高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的解題應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，導(dǎo)數(shù)可以說(shuō)是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它在函數(shù)方面的解題時(shí)有著非常大的幫助，尤其是在一些單調(diào)性的問(wèn)題上、函數(shù)極值的問(wèn)題上、函數(shù)圖像的問(wèn)題上，導(dǎo)數(shù)都有著獨(dú)特的解法.教師在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)知識(shí)的教學(xué)時(shí)，就需要聯(lián)系實(shí)際的例題來(lái)幫助學(xué)生去理解導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，懂得如何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)

解題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);解題應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0054-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：黃龍孫（1985.11-），男，江西省撫州人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

一、利用導(dǎo)數(shù)求極值問(wèn)題極值問(wèn)題一般在考察時(shí)就是對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行考核，如果不利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，那么極值問(wèn)題就會(huì)變得十分困難，學(xué)生在解題時(shí)也會(huì)很浪費(fèi)時(shí)間.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用下，學(xué)生可以輕松地判斷出函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，然后根據(jù)一些特殊的點(diǎn)來(lái)判斷出極值點(diǎn)，最后解決極值問(wèn)題.

例1已知函數(shù)fx=x-1+aex，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線(xiàn)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值;

（2）求函數(shù)f（x）的極值.

解析

（1）由fx=x-1+aex，得：

f ′x=1-aex，

又曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，得：f ′（1）=0，即1-ae=0，解得：a=e，

（2）由（1）知f ′x=1-aex，

①當(dāng)a≤0 時(shí)，f ′x>0 ，

所以f（x）在（-SymboleB@，+SymboleB@）上是增函數(shù)，所以函數(shù) f（x）無(wú)極值.

②當(dāng)a>0時(shí)，令f ′x=0，

得ex=a ，即x=lna.

所以當(dāng)x∈-SymboleB@，lna時(shí)，f ′x<0

當(dāng)x∈（lna，+SymboleB@）時(shí)，f ′x>0

所以f（x）在-SymboleB@，lna上單調(diào)遞減，在（lna，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，

故f（x）在x=lna處取得極小值，且極小值為flna=lna，無(wú)極大值.

綜上所述：

當(dāng)a≤0 時(shí)，函數(shù)無(wú)極值;

當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在x=lna處取得極小值lna，無(wú)極大值.

二、利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)函數(shù)圖像

圖像是函數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它也是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)抽象性最大的問(wèn)題，很多學(xué)生都無(wú)法理解圖像的意義，尤其是在推導(dǎo)函數(shù)圖像時(shí)，像一些高次冪的函數(shù)學(xué)生根本無(wú)法畫(huà)出圖像，在導(dǎo)數(shù)的幫助下，學(xué)生可以計(jì)算出圖像的變化規(guī)律，從而能夠根據(jù)間斷點(diǎn)來(lái)大致的區(qū)分函數(shù)圖像.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f（x）的圖像如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y′=f ′（x）的圖像可能為

（）.

圖1

解析 觀(guān)察原函數(shù)圖像可以得到：當(dāng)x∈（-SymboleB@，0）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以能夠判斷出在x∈（-SymboleB@，0）時(shí)，f ′x>0，故選項(xiàng)A和C排除，在選項(xiàng)B和D中選擇;根據(jù)原函數(shù)圖像在（0，+SymboleB@）中的單調(diào)區(qū)間，可以分析出：函數(shù)圖像先遞增后遞減，最后又呈遞增趨勢(shì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可以推導(dǎo)出f ′x的圖形趨勢(shì)為：f ′x圖像先處于x軸上方，在處于x軸下方，最后又處于x軸上方，根據(jù)選項(xiàng)內(nèi)容可以分析出：選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

三、導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題一般難度都會(huì)比較大，但是在如果學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本知識(shí)有著較高的熟練度，那么這種類(lèi)型的第一題學(xué)生都可以輕松地計(jì)算出.對(duì)于第二題來(lái)說(shuō)，它就需要學(xué)生能夠熟練的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析，可以正確的進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)題意找到正確的解題思路，從而能夠逐漸的計(jì)算出正確的答案，促進(jìn)學(xué)生的正確率.

例3某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件的售價(jià)為x元（6

（1）求年銷(xiāo)售利潤(rùn)y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn).

解析 （1）設(shè)5858-u=k（x-214）2，因?yàn)槭蹆r(jià)為10元時(shí)，年銷(xiāo)量為28萬(wàn)件，所以5858-28=k（10-214）2，解

得k=2.

所以u(píng)=-2（10-214）2+5858=-2x2+21x+18.

所以y=-2x2+21x+18x-6=-2x3+33x2-108x-108（6

（2）先對(duì)函數(shù)y求導(dǎo)，得：

y′=-6x2+66x-108=-6x2-11x+18=

-6x-2（x-9）.

令y′=0，得x=2或x=9，根據(jù)x的定義域，x=2舍去，顯然，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，y′>0：當(dāng)x∈（9，11）時(shí)，y′<0.

所以函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在6，9上單調(diào)遞增，在9，11上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=9時(shí)，y取最大值，且ymax=135，

故當(dāng)售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，并且最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元.總之，導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)中是非常重要的，教師必須要重視這方面的教學(xué)，能夠聯(lián)系實(shí)際的例題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從而可以讓學(xué)生更好的理解導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，提高在學(xué)習(xí)時(shí)的學(xué)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]張華.淺談高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的解題方法與策略[J].新課程，2017：55.

[2]姜路燕.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的解題方法與策略探討[J].考試周刊，2018：77.

[責(zé)任編輯：李 璟]