平分土地是難事？

文 黃 韋

在日常生活和工作中，很多時(shí)候需要將幾何圖形的面積等分。今天我們就來(lái)欣賞這樣一個(gè)等分平行四邊形面積的故事。

喀什素有“絲路明珠”之美譽(yù)，自然風(fēng)光秀麗壯美，各式美食令人流連忘返。一天，阿凡提騎著毛驢去喀什旅游。他來(lái)到一個(gè)村莊，一位老人家正在為兩個(gè)兒子分土地的事情犯愁。他家土地的形狀是一個(gè)平行四邊形（如圖1），地里還有一口井（用點(diǎn)P表示）。兄弟倆想平分這塊土地，并且都需要用井水澆地。但是那口井并不在土地中間。兩個(gè)兒子因?yàn)榉值氐氖虑轸[得不可開交，正當(dāng)二人僵持不下的時(shí)候，有人給他們出主意說(shuō)：“既然我們都分不了這塊地，不如請(qǐng)阿凡提先生來(lái)幫你們解決，他肯定有辦法。”于是，兄弟倆將事情的原委告訴阿凡提，并請(qǐng)阿凡提幫忙分地。只見阿凡提沉吟片刻，說(shuō)道：“你們按照我的方法，一定能平分這塊地，并且那口井你們兩個(gè)人都可以使用?！?/p>

圖1

圖2

圖3

圖4

原來(lái)，阿凡提將水井與土地的四角分別相連（如圖2），將地分成四塊，每個(gè)人拿面對(duì)面的兩塊。這樣，兩個(gè)人就可以拿到一樣多的土地。

這個(gè)故事很有趣，看似簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含著豐富的幾何知識(shí)。

我們可以用平行四邊形的相關(guān)知識(shí)對(duì)這一方法加以證明。

證明：如圖3，過點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HP交AB于點(diǎn)G，則PG⊥AB，連接PA、PB、PC、PD。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC。

兄弟倆起初對(duì)阿凡提的分法很滿意，可是沒過多久，兩個(gè)人又吵起來(lái)了。因?yàn)樽约旱膬蓧K土地并不連在一起，而是散落在兩個(gè)地方，和別人的土地混在一起。這樣分散的小塊土地，自然不利于耕種，兩兄弟都希望自己的土地更集中。于是老大又找來(lái)阿凡提幫忙，“聰明的阿凡提先生，我們想讓自己的土地集中在一起，你還能想出其他的分法嗎？”阿凡提思考片刻，讓兄弟兩人到地里畫出這塊地的對(duì)角線，然后將其交點(diǎn)與井口位置相連并延長(zhǎng)，如圖4，從而得到了兩塊面積相等的土地。眾人看到，紛紛贊嘆阿凡提智慧過人。同樣，我們可以用平行四邊形的相關(guān)知識(shí)對(duì)這一方法加以證明。

證明：如圖4，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)OP交CD于點(diǎn)N。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AB=CD。

易得△BMO≌△DNO，

∴S△BMO=S△DNO，

∴S四邊形BMNC=S△BCD＋S△BMO-S△DNO=S△BCD。

易得△BCD≌△DAB，

∴S△BCD=S△DAB，

平行四邊形是中心對(duì)稱圖形。根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過對(duì)稱中心的任意一條直線都能把它分成兩個(gè)全等形。所以經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分。我們可以利用這個(gè)結(jié)論，解決一些圖形面積的等分問題。

馕作為新疆歷史悠久的特色食品，一直深受大眾喜愛，維吾爾族的烤馕設(shè)備最主要是馕坑。兄弟倆計(jì)劃在土地的一側(cè)建造一座長(zhǎng)方形的馕坑EFGH（如圖5）。如果不考慮水井的因素，你能幫助兄弟倆平分土地嗎？

圖5

圖6

根據(jù)剛才得到的結(jié)論，我們可以分別畫出這塊地和馕坑的對(duì)角線，然后將兩個(gè)交點(diǎn)M、N相連并延長(zhǎng)（如圖6），這樣，我們就可以將剩余的土地分成面積相等的兩部分。親愛的同學(xué)們，你們想明白了嗎？