袁 娜

(重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶 401331)

近年來(lái)，隨著符號(hào)計(jì)算的發(fā)展[1-5]，人們開始關(guān)注lump解的相關(guān)理論。2015年，馬文秀[6]提出了一種直接用Hirota雙線性方法求lump解的方法，并給出了理論證明和推導(dǎo)，將lump解的研究推向了一個(gè)新的階段。目前，許多研究者已經(jīng)用這種方法成功地構(gòu)造了多個(gè)高維非線性發(fā)展方程的lump解和相互作用解。這些解的研究對(duì)于數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域的許多高維非線性問(wèn)題具有重要的意義和前景。隨后扎其勞教授將相關(guān)理論推廣到了求可積方程的多l(xiāng)ump解[7]。進(jìn)一步豐富了lump解的相關(guān)理論[8]。

我們研究如下廣義Hietarinta-type方程

γ1uyt+γ5uyy+γ3uxt+α2(3ututt+3vttuxt+uxttt)+γ4uxy+(γ2+6α1ux)uxx+α1uxxxx=0

(1)

其中u=u(x,y,z,t)=vxt=vxt(x,y,z,t)，α1，α2和γi(i=1,…,5)都是任意常數(shù)。α2反映了Hietarinta-type非線性項(xiàng)[9]。這個(gè)非線性項(xiàng)得存在導(dǎo)致了相應(yīng)的Hirota雙線性方程解中的常數(shù)項(xiàng)非常復(fù)雜。馬文秀教授[6]構(gòu)建了方程(1)的Hirota雙線性形式，并且證明了一個(gè)Hietarinta-type四階非線性項(xiàng)可以產(chǎn)生具有二階線性色散項(xiàng)的lump解。然而到目前為止，廣義Hietarinta-type方程的多l(xiāng)ump解尚未有文獻(xiàn)進(jìn)行討論。本文基于馬文秀教授的工作，進(jìn)一步研究廣義Hietarinta-type方程的多l(xiāng)ump解。

1 Hirota雙線性形式

利用下列對(duì)數(shù)變換

u=2(lnf)x,v=2lnf

(2)

方程(1)有如下形式的Hirota雙線性形式

(3)

其中

DyDt=2(ffyt-ftfy)

DxDt=2(ffxt-ftfx)

DxDy=2(ffyx-fxfy)

因此，方程(3)有如下等價(jià)形式

α1[ffxxxx-4fxxxfx+3(fxx)2]+α2(ffxttt-ftttfx-3ftfxtt+3fttfxt)+γ1(ffyt-ftfy)+γ2[ffxx-(fx)2]+γ3(ffxt-ftfx)+γ4(ffyx-fxfy)+γ5[ffyy-(fy)2]=0

(4)

可以證明方程(4)的解也就是方程(1)的解，這樣的話我們只需要求方程(4)的解，然后代入對(duì)數(shù)變換(2)就可以獲得方程(1)的解。

2 多l(xiāng)ump解

為了獲得方程(1)的多l(xiāng)ump解，做變換

f(x,y,t)=f(ρ,y),ρ=x-ωt

(5)

此時(shí)方程(4)變?yōu)?/p>

-γ5(fy)2+ωγ1fyfρ-γ4fyfρ-γ2(fρ)2+ωγ3(fρ)2+3α1(fρρ)2-3ω3α2(fρρ)2-4α1fρfρρρ+4ω3α2fρfρρρ+f(γ5fyy-ωγ1fρy+γ4fρy+(γ2-ωγ3)fρρ+(α1-ω3α2)fρρρρ)=0

(6)

首先，我們來(lái)討論方程(4)的1階lump解，使用待定系數(shù)法，假設(shè)

f(ρ,y)=(-μ+ρ)2+θ0+(y-ν)2θ1

(7)

其中μ和ν是任意常數(shù)。將(7)代入(6)，提取ρ2，y2,ρy，ρ，y的系數(shù)令為零，可得

(8)

此時(shí)可得

(9)

將(9)代入變換(2)，可得方程(1)的1階lump解

(10)

其中γi(i=1,…,5)，μ，ν是自由常數(shù)。

為了觀察解(10)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，我們可以取

γ1=α1=1,γ2=γ5=-1,γ3=γ4=μ=ν=0

將這些參數(shù)的值代入方程(10)，利用Mathematica軟件，可得相應(yīng)的三維圖形和等高線圖(見圖1)。

同理，我們假設(shè)三階lump解為如下表達(dá)式

f(ρ,y)=ρ6+θ10ρ4+θ11ρ4y2+(θ12+θ13y2+θ14y4)ρ2+θ15y2+θ16y4+θ17y6+θ18+2ρy(θ19+θ20y2+θ21ρ2)+2μυ(θ22+θ23y2+θ24ρ2)+ν2+μ2

(11)

圖1 圖中υ=ρ,(a)三維圖形；(b)等高線圖形

其中θi(i=10,11,…,24)是任意常數(shù)。將(11)代入(6)，提取ρ和y的各階次冪和混合項(xiàng)系數(shù)令為零，可得

(12)

其中θ19和θ22是自由參數(shù)值。將(11)和(12)代入變換(2)，我們有

u(ρ,y)=2(lnf)ρ

(13)

為了觀察三階lump解(13)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，我們可以取

γ1=α1=θ22=1,γ2=γ5=θ19=-1,γ3=γ4=0,μ=ν=10

將這些參數(shù)的值代入方程(10)，可得

u(ρ,y)=(4(10-12yυ+3y4υ+6y2(5+15υ+υ3)+υ(-125+υ(-30+50υ+3υ3))))/(1979+4y3+y6-4y(5+3υ2)+y4(17+3υ2)+y2(475+3υ(20+30υ+υ3))+υ(20+υ(-125+υ(-20+25υ+υ3))))

利用Mathematica軟件，可得相應(yīng)的三維圖形和等高線圖(見圖2)。從圖2中很容易看到三個(gè)一階lump解。

圖2 圖中υ=ρ,(a)三維圖形；(b)等高線圖形

最后，我們假設(shè)六階lump解為如下表達(dá)式

(14)

其中θi(i=25,26,…,69)是任意參數(shù)。將(14)代入(6)，提取ρ和y的各階次冪和混合項(xiàng)系數(shù)令為零，可得

(15)

將(14)和(15)代入變換(2)，我們有

u(ρ,y)=2(lnf)ρ

(16)

為了觀察六階lump解(16)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，我們可以取

γ1=γ4=1,γ2=-1,γ3=α2=2,γ5=-1,α1=3,μ=ν=10 000

將這些參數(shù)的值代入方程(16)，利用Mathematica軟件，可得相應(yīng)的三維圖形和等高線圖(見圖3)。從圖3中很容易看到六個(gè)一階lump解。

圖3 圖中υ=ρ,(a)三維圖形；(b)等高線圖形

3 總結(jié)

本文基于扎其勞教授提出的方法和馬文秀教授獲得的Hirota雙線性形式，調(diào)查了了廣義Hietarinta-type方程的多l(xiāng)ump解，主要是一階lump解，三階lump解和六階lump解。設(shè)置一些特定參數(shù)的值，一階lump解，三階lump解和六階lump解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分別被展示在圖1，圖2和圖3中。這些解和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)尚未在其他文獻(xiàn)中看到。