m2m2+3=16×(m2+3)-3m2+3=16×(1-3m2+3),因為m2>1,所以16×(1-3m2+3)∈(4,16),則λ+1λ+2∈(4,16),解得λ∈(7-43,7+43),又因為λ>1,所以λ∈(1,7+43).

      3.函數(shù)中的x1=λx2問題

      例3 函數(shù)f(x)=13ax3-ax2+x+1在x1,x2處有極值,且1

      解 f ′(x)=ax2-2ax+1,令f ′(x)=ax2-2ax+1=0,則x1+x2=2,x1x2=1a.

      令x2x1=t,則t+1t+2=x1x2+x2x1+2=(x1+x2)2x1x2=4a,因為4a=t+1t+2,且1

      二、出現(xiàn)sx1+tx2+u=0問題

      解決方法 通過對sx1+tx2+u=0的變形,進而轉(zhuǎn)化為s(x1+x2)+tx1x2+u形式,直接利用韋達定理解題.

      步驟一:將sx1+tx2+u=0變形為(t-s)x1=t(x1+x2)+u(s-t)x2=s(x1+x2)+u,

      步驟二:將兩式對應(yīng)相乘得:-(t-s)2x1x2=t(x1+x2)+u×s(x1+x2)+u,從而直接利用韋達定理解題.

      例4 已知橢圓C:x28+y24=1,過點M(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(A在x軸下方),直線l與y軸的交點為P,若AP=25MB,求直線l的方程.

      解 由題可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),則P(0,-k),由x28+y24=1y=k(x-1)可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,

      設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-82k2+1.

      由AP=25MB,得(-x1,-k-y1)=25(x2-1,y2),所以-x1=25(x2-1),即5x1+2x2=2,則3x2=5(x1+x2)-2-3x1=2(x1+x2)-2,兩式相乘得:-9x1x2=5(x1+x2)-2×2(x1+x2)-2,

      代入x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-82k2+1得k=2.

      三、出現(xiàn)sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1問題.

      例5 已知橢圓C:x24+y2=1的左、右頂點分別為A1,A2,過(1,0)的直線l交橢圓C于P,Q兩點,且直線A1P與A2Q交于點S,試問:點S是否恒在一條定直線上?若是,求出該直線,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.

      解 由題可設(shè)直線l的方程為x=my+1,

      由x24+y2=1x=my+1可得(m2+4)y2+2my-3=0,

      設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4.

      因為A1(-2,0),A2(2,0),則直線A1P的方程為:y=y1x1+2(x+2),①

      直線A2Q的方程為:y=y2x2-2(x-2),②

      聯(lián)立①②可得:x+2x-2=y2(x1+2)y1(x2-2)=y2(my1+3)y1(my2-1)=my1y2+3y2my1y2-y1,③

      由y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4得y1y2=32m(y1+y2),④

      將④代入③中可得x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=32(y1+y2)+3y232(y1+y2)-y1=3y1+9y2y1+3y2=3,則x=4,即直線A1P與A2Q交于點S的橫坐標(biāo)為4,橫在直線x=4上.

      另解 也可用配湊的方法將變量集中起來,進而解決問題. x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=my1y2+3(y1+y2)-3y1my1y2-y1=m×(-3m2+4)-6mm2+4-3y1m×(-3m2+4)-y1=9mm2+4+3y13mm2+4+y1=3.

      解析幾何考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等,當(dāng)遇到非韋達對稱問題時,更是需要很強的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算能力.若是注重平時的積累與思考,類似于非韋達對稱性的問題也可順利解決.

      參考文獻:

      [1]許雪榮,黃賢鋒.一類非對稱圓錐曲線問題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2020(02):52-53.

      [2]林國紅.圓錐曲線中兩根不對稱問題的處理方法[J]

      .高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2018(19):12-14.

      [責(zé)任編輯:李 璟]

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