孫上饒 梁 鍇 印興耀 曹丹平 李 坤

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島，266580)

0 引言

橫向各向同性(TI)介質(zhì)廣泛存在于地下，如周期性薄互層、裂隙定向排列地層等。實(shí)際地下TI介質(zhì)對(duì)稱軸的取向往往沿空間任意方向分布，稱為任意空間取向TI介質(zhì)(ATI介質(zhì))[1]。當(dāng)TI介質(zhì)對(duì)稱軸與垂直方向存在一定夾角，但方位限定在入射平面內(nèi)時(shí)就稱為TTI(Tilted Transversly Isotropical)介質(zhì)。對(duì)于傾斜地層，TTI模型相比于VTI和HTI模型更符合實(shí)際地層特征。

各向異性介質(zhì)的相速度是相角的函數(shù)，群速度是相速度的函數(shù)，二者均是描述波傳播特性的重要參數(shù)。通過求解Christoffel方程可以得到TTI介質(zhì)相速度的精確表達(dá)式[2-5]。TTI介質(zhì)qP波、qSV波相速度和群速度精確表達(dá)式各包含四個(gè)獨(dú)立彈性參數(shù)。Alkhalifah等[6-7]的研究表明，這四個(gè)參數(shù)中的三個(gè)參數(shù)的組合即可較高精度地描述qP波和qSV波的傳播特征。然而，由于TTI介質(zhì)彈性波相速度的表達(dá)式過于復(fù)雜，難以用于實(shí)際地震資料處理，以較為精確的近似表達(dá)式替代精確表達(dá)式以進(jìn)行速度分析就顯得尤為重要，為此提出了TI介質(zhì)相速度和群速度的多種近似方法[5，8-19]。Fowler[12]對(duì)VTI介質(zhì)相、群速度十余種不同的近似式進(jìn)行了系統(tǒng)地比較和討論，指出對(duì)于P波相速度，大多數(shù)近似方法有著足夠精度以滿足實(shí)際資料處理的需求；而對(duì)于SV波，由于其速度小于P波速度，所以SV波近似中的相對(duì)誤差往往大于P波，并且由于VTI介質(zhì)中的相速度具有顯式的解析解，與相應(yīng)的群速度相比，相速度更容易近似。Fomel[14]對(duì)Dellinger等[20]的近似方法進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比分析，提出用三個(gè)參數(shù)代替精確表達(dá)式中的四個(gè)參數(shù)。Aleixo等[21]和Golikov等[22]比較了幾種群速度近似的精度。中國(guó)也有多位學(xué)者對(duì)TI介質(zhì)體波速度特征開展了深入研究，并應(yīng)用于地震波正演和偏移等[23-28]。吳國(guó)忱等[29-30]推導(dǎo)了三維空間TTI介質(zhì)彈性波相速度的精確表達(dá)式及其弱各向異性近似；李芳等[31]在計(jì)算各向異性介質(zhì)速度的過程中考慮了剪切波的奇點(diǎn)特性，提出了任意各向異性介質(zhì)彈性波相速度和群速度計(jì)算方法；梁鍇等[32]推導(dǎo)了傾斜橢球各向異性介質(zhì)的相速度和群速度表達(dá)式，并分析了Thomsen各向異性參數(shù)對(duì)相、群速度傳播特征的影響；谷一鵬等[33]提出了VTI介質(zhì)彈性波相速度的擴(kuò)展各向異性線性近似，該方法可以通過控制精確相速度曲線與擴(kuò)展各向異性線性近似曲線的切點(diǎn)，使該近似在不同程度的各向異性介質(zhì)中取得較高的精度。由于弱各向異性近似假設(shè)并不能很好地適應(yīng)頁(yè)巖等中強(qiáng)各向異性介質(zhì)，因此梁鍇等[34]基于近似配方法的思想，推導(dǎo)了二維TTI介質(zhì)qP波和qSV波相速度一般性近似，數(shù)值示例表明該近似相速度可適用于中強(qiáng)各向異性介質(zhì)。

本文以基于近似配方法的TTI介質(zhì)彈性波二維相速度近似式[34]為基礎(chǔ)，在原有近似中引入方位角，推導(dǎo)了三維相速度的近似式，進(jìn)而根據(jù)Berryman公式[35]導(dǎo)出了基于近似配方法的群速度近似式。利用兩組介質(zhì)模型參數(shù)對(duì)相、群速度精確值和近似值進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，探討了該近似相、群速度在不同各向異性參數(shù)組合下的相對(duì)誤差，并進(jìn)行了適用性分析。

1 TTI介質(zhì)精確和近似彈性波相、群速度

1.1 TTI介質(zhì)彈性波相速度的精確表征

在進(jìn)行地震波正演模擬時(shí)往往需要將各向異性介質(zhì)的剛度矩陣從本構(gòu)坐標(biāo)系變換到觀測(cè)坐標(biāo)系。基于坐標(biāo)變換方法，定義TTI介質(zhì)本構(gòu)坐標(biāo)系O(x′，y′，z′)和觀測(cè)坐標(biāo)系O(x，y，z)如圖1所示，其中θ0為TTI介質(zhì)對(duì)稱軸Oz′與觀測(cè)坐標(biāo)系z(mì)軸的夾角，極角θ為傳播矢量k與z軸的夾角，方位角φ為傳播矢量k在Ω平面上的投影與x軸的夾角。利用Bond變換[36]可以將TI介質(zhì)本構(gòu)坐標(biāo)系下的剛度矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)橛^測(cè)坐標(biāo)系下的剛度矩陣。

將平面波解代入TTI介質(zhì)波動(dòng)方程，得到TTI介質(zhì)的Kelvin-Christoffel方程為

(1)

式中：Γij(i，j=1，2，3)為Christoffel矩陣元素；px、py、pz為偏振方向的三個(gè)分量。令式(1)系數(shù)矩陣行列式為零，可求解得到TTI介質(zhì)的qP波、qSV波和SH波的相速度精確表達(dá)式

(2)

式中

(3)

(4)

其中：vP0和vS0分別為qP波和qSV波沿TTI介質(zhì)對(duì)稱軸方向傳播的相速度；ε為度量qP波各向異性強(qiáng)度的參數(shù)；γ是度量橫波分裂強(qiáng)度的參數(shù)，當(dāng)γ=0時(shí)，SH波無各向異性；δ為表征TTI介質(zhì)對(duì)稱軸方向qP波相速度曲線凹凸性的參數(shù)。

將Thomsen參數(shù)表征的VTI介質(zhì)剛度矩陣元素(式(4))代入TTI介質(zhì)彈性波相速度的精確表達(dá)式(式(2))中，可得由Thomsen參數(shù)表征的TTI介質(zhì)彈性波三維相速度表達(dá)式

(5)

式中

(6)

TTI介質(zhì)彈性波的相速度表達(dá)式較為復(fù)雜，常見的弱各向異性近似、橢圓各向異性近似等可以在一定范圍內(nèi)對(duì)精確式進(jìn)行簡(jiǎn)化，但在中強(qiáng)各向異性介質(zhì)中，這些近似相速度誤差較大，進(jìn)而影響速度分析以及偏移處理的精度。

圖1 TTI介質(zhì)本構(gòu)坐標(biāo)系與觀測(cè)坐標(biāo)系的關(guān)系示意圖

1.2 TTI介質(zhì)彈性波相速度的近似表征

從TTI介質(zhì)彈性波相速度精確表達(dá)式(式(5))出發(fā)，提取P波和SV波精確相速度存在的共同項(xiàng)

(7)

令

(8)

(9)

則D可以表示為

D=a2+2ab+b2+

[2ε(E2+F2)+(δ-ε)(E2+F2)G2]

(10)

采用如下近似

[2ε(E2+F2)+(δ-ε)(E2+F2)G2]

(11)

則有

(12)

將上式代入相速度精確表達(dá)式(式(5))就可得到基于近似配方法的TTI介質(zhì)qP波和qSV波三維相速度近似式

(13)

(14)

上式與橢圓各向異性情況下精確相速度的形式完全相同[32]。

1.3 TTI介質(zhì)彈性波群速度的近似表征

各向異性介質(zhì)地震波群速度決定了地震波能量傳播的速度和方向，在地震波旅行時(shí)的正演和反演中起著重要的作用。均勻各向異性介質(zhì)中群速度是相速度的函數(shù)，群速度計(jì)算一般可以用Berryman公式[35]表示為

(15)

式中k=(kx，ky，kz)，為彈性波波矢量，其模k=ω/v，其中v為彈性波相速度、ω為角頻率。

根據(jù)前人推導(dǎo)TTI介質(zhì)彈性波群速度的思想[40-41]，將相速度近似式(13)代入式(15)中，就可得到TTI介質(zhì)彈性波群速度的近似表征。其中qP波群速度的近似表征為

(16)

式中

(17)

其中

(18)

qSV波群速度的近似表征為

(19)

式中

(20)

在橢圓各向異性情況下，式(17)可退化為

(21)

式(20)中相速度對(duì)極角和方位角的偏導(dǎo)數(shù)?vSVa/?θ和?vSVa/?φ為零。這樣，TTI介質(zhì)橢圓各向異性情況下的近似群速度表達(dá)式就可等同于精確群速度表達(dá)式。

2 數(shù)值示例

本文推導(dǎo)的三維TTI介質(zhì)qP波和qSV波相、群速度的近似表達(dá)式在形式上較精確表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔。選取Vernik等[42]給出的兩個(gè)頁(yè)巖模型(均為中強(qiáng)各向異性介質(zhì)(表1))驗(yàn)證本文基于近似配方法的TTI介質(zhì)彈性波三維相、群速度近似表征的正確性。

2.1 相、群速度數(shù)值試算

基于本文近似配方法的三維TTI介質(zhì)彈性波相、群速度近似表達(dá)式，分別計(jì)算模型Ⅰ和模型Ⅱ的相速度和群速度。圖2為模型Ⅰ和模型Ⅱ的三維近似qP波和qSV波相速度曲面，對(duì)應(yīng)的xOz、yOz、xOy面的近似相速度曲線與精確相速度曲線的對(duì)比如圖3所示。利用相同的模型可以得到三維近似群速度曲面(圖4)及其近似的群速度曲線(圖5)。由圖2、圖4可見，近似和精確相、群速度在三維空間中的速度特征相似。由圖3、圖5可見本文的近似相、群速度表達(dá)式在中強(qiáng)各向異性情況下可以保持較高的精度。

由圖3可見，在沿TTI介質(zhì)對(duì)稱軸方向(圖中黑色短線方向)以及垂直對(duì)稱軸方向傳播時(shí)，近似qP波和qSV波相速度與精確值的誤差最小，而在與對(duì)稱軸呈45°方向附近的誤差較大。由qP波近似相速度公式(式(13))可看出vS0對(duì)P波相速度的影響可以忽略不計(jì)，因而影響P波相速度的參數(shù)主要為vP0、ε和δ；而影響qSV波的參數(shù)則為vP0、vS0、ε和δ，用組合參數(shù)σ替代上述四個(gè)參數(shù)可以減少參數(shù)數(shù)量，便于描述qSV波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征；參數(shù)σ越大，相速度的近似值與精確值的差異也越大。圖5呈現(xiàn)的近似群速度特征與近似相速度特征相似，即在對(duì)稱軸方向及垂直對(duì)稱軸方向誤差最小，在45°方向附近誤差較大。

圖2 近似的三維TTI介質(zhì)相速度曲面(a)模型Ⅰ，qP波； (b)模型Ⅰ，qSV波； (c)模型Ⅱ，qP波； (d)模型Ⅱ，qSV波

圖3 近似(藍(lán)色虛線)和精確(紅色實(shí)線)的三維TTI介質(zhì)相速度曲線對(duì)比(a)模型Ⅰ，xOz面； (b)模型Ⅰ，yOz面； (c)模型Ⅰ，xOy面； (d)模型Ⅱ，xOz面； (e)模型Ⅱ，yOz面； (f)模型Ⅱ，xOy面

圖4 近似的三維TTI介質(zhì)群速度曲面(a)模型Ⅰ，qP波； (b)模型Ⅰ，qSV波； (c)模型Ⅱ，qP波； (d)模型Ⅱ，qSV波

圖5 近似(藍(lán)色虛線)和精確(紅色實(shí)線)的三維TTI介質(zhì)群速度曲線對(duì)比(a)模型Ⅰ，xOz面； (b)模型Ⅰ，yOz面； (c)模型Ⅰ，xOy面； (d)模型Ⅱ，xOz面； (e)模型Ⅱ，yOz面； (f)模型Ⅱ，xOy面

2.2 相對(duì)誤差分析

2.3 適用性分析

研究表明，沉積地層中ε取值范圍從中等各向異性地層的0.1～0.3到壓實(shí)頁(yè)巖地層的0.3～0.5，甚至更高[5，43]。為了方便討論本文的相、群速度近似公式對(duì)不同程度各向異性介質(zhì)的適用性，給定軸向縱、橫波速度分別為vP0=4.19km/s、vS0=2.57km/s，θ0=45°，選取[0，0.8]內(nèi)的ε、δ參數(shù)組合，對(duì)近似計(jì)算的相速度和群速度進(jìn)行相對(duì)誤差分析，其最大相對(duì)誤差等值線如圖8所示，可見大部分各向異性參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的qP波相、群速度的相對(duì)誤差小于qSV波。在圖中對(duì)角線處，ε=δ，表示橢圓各向異性，最大相對(duì)誤差均為零，與理論相符。隨著參數(shù)|ε-δ|的增大，近似的相、群速度的最大相對(duì)誤差也越大。對(duì)比圖8a和圖8b可知，在δ遠(yuǎn)大于ε的較為極端情況下，組合參數(shù)σ值更大，導(dǎo)致qSV波相、群速度相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于qP波。

圖6 本文近似計(jì)算的TTI介質(zhì)三維相速度相對(duì)誤差曲面(a)模型Ⅰ，qP波； (b)模型Ⅰ，qSV波； (c)模型Ⅱ，qP波； (d)模型Ⅱ，qSV波

圖7 本文近似計(jì)算的TTI介質(zhì)三維群速度相對(duì)誤差曲面(a)模型Ⅰ，qP波； (b)模型Ⅰ，qSV波； (c)模型Ⅱ，qP波； (d)模型Ⅱ，qSV波

圖8 近似的三維TTI介質(zhì)相、群速度最大相對(duì)誤差(%)隨ε、δ的變化等值線圖(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)qP波群速度； (d)qSV波群速度

由圖8還可以看出，TTI介質(zhì)近似qP波相、群速度在弱、中強(qiáng)各向異性情況下與精確解吻合較好；qP波近似相、群速度相對(duì)誤差在ε>δ時(shí)要大于ε<δ時(shí)，而qSV波近似相、群速度相對(duì)誤差則相反；ε與δ越接近，qP波和qSV波近似相、群速度的精度越高。

3 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

利用本文基于近似配方法推導(dǎo)TTI介質(zhì)彈性波近似相、群速度的思想，可以進(jìn)一步研究TTI介質(zhì)彈性波近似頻散關(guān)系方程，通過近似頻散關(guān)系方程可推導(dǎo)出近似解耦的波動(dòng)方程；可將qP波和qSV波相速度的近似表征代入TTI介質(zhì)Christoffel方程，求解出偏振矢量的表達(dá)式，以探討TTI介質(zhì)qP波和qSV波反射、透射特征。此外，在非雙曲線速度分析和疊前時(shí)間偏移的應(yīng)用中，群速度近似表征可用于動(dòng)校正處理和旅行時(shí)的計(jì)算等。